Đề bài
Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE và CF. Gọi H là trực tâm của tam giác.
a. Chứng minh bốn điểm A, E, H, F cùng nằm trên một đường tròn xác định tâm I
b. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh OE là tiếp tuyến của đường tròn [I].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a. Chứng minh tứ giác AEHF có tổng 2 góc đối bằng 180 độ
b. Sử dụng:
+Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh cạnh huyền
+Hai góc cùng phụ với góc thứ ba thì bằng nhau
Lời giải chi tiết
a. Ta có: \[\widehat {AFH} = \widehat {AEH} = 90^\circ \] [gt]
E, F nằm trên đường tròn đường kính AH có tâm I là trung điểm đoạn AH.
b. BEC vuông tại E có O là trung điểm của BC [gt]
\[ \Rightarrow OE = OB = {{BC} \over 2}\] nên \[{\widehat E_3} = {\widehat B_1};{\widehat B_1} = {\widehat A_1}\] [cùng phụ với góc C]
AIE cân \[ \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat E_1}.\] Do đó \[{\widehat E_3} = {\widehat E_1},\] mà \[{\widehat E_1} + {\widehat E_2} = 90^\circ \] [gt]
\[ \Rightarrow {\widehat E_3} + {\widehat E_2} = 90^\circ \] hay OE là tiếp tuyến của [I]