Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao \[AI, BK, CL\] của tam giác ấy.Gọi \[H\] là giao điểm của các đường cao vừa vẽ.
\[a]\] Chỉ ra các tứ giác nội tiếp có đỉnh lấy trong số các điểm \[A, B, C, H, I, K, L\]
\[b]\] Chứng minh \[\widehat {LBH},\widehat {LIH},\widehat {KIH}\] và \[\widehat {KCH}\] là \[4\] góc bằng nhau.
\[c]\] Chứng minh \[KB\] là tia phân giác của \[\widehat {LKI}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng \[180^\circ\] thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
+] Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông là tứ giác nội tiếp.
+] Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Vì \[ABC\] là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm \[H\] nằm trong tam giác \[ABC.\]
\[a]\] Tứ giác \[AKHL\] có: \[\widehat {AKH} + \widehat {ALH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
Nên tứ giác \[AKHL\] nội tiếp.
\[+]\] Tứ giác \[BIHL\] có: \[\widehat {BIH} + \widehat {BLH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
Nên tứ giác \[BIHL\] nội tiếp.
\[+]\] Tứ giác \[CIHK\] có: \[\widehat {CIH} + \widehat {CKH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
Nên tứ giác \[CIHK\] nội tiếp.
\[+]\] Tứ giác \[ABIK\] có: \[\widehat {AKB} = 90^\circ;\widehat {AIB} = 90^\circ \]
\[K\] và \[I\] nhìn đoạn \[AB\] dưới một góc vuông nên tứ giác \[ABIK\] nội tiếp.
\[+]\] Tứ giác \[BCKL\] có \[\widehat {BKC} = 90^\circ;\widehat {BLC} = 90^\circ \]
Suy ra\[K\] và \[L\] nhìn đoạn \[BC\] dưới một góc vuông nên tứ giác \[BCKL\] nội tiếp.
\[+]\] Tứ giác \[ACIL\] có \[\widehat {AIC} = 90^\circ;\widehat {ALC} = 90^\circ \]
Suy ra\[I\] và \[L\] nhìn đoạn \[AC\] dưới một góc vuông nên tứ giác \[ACIL\] nội tiếp.
\[b]\] Tứ giác \[BIHL\] nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {LBH} = \widehat {LIH}\] \[[\]\[2\] góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{LH}\]\[]\] \[ \;\;[1]\]
Tứ giác \[CIHK\] nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {HIK} = \widehat {HCK}\] \[[2\] góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{HK}\]\[]\] \[\;\;[2]\]
Tứ giác \[BCKL\] nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {LBK} = \widehat {LCK}\] \[[2\] góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{LK}\]] hay \[\widehat {LBH} = \widehat {HCK}\] \[ \;\;[3]\]
Từ \[[1],\] \[[2]\] và \[[3]\] suy ra\[\widehat {LBH}=\widehat {LIH}=\widehat {KIH}\]\[=\widehat {KCH}\]
c] Tứ giác \[CIHK\] nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {ICH} = \widehat {IKH}\] \[[\]\[2\] góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{IH}\]\[]\] \[ \;\;[*]\]
Tứ giác \[LKCB\] nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {LCB} = \widehat {LKB}\] \[[\]\[2\] góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{LB}\]\[]\] \[ \;\;[**]\]
Từ [*] và [**] suy ra \[\widehat {LKH} = \widehat {HKI}\]. Vậy \[KB\] là tia phân giác của \[\widehat {LKI}.\]