Đề bài
Tam giác \[ABC\] có các đường cao \[BD, CE\] cắt nhau tại \[H\]. Đường vuông góc với \[AB\] tại \[B\] và đường vuông góc với \[AC\] tại \[C\] cắt nhau ở \[K\]. Tam giác \[ABC\] phải có điều kiện gì thì tứ giác \[BHCK\] là:
a] Hình thoi?
b] Hình chữ nhật?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng: Dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi.
Lời giải chi tiết
[h.112]
Theo đề bài \[BD \bot AC,KC \bot AC\left[ {h.112} \right]\] suy ra \[BD//KC\] hay \[BH//AC;CE \bot AB,KB \bot AB\] suy ra \[CE//KB\] hay \[CH//KB\]
Tứ giác \[BHCK\] có \[BH//KC,CH//KB\] nên là hình bình hành.
Gọi \[M\] là giao điểm của \[BC\] và \[HK.\]
a] Hình bình hành \[BHCK\] là hình thoi khi và chỉ khi \[HM \bot BC.\] Vì \[AH \bot BC\] nên \[HM \bot BC \Leftrightarrow A,M,H\] thẳng hàng \[ \Leftrightarrow AM \bot BC \Leftrightarrow \Delta ABC\] cân tại \[A.\]
b] Hình bình hành \[BHCK\] là hình chữ nhật khi và chỉ khi \[\widehat {BKC} = {90^0}.\]
\[\widehat {BKC} = {90^0} \Leftrightarrow \widehat {BAC} = {90^0}\] [tứ giác \[ABKC\] đã có \[\widehat {ABK} = \widehat {ACK} = {90^0}\]]
\[ \Leftrightarrow \Delta ABC\] vuông tại \[A.\]