Đề bài
Hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a và có OB = [a3]/3. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [ABCD] tại O ta lấy một điểm S sao cho SB = a.
a] Chứng minh tam giác SAC là tam giác vuông và SC vuông góc với BD.
b] Chứng minh [SAD] [SAB], [SCB] [SCD].
c] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
Lời giải chi tiết
a] Hai tam giác vuông SOB và AOB có cạnh OB chung và SB=AB=a nên bằng nhau.
Do dó SO=OA=OC nên tam giác SAC vuông tại S.
Mặt khác, vì \[BD \bot AC\] và \[BD \bot SO\] nên \[BD \bot \left[ {SAC} \right]\] \[ \Rightarrow BD \bot SC\].
b] Gọi I là trung điểm SA.
Vì BS=BA=a nên tam giác BSA cân tại B \[ \Rightarrow BI \bot SA\].
Vì DS=DA=a nên \[DI \bot SA\].
Mà \[\left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SAD} \right] = SA\] nên góc giữa [SAB] và [SAD] là \[\widehat {BID}\].
Trong tam giác vuông AOB có:
\[OA = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} \] \[ = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\] [vì \[OB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\]]
Vì SO=OA nên \[OI = \dfrac{{OA\sqrt 2 }}{2}\] \[ = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
Do đó \[OI = OB = OD\] nên tam giác IBD vuông tại I hay \[\widehat {BID} = {90^0}\]
Vậy \[\left[ {SAB} \right] \bot \left[ {SAD} \right]\].
Tương tự có \[\left[ {SCB} \right] \bot \left[ {SCD} \right]\].
c] Dễ thấy \[OI \bot SA\] do tam giác SOA cân tại O.
Lại có \[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow BD \bot \left[ {SOA} \right] \Rightarrow BD \bot OI\]
Do đó OI là đoạn vuông góc chung của BD và SA.
Vậy \[d\left[ {BD,SA} \right] = OI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\].