Vậy cách viết phương trình đường thẳng song song với d và cắt d1 d2 trong Oxyz như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây và cùng xem các bài tập và ví dụ minh họa để hiểu rõ nhé.
Các em có thể xem lại nội dung Lý thuyết và các dạng bài tập Phương trình đường thẳng trong Oxyz nếu các em chưa nhớ rõ phần kiến thức này.
° Viết phương trình đường thẳng song song d và cắt 2 đường thẳng [d1], [d2] trong Oxyz
- Cho trước phương trình đường thẳng d và d1, d2. Hãy viết phương trình đường thẳng song song [d] và cắt 2 đường thẳng d1, d2.
* Phương pháp
- Bước 1: Viết phương trình mp[P] song song với d1 và chứa d2.
- Bước 2: Viết phương trình mp[Q] song song với d1 và chứa d3.
- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = [P] ∩ [Q]
* Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng [d] song song với trục Ox và cắt [d1], [d2] có phương trình:
d1:
d2:
* Lời giải:
- VTCP của Ox là:
- VTCP của d1 là:
- PT mp [P] chứa d1 và song song Ox có VTPT:
=
- PT mp [Q] chứa d2 và song song Ox có VTPT:
=
- PT mp[P] đi qua điểm [-8;6;10] ∈ d1 và có VTPT
[y - 6] + [z - 10] = 0
⇔ y + z - 16 = 0
- PT mp[Q] đi qua điểm [0;2;-4] ∈ d2 và có VTPT
-2[y - 2] - [z + 4] = 0
⇔ 2y + z = 0
⇒ PT đường thẳng d = [P] ∩ [Q]:
>> xem ngay: Các dạng bài tập phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz
Hy vọng với bài viết về cách viết phương trình đường thẳng song song với d và cắt d1 d2 trong Oxyz ở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ. Chúc các em học tập tốt!
Phương pháp giải:
Xét 2 TH:
+ Chọn 2 điểm trên [{d_1}] và 1 điểm trên [{d_2}].
+ Chọn 2 điểm trên [{d_2}] và 1 điểm trên [{d_1}].
Giải chi tiết:
Muốn có được 1 tam giác, ta cần chọn được 3 điểm không thẳng hàng.
TH1: Chọn 2 điểm trên [{d_1}] và 1 điểm trên [{d_2}]. Có [C_5^2.C_4^1 = 40] cách.
TH2: Chọn 2 điểm trên [{d_2}] và 1 điểm trên [{d_1}]. Có [C_4^2.C_5^1 = 30] cách.
Vậy số tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm có được từ các điểm trên là: [40 + 30 = 70].
Chọn D.
Giả sử ∆ cắt d1 và d2 lần lượt tại A và B, ta tham số hóa 2 điểm $A\in {{d}_{1}};B\in {{d}_{2}}$theo ẩn t và u.
Do $\Delta //d\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=k.\overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{{{u}_{d}}}\Rightarrow t;u\Rightarrow $tọa độ các điểm A,B.
Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.
Chú ý:
R Trường hợp: $\Delta \bot [P]\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}\Rightarrow $t và u.
R Trường hợp: ∆ đi qua điểm M $\Rightarrow M,A,B$thẳng hàng ta giải $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Rightarrow t;u$và k.
Bài tập viết phương trình đường thẳng oxyz có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P]: $[P]:x+y+z-1=0$đồng thời cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=-1+t \\ {} y=-1 \\ {} z=-t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Lấy $M\in {{d}_{1}}\Rightarrow M[1+2t;-1-t;t];N\in {{d}_{2}}\Rightarrow N[-1+u;-1;-u]$
Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left[ u-2t-2;t;-u-t \right]$
Do $d\bot [P]\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}\Rightarrow \frac{u-2t-2}{1}=\frac{t}{1}=\frac{-u-t}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=\frac{4}{5} \\ {} t=-\frac{2}{5} \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left[ \frac{1}{5};\frac{-3}{5};\frac{-2}{5} \right]$
Phương trình đường thẳng d là: ${{d}_{1}}:\frac{x-\frac{1}{5}}{1}=\frac{y+\frac{3}{5}}{1}=\frac{z+\frac{2}{5}}{1}$
| Bài tập 2: phương trình đường thẳng d đi qua $A[1;-1;1]$biết d cắt cả hai đường ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+1}{-2}$và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=2-t \\ {} y=t \\ {} z=3t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $B[1+2u;-3-u;-1+2u]\in {{d}_{1}}$và $C[2-t;t;3t]\in {{d}_{2}}$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left[ 2u;u-2;2u-2 \right];\overrightarrow{AC}=[1-t;t+1;3t-1]$
Do A, B, C thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} 2u=k[1-t] \\ {} u-2=k[t+1] \\ {} 2u-2=k[3t-1] \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2u-k+kt=0 \\ {} u-k-kt=2 \\ {} 2u+k-3kt=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=0 \\ {} k=-1 \\ {} kt=-1 \\ \end{array} \right.$
Suy ra $u=0;t=1\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=[0;1;1]\Rightarrow d:\left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=-1+t \\ {} z=1+t \\ \end{array} \right.$
| Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $[P]:x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng vuông góc với [P] cắt d1 và d2 có phương trình là A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$ C. $\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3}$ D. $\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử đường thẳng d cắt d1, d2 lần lượt tại
$M,N\Rightarrow M[1-{{t}_{1}};3-2{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}}],N[5-3{{t}_{2}};-1+2{{t}_{2}};2+{{t}_{2}}]$
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left[ {{t}_{1}}-3{{t}_{2}}+2;2{{t}_{1}}+2{{t}_{2}}-4;-{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+4 \right]$và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ 1;2;3 \right]$
Mà d vuông góc với [P] nên $\overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{{{n}_{P}}}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{t}_{1}}-3{{t}_{2}}+2=k \\ {} 2{{t}_{1}}+2{{t}_{2}}-4=2k \\ {} -{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+4=3k \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{t}_{1}}=2 \\ {} {{t}_{2}}=1 \\ {} k=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} M[1;-1;0] \\ {} N[2;1;3] \\ \end{array} \right.$
$\overrightarrow{MN}=[1;2;3]\Rightarrow d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$. Chọn A.
| Bài tập 4: Phương trình đường thằng song song với đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{-1}$và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}$ A. $\frac{x+1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-1}$ D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A[-1+2t;-1+t;2-t]\in {{d}_{1}};B[1-u;2+u;3+3u]\in {{d}_{2}}$
Khi đó: $\overrightarrow{AB}=\left[ 2-u-2t;3+u-t;1+3u+t \right]$
Do $AB//d\Rightarrow d:\frac{2-u-2t}{1}=\frac{3+u-t}{1}=\frac{1+3u+t}{-1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t=1 \\ {} u=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow A[1;0;1]\Rightarrow [\Delta ]:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$
Chọn B.
| Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{1}$và $\left\{ \begin{array} {} x=-1+2t \\ {} y=1+t \\ {} z=3 \\ \end{array} \right.[t\in \mathbb{R}]$. Phương trình đường thẳng vuông góc với $[P]:7x+y-4z=0$và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 là A. $\frac{x}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-4}$ B. $\frac{x-2}{7}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-4}$ C. $\frac{x+1}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-4}$ D. $\frac{x+\frac{1}{2}}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-\frac{1}{2}}{-4}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử $d\cap {{d}_{1}}=A\Rightarrow A\in {{d}_{1}}$nên $A[2u;1-u;u-2]$
$d\cap {{d}_{2}}=B\Rightarrow B\in {{d}_{2}}$nên $B[2t-1;t+1;3]$
Vì thế $\overrightarrow{AB}=\left[ 2t-2u-1;t+u;5-u \right]$là vecto chỉ phương của d.
Do $d\bot [P]$nên $\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{n}=[7;1;-4]$ở đây $\overrightarrow{n}$là vecto pháp tuyến của mp [P]
Từ đó có hệ phương trình $\frac{2t-2u-1}{7}=\frac{t+u}{1}=\frac{5-u}{-4}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2t-2u-1=7t+7u \\ {} 4[t+u]=u-5 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t=-2 \\ {} u=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=[-7;-1;4]$và đường thẳng d đi qua điểm $A[2;0;-1]$nên
$[d]:\frac{x-2}{7}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-4}$. Chọn B.
| Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-2}$;${{d}_{2}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z}{-4}$;${{d}_{3}}:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$;${{d}_{4}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$ Gọi ∆ là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ∆? A. $\overrightarrow{n}=[2;1;1]$ B. $\overrightarrow{n}=[2;1;-1]$ C. $\overrightarrow{n}=[2;0;-1]$ D. $\overrightarrow{n}=[1;2;-2]$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{[{{d}_{1}}]}}}=\left[ 1;2;-2 \right]$và $\overrightarrow{{{u}_{[{{d}_{2}}]}}}=\left[ 2;4;-4 \right]$suy ra $\overrightarrow{{{u}_{[{{d}_{2}}]}}}=2\overrightarrow{{{u}_{[{{d}_{1}}]}}}\Rightarrow [{{d}_{1}}]//[{{d}_{2}}]$
Phương trình mặt phẳng [P] chứa [d1], d[2] là $y+z-2=0$
Gọi $A=[{{d}_{3}}]\cap [P]\Rightarrow A\left[ 1;\frac{1}{2};\frac{3}{2} \right]$và $B=[{{d}_{4}}]\cap [P]\Rightarrow B\left[ 4;2;0 \right]\to \overrightarrow{AB}=\left[ 3;\frac{3}{2};-\frac{3}{2} \right]$
Khi đó $\overrightarrow{AB}$ và ${{u}_{[{{d}_{1}}]}}$không cùng phương $\Rightarrow AB$cắt đường thẳng [d1], [d2]
Vậy $\overrightarrow{{{u}_{[\Delta ]}}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\left[ 2;1;-1 \right]$là vecto chỉ phương của đường thẳng cắt [d1], [d2], [d3], [d4].
Chọn B.
| Bài tập 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho điểm $M[3;3;-2]$và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{1}$;${{d}_{2}}:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{4}$. Đường thẳng d qua M và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng A.3 B. 2 C. $\sqrt{6}$ D. $\sqrt{5}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A[1+t;2+3t;t]\in {{d}_{1}};B[-1-u;1+2u;2+4u]\in {{d}_{2}}$
Ta có: $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} t-2=k[-u-4] \\ {} 3t-1=k[2u-2] \\ {} t+2=k[4u+4] \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t+4k+ku=2 \\ {} 3t+2k-2ku=1 \\ {} t-4k-4ku=-2 \\ \end{array} \right.$
Giải hệ với ẩn t; k và ku $\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} t=0 \\ {} k=\frac{1}{2} \\ {} ku=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow t=0;u=0\Rightarrow A[1;2;0];B[-1;1;2]\Rightarrow AB=3$. Chọn A.