Đề bài
Cho nửa đường tròn đường kính \[AB\]. Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính \[AB\]của nửa đường tròn đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để xác định của một điểm \[M\] ta xem nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép vị tự.
Lời giải chi tiết
Gọi \[O\]là trung điểm của\[AB\]. Giả sử dựng được hình vuông \[MNPQ\]có \[M\], \[N\]thuộc đường kính \[AB\], \[P\], \[Q\]thuộc nửa đường tròn. Khi đó \[O\]phải là trung điểm của \[MN\]. Nếu lấy một hình vuông \[MNPQ\] sao cho \[M\], \[N\] thuộc \[AB\], \[O\]là trung điểm của \[MN\]khi đó ta thấy \[\dfrac{OM}{OM}=\dfrac{ON}{ON}=\dfrac{OP}{OP}=\dfrac{OQ}{OQ}\]
Từ đó suy ra hình vuông \[MNPQ\] là ảnh của hình vuông \[MNPQ\] qua phép vị tự tâm \[O\], suy ra \[O\], \[P\], \[P\]và \[O\], \[Q\], \[Q\] thẳng hàng.
Vậy ta có cách dựng:
- Dựng hình vuông \[MNPQ\]nằm trong nửa hình tròn đã cho sao cho \[MN\]thuộc \[AB\] và \[O\]là trung điểm của \[MN\]. Tia \[OP\] cắt nửa đường tròn tại \[P\]; tia \[OQ\]cắt nửa đường tròn tại \[Q\] .
Khi đó dễ thấy tứ giác \[MNPQ\]là hình vuông cần dựng.