Đề bài - bài 3.48 trang 162 sbt hình học 11

Đề bài

Hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a và có OB = (a3)/3. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao cho SB = a.

a) Chứng minh tam giác SAC là tam giác vuông và SC vuông góc với BD.

b) Chứng minh (SAD) (SAB), (SCB) (SCD).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.

Lời giải chi tiết

a) Hai tam giác vuông SOB và AOB có cạnh OB chung và SB=AB=a nên bằng nhau.

Do dó SO=OA=OC nên tam giác SAC vuông tại S.

Mặt khác, vì \(BD \bot AC\) và \(BD \bot SO\) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) \( \Rightarrow BD \bot SC\).

b) Gọi I là trung điểm SA.

Vì BS=BA=a nên tam giác BSA cân tại B \( \Rightarrow BI \bot SA\).

Vì DS=DA=a nên \(DI \bot SA\).

Mà \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\) nên góc giữa (SAB) và (SAD) là \(\widehat {BID}\).

Trong tam giác vuông AOB có:

\(OA = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\) (vì \(OB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\))

Vì SO=OA nên \(OI = \dfrac{{OA\sqrt 2 }}{2}\) \( = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Do đó \(OI = OB = OD\) nên tam giác IBD vuông tại I hay \(\widehat {BID} = {90^0}\)

Vậy \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).

Tương tự có \(\left( {SCB} \right) \bot \left( {SCD} \right)\).

c) Dễ thấy \(OI \bot SA\) do tam giác SOA cân tại O.

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BD \bot \left( {SOA} \right) \Rightarrow BD \bot OI\)

Do đó OI là đoạn vuông góc chung của BD và SA.

Vậy \(d\left( {BD,SA} \right) = OI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).