Đề bài
Cho hình vuông \[ABCD\] cạnh \[a\]. Từ tâm \[O\] của hình vuông dựng đường thẳng \[\Delta\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\]. Trên \[\Delta\] lấy điểm \[S\] sao cho \[OS ={a \over 2}\]. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABCD\]. Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nhắc lại: Mặt cầu ngoại tiếp ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của chóp.
+] Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp:
Bước 1: Xác định trục d của mặt phẳng đáy [là đường thẳng đi qua "tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy" và "vuông góc với mp đáy"].
Bước 2: Xác định \[[P]\]: mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
Bước 3: Xác định\[I = \left[ P \right] \cap d\], khi đó\[I\] là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
+] Bán kính \[R\] của mặt cầu: là khoảng cách từ tâm đến 1 đỉnh bất kì.
+]Diện tích mặt cầu\[S = 4\pi {R^2}\]
+]Thể tích khối cầu\[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\].
Lời giải chi tiết
* Xác định mặt cầu ngoại tiếp
+ \[\Delta \] là trục của mp đáy
Ta có \[ABCD\] làhình vuông nên \[O\] là tâm đường tròng ngoại tiếp hv\[ABCD\] .
Lại có:\[O \in \Delta ; \Delta \, \bot \, ABCD\]
\[\Rightarrow \Delta \] là trục của mp đáy
+ Xác định tâm \[I\]
Do \[\Delta\] là trục của hình vuông \[ABCD\], nên \[I\] thuộc \[\Delta\].
Ta có: \[ABCD\] là hình vuông cạnh a\[ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
Mà \[SO = \displaystyle {a \over 2} < OC\] nên \[I\] thuộc phần kéo dài của tia \[SO\].
+ Tìm bán kính \[R\]
Ta có: \[SI = IC \Rightarrow \displaystyle {a \over 2} + OI = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}} \]
\[ \Rightarrow {\left[ \displaystyle {{a \over 2} + OI} \right]^2} = O{I^2} +\displaystyle {{{a^2}} \over 2}\]
\[ \Rightarrow O{I^2} + a.OI + \displaystyle {{{a^2}} \over 4} = O{I^2} + \displaystyle {{{a^2}} \over 2}\]
\[ \Rightarrow OI = \displaystyle {a \over 4} \Rightarrow R = SI = SO + OI = \displaystyle {{3a} \over 4}\]
Vậy tâm \[I\] của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABCD\] thuộc tia \[SO\] mà \[SI = R =\] \[\displaystyle {{3a} \over 4}\]; [\[R\] là bán kính hình cầu].
Khi đó diện tích mặt cầu là: \[S = 4\pi {R^2} = \displaystyle {9 \over 4}\pi {a^2}\][đvdt]
Thể tích của khối cầu là: \[V = \displaystyle {4 \over 3}\pi {R^3} = \displaystyle {9 \over {16}}{\pi a^3}\][đvdt]
Cách khác:
Gọi \[H\] là trung điểm cạnh \[SA\]
Trong mặt phẳng \[[SAO]\], đường trung trực của đoạn \[SA\] cắt đường thẳng \[SO\] tại \[I\], ta có:
\[\Delta SAO\] đồng dạng với \[\Delta SIH\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SO}} = \dfrac{{SI}}{{SH}} \Leftrightarrow SI = \dfrac{{SA.\,SH}}{{SO}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{2\,SO}}\]
Mà \[S{A^2} = S{O^2} + O{A^2}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow S{A^2} = {{\left[ {\dfrac{a}{2}} \right]}^2} + {{\left[ {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right]}^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}}\\
{ \Rightarrow SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}
\end{array}\]
Khi đó: \[SI = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{a}{2}}} = \dfrac{{3a}}{4}\]
Lại có:
\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{IS = IA}\\
{IA = IB = IC = ID = \dfrac{{3a}}{4}}
\end{array}} \right\} \Rightarrow IS = \dfrac{{3a}}{4}\]
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABCD\] có tâm là \[I\] và bán kính \[R = IS = \dfrac{{3a}}{4}\]
Diện tích mặt cầu là: \[S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left[ {\dfrac{{3a}}{4}} \right]^2} = \dfrac{{9\pi {a^2}}}{4}\]
Thể tích khối cầu là: \[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^2} = \dfrac{4}{3}\pi {\left[ {\dfrac{{3a}}{4}} \right]^3} = \dfrac{{9\pi {a^2}}}{{16}}\]