Đề bài
Cho \[S.ABC\] là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng \[a\] và có góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là \[\alpha \]. Hình nón đỉnh \[S\] có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều \[ABC\] gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo \[a \] và \[\alpha \].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh \[{S_{xq}} = \pi rl\].
Lời giải chi tiết
Gọi \[I\] là trung điểm của cạnh \[BC\] và \[O\] là tâm của tam giác đều \[ABC\].
Theo giả thiết ta có \[SA = SB = SC = a \] và \[\widehat {SIO} = \alpha \].
Đặt \[OI = r, SO = h\], ta có \[AO = 2r\] và \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{h = r\tan \alpha }\\{{a^2} = {h^2} + 4{r^2}}\end{array}} \right.\] [vì \[S{A^2} = {\rm{ }}S{O^2} + {\rm{ }}A{O^2}\]]
Do đó \[{a^2} = {r^2}{\tan ^2}\alpha + 4{r^2} = {r^2}[{\tan ^2}\alpha + 4]\]
Vậy \[r = \dfrac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}\]
Hình nón nội tiếp có đường sinh là: \[l = SI = \dfrac{r}{{\cos \alpha }} = \dfrac{a}{{\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}\]
Diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp \[S.ABC\] là:
\[{S_{xq}} = \pi rl\]\[ = \pi .\dfrac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}.\dfrac{a}{{\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}\] \[ = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{\cos \alpha [{{\tan }^2}\alpha + 4]}}\]