Đề bài
Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.ABCD với A[0;0;0], B[1;0;0], D[0;1;0], A[0;0;1]
a] Hãy tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
b] Chứng minh A'C [BC'D]
c] Tìm tọa độ của chân đường vuông góc chung của B'D' và BC'.
Lời giải chi tiết
a] Dễ thấy C[1; 1; 0], B'[1; 0; 1], D'[0; 1; 1], C'[1; 1; 1], D'[0; 1; 1].
b] Ta có: \[\overrightarrow {A'C} = \left[ {1;1; - 1} \right]\]
\[\overrightarrow {BC'} = \left[ {0;1;1} \right]\], \[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D'} = \left[ { - 1;1;0} \right]\]
Do đó \[\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {BC'} = 0\] và \[\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {BD} = 0\]
Từ đó suy ra \[A'C \bot BC',A'C \bot BD\] nên A'C [BC'D].
c]
Gọi IJ là đường vuông góc chung của B'D' và BC'
\[\overrightarrow {{n_1}} \] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [P] qua B'D' và song song với AC
\[\overrightarrow {{n_2}} \] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [Q] qua BC' và song song với A'C.
Khi đó \[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {A'C} ,\overrightarrow {B'D'} } \right] = \left[ {1;1;2} \right]\]
\[\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {A'C} ,\overrightarrow {BC'} } \right] = \left[ {2; - 1;1} \right]\]
Phương trình của [P] là: [x - 1] + y + 2[z - 1] = 0 hay x + y + 2z - 3 = 0.
Phương trình của [Q] là: 2[x - 1] - y + z = 0 hay 2x - y + z - 2 = 0.
Phương trình của [B'D'] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = t\\z = 1\end{array} \right.\] .
Phương trình của [BC'] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t\\z = t\end{array} \right.\]
I là giao điểm của đường thẳng B'D' và [Q], để tìm tọa độ của I ta thế phương trình đường thẳng B'D' vào phương trình của [Q]
Ta có: 2[1 - t] - t + 1 - 2 = 0, hay t = 1/3.
Từ đó suy ra I[2/3; 1/3; 1]
Tương tự, ta tìm được J[1; 2/3; 1/3].