Hôm nay, Kiến Guru sẽ cùng bạn tìm hiểu về 1 chuyên đề toán lớp 12: Tìm Max và Min của hàm số. Đây là một chuyên đề vô cùng quan trọng trong môn toán lớp 12 và cũng là kiến thức ăn điểm không thể thiếu trong bài thi toán THPT Quốc Gia. Bài viết sẽ tổng hợp 2 dạng thường gặp nhất khi bước vào kì thi. Các bài tập liên quan đến 2 dạng trên hầu như các bài thi thử và các đề thi càng năm gần đây đều xuất hiện. Cùng nhau khám phá bài viết nhé:
I. Chuyên đề toán lớp 12 – Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số.
1. Phương pháp giải áp dụng toán giải tích lớp 12
* Bước 1: Tìm các điểm x1; x2; x3; ..; xn trên [a; b], tại đó f'[x] = 0 hoặc f'[x] không xác định.
* Bước 2: Tính f[a]; f[x1]; f[x2]; f[x3]; ...; f[xn]; f[b].
* Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên thì .
{M}=f[x] m=f[x]
2. Ví dụ minh họa giải chuyên đề toán đại lớp 12: tìm giá trị max, min của hàm số.
Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất của hàm số f[x] = x3 – 8x2 + 16x - 9 trên đoạn [1; 3] là:
Nhận xét: Hàm số f[x] liên tục trên [1;3]
Ta có đạo hàm y'= 3x2 – 16x + 16
Do đó :
Suy ra ta chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất của hàm số f[x] = x4 – 2x2 + 1 trên đoạn [0; 2] là:
Nhận xét: Hàm số f[x] liên tục trên [0;2]
Ta có y' = 4x3 - 4x = 4x[x2 - 1].
Xét trên [0;2] ta có f'[x] = 0 khi x = 1.
Khi đó f[1] = 0; f[0] = 1; f[2]= 9
Do đó
Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x[x + 2].[x + 4].[x + 6] + 5 trên nữa khoảng [-4; +∞] là:
Nhận xét: Hàm số f[x] liên tục trên
* Ta có: y = [x2 + 6x].[x2 + 6x + 8] + 5.
Đặt t = x2 + 6x. Khi đó y = t.[t + 8] + 5 = t2 + 8t + 5
* Xét hàm số g[x]= x2 + 6x với x ≥ -4.
Ta có g'[x] = 2x + 6; g'[x] = 0 khi và chỉ khi x = -3
Bảng biến thiên:
Suy ra t ∈ [-9; +∞]
* Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = h[t]= t2 + 8t + 5 với t ∈ [-9; +∞].
* Ta có h'[t] = 2t + 8
h'[t] = 0 khi t = - 4;
Bảng biến thiên
Vậy
Suy ra chọn đáp án B.
II. Chuyên đề toán lớp 12 - Dạng 2: Tìm m để hàm số có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện.
1. Phương pháp giải áp dụng tính chất toán học 12.
Cho hàm số y = f[x;m] liên tục trên đoạn [a;b]. Tìm m để giá trị max; min của hàm số thỏa mãn điều kiện T:
Bước 1. Tính y’[x].
+ Nếu y'[x] ≥ 0; ∀x trên đoạn [a;b] thì hàm số sẽ đồng biến trên [a;b]
⇒ Hàm số đạt min tại x = a; hàm số max nhất tại x = b
+ Nếu y'[x] ≤ 0; ∀x trên đoạn [a; b] thì hàm số sẽ nghịch biến trên [a; b]
⇒ Hàm số min tại x = b và đạt max tại x = a.
+ Nếu hàm số không đơn điệu trên đoạn [a; b] ta sẽ làm như sau:
Giải phương trình y' = 0.
Lập bảng biến thiên. Từ đó suy ra min và max của hàm số trên [a;b].
Bước 2. Kết hợp với giả thuyết ta suy ra giá trị m cần tìm.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để max của hàm số sau trên đoạn [0;1] bằng -4
A. m = 1 hoặc m = -1 B. m = 2 hoặc m = -2
B. m = 3 hoặc m = -3 D. m = 4 hoặc m = -4
Đạo hàm
Suy ra hàm số f[x] đồng biến trên [0;1]
Nên
Theo giả thiết ta có:
⇔ m2 = 9 nên m = 3 hoặc m = -3
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f[x] = -x3 – 3x2 + a có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] là 0
A. a = 2 B. a = 6
C. a = 0 D. a = 4
Đạo hàm f'[x] = -3x2 - 6x
Xét phương trình:
Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Cho hàm số:
[với m là tham số thực] thỏa mãn y =3
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. 3 < m < 4 B. 1 < m < 4
C. m > 4 D. m < -1
Đạo hàm
* Trường hợp 1.
Với m > -1 suy ra
nên hàm số f[x] nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Khi đó
* Trường hợp 2.
Với m < -1 suy ra
nên hàm số f[x] đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Khi đó
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m > 4.
Suy ra chọn đáp án C.
Trên đây là 2 dạng giải bài tập trong chuyên đề toán lớp 12: tìm max, min của hàm số mà Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn. Ngoài làm các bài tập trong chuyên đề này, các bạn nên trau dồi thêm kiến thức, bên cạnh đó là làm thêm các bài tập để nhuần nhuyễn 2 dạng bài tập này. Vì đây là 2 phần câu hỏi được đánh giá là dễ ăn điểm nhất trong đề thi toán lớp 12, hãy làm cho mình một cách làm thật nhanh để giải quyết nhanh gọn nhất bên cạnh đó cũng phải tuyệt đối chính xác để không mất điểm nào trong câu này. Chúc các bạn học tập tốt.
10:39:4016/06/2020
Bài tập về tìm giá trị lớn nhất [GTLN] và giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số không phải là dạng toán khó, hơn nữa dạng toán này đôi khi xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT. Vì vậy các em cần nắm vững để chắc chắn đạt điểm tối đa nếu có dạng toán này.
Vậy cách giải đối với các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất [GTLN] và giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số [như hàm số lượng giác, hàm số chứa căn,...] trên khoảng xác định như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.
I. Lý thuyết về GTLN và GTNN của hàm số
• Cho hàm số y = f[x] xác định trên tập D ⊂ R.
- Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ X sao cho f[x] ≤ f[x0] với mọi x ∈ X thì số M = f[x0] được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên X.
Ký hiệu:
- Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ X sao cho f[x] ≥ f[x0] với mọi x ∈ X thì số m = f[x0] được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên X.
Ký hiệu:
II. Các dạng bài tập tìm GTLN và GTNN của hàm số và cách giải
° Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị của nhất của hàm số trên đoạn [a;b].
- Nếu hàm số f[x] liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên [a;b] thì cahcs tìm GTLN và GTNN của f[x] trên [a;b] như sau:
* Phương pháp giải:
- Bước 1: Tính f'[x], giải phương trình f'[x] = 0 ta được các điểm cực trị x1; x2;... ∈ [a;b].
- Bước 2: Tính các giá trị f[a]; f[x1]; f[x2];...; f[b]
- Bước 3: Số lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của hàm số f[x] trên đoạn [a;b]; Số nhỏ nhất trong các giá trị trên là GTNN của hàm số f[x] trên đoạn [a;b].
• Chú ý: Khi bài toán không chỉ rõ tập X thì ta hiểu tập X chính là tập xác định D của hàm số.
* Ví dụ 1 [Bài 1 trang 23-24 SGK Giải tích 12]: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a] y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]
b] y = x4 - 3x2 + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5]
° Lời giải:
- Để ý bài toán trên gồm 2 hàm vô tỉ, một hàm hữu tỉ và 1 hàm có chứa căn. Chúng ta sẽ tìm GTLN và GTNN của các hàm này.
a] y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]
+] Xét hàm số trên tập D = [-4; 4]
- Ta có: y' = 3x2 - 6x - 9 = 0 ⇔ x = –1 [∈ D] hoặc x = 3 [∈ D] nên:
y[-4] = [-4]3 - 3[-4]2 - 9[-4] + 35 = -41
y[-1] = [-1]3 - 3[-1]2 - 9[-1] + 35 = 40
y[3] = [3]3 - 3[3]2 - 9[3] + 35 = 8
y[4] = [4]3 - 3[4]2 - 9[4] + 35 = 15
+] Xét hàm số trên tập D = [0; 5]
- Ta có: y' = 3x2 - 6x - 9 = 0 ⇔ x = –1 [∉ D] hoặc x = 3 [∈ D] nên:
y[0] = 35; y[3] = 8; y[5] = 40.
b] y = x4 - 3x2 + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5]
- Ta có:
+] Xét D = [0; 3], có:
- Ta có:
- Vậy
+] Xét D = [2; 5], có:
- Ta có:
- Vậy
* Ví dụ 2 [Câu c Bài 1 trang 23-24 SGK Giải tích 12]: Tìm GTLN và GTNN của hàm số hữu tỉ:
° Lời giải
- Ta có:
- Tính:
+] Với D = [2; 4] có: y[2] = 0; y[4] = 2/3
- Vậy
+] Với D = [-3; -2] có: y[-3] = 5/4; y[-2] = 4/3
- Vậy
* Ví dụ 3 [Câu d Bài 1 trang 23-24 SGK Giải tích 12]: Tìm GTLN và GTNN của hàm số chứa căn:
° Lời giải:
d]
- Ta có: TXĐ:
- Xét tập D = [-1;1] có:
- Ta có:
- Vậy
* Ví dụ 4 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác: f[x] = 2cos2x + 2cosx - 1
° Lời giải:
- Ở đây ta thấy hàm cosx có dạng pt bậc 2 nên dùng phương pháp đặt ẩn phụ như sau:
- Đặt t = cosx, t ∈ [-1; 1], ta có:
g[t] = 2t2 + 2t - 1 với t ∈ [-1; 1].
- Ta có:
- Vậy hàm số g[t] đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi:
và đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3/2 khi:
* Ví dụ 5 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác: f[x] = cos2x + 2sinx - 3 với
° Lời giải:
- Từ công thức có cos2x = 1 - 2sin2x, ta có:
f[x] = 1 - 2sin2x + 2sinx - 3 = -2sin2x + 2sinx - 2
- Đặt t = sinx; ta có:
- Ta có: g[t] = -2t2 + 2t - 2
- Tính được:
- Vậy:
° Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị của nhất của hàm số trên khoảng [a;b].
* Phương pháp giải:
• Để tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một khoảng [không phải đoạn, tức X ≠ [a;b]], ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định D và tập X
- Bước 2: Tính y' và giải phương trình y' = 0.
- Bước 3: Tìm các giới hạn khi x dần tới các điểm đầu khoảng của X.
- Bước 4: Lập bảng biến thiên [BBT] của hàm số trên tập X
- Bước 5: Dựa vào BBT suy ra GTLN, GTNN của hàm số trên X.
* Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau:
° Lời giải:
- Ta có: D = [0; +∞]
- Ta thấy x = -2 ∉ [0; +∞] nên loại, mặt khác:
- Ta có bảng biến thiên:
- Từ BBT ta kết luận:
* Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
° Lời giải:
- TXĐ: R{1}
- Ta có:
- Ta thấy x = 0 ∉ [1; +∞] nên loại, mặt khác:
- Ta có bảng biến thiên sau:
- Từ bảng biến thiên ta kết luận:
Như vậy, các em để ý để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ta có thể sử một trong hai phương pháp là lập bảng biến thiên hoặc không lập bảng biến thiên. Tùy vào mỗi bài toán mà chúng ta lựa chọn phương pháp phù hợp để giải.
Thực tế thì với bài toán tìm GTLN, GTNN trên đoạn chúng ta thường ít khi sử dụng pp lập bảng biến thiên. Lập bảng biến thiên thường sử dụng cho bài toán tìm GTLN và GTNN trên khoảng.
Ngoài ra, bài toán về GTLN và GTNN còn được vận dụng để biện luận nghiệm của phương trình [hoặc bất phương] trình dạng f[x] = g[m] [hay f[x] < g[m]] mà HayHocHoi sẽ giới thiệu với các em ở chuyên đề sau.