Đề bài
Biết rằng hệ số của \[{x^{n - 2}}\] trong khai triển \[{\left[ {x - {1 \over 4}} \right]^n}\] bằng \[31\]. Tìm \[n\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton\[{\left[ {a + b} \right]^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[{\left[ {x - {1 \over 4}} \right]^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{{\left[ { - {1 \over 4}} \right]}^k}} \]
Hệ số của \[x^{n-2}\] [ứng với k=2] là \[C_n^2{\left[ { - {1 \over 4}} \right]^2}\]
Theo bài ra: \[C_n^2{\left[ { - {1 \over 4}} \right]^2} = 31 \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2}.\frac{1}{{16}} = 31\\
\Leftrightarrow \frac{{{n^2} - n}}{{32}} = 31\\
\Leftrightarrow {n^2} - n = 992\\
\Leftrightarrow {n^2} - n - 992 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 32\left[ {TM} \right]\\
n = - 31\left[ {loai} \right]
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy n=32.