- \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\] ; b] \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\];
- \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}9x\] ; d] \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}-2{x^3} + {\rm{ }}5\] ;
Giải:
Câu a:
Xét hàm số \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\]
Tập xác định: \[D=\mathbb{R}.\]
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \[y' = 3- 3x^2\] .
Ta có: \[y' = 0 ⇔ x = ± 1\] .
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \[[-1;1]\], nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right].\]
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \[x=1\], giá trị cực đại
\[y\]CĐ=\[y[1]=4\], đạt cực tiểu tại \[x=-1\] và
\[y\]CT=\[y[-1]=0\].
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị cắt trục \[Ox\] tại các điểm \[[2;0]\] và \[[-1;0]\], cắt \[Oy\] tại điểm \[[0;2]\].
Đồ thị:
Ta có: \[y''=6x\]; \[y''=0 ⇔ x=0\]. Với \[x=0\] ta có \[y=2\]. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \[I[0;2]\] làm tâm đối xứng.
Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ \[x=-2\] suy ra \[y=4\].
Câu b:
Xét hàm số \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\]
Tập xác định: \[D=\mathbb{R}.\]
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \[y' = 3x^2+ 8x + 4\].
\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\]
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 2} \right]\] và \[\left[ { - \frac{2}{3}; + \infty } \right]\] và nghịch biến trên \[\left[ { - 2; - \frac{2}{3}} \right].\]
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=-2\], giá trị cực đại \[y\]cđ = \[y[-2] = 0\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=-\frac{2}{3}\], giá trị cực tiểu \[y_{ct}=y\left [ -\frac{2}{3} \right ]=-\frac{32}{27}.\]
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\].
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số cắt trục \[Oy\] tại điểm \[[0;0]\], cắt trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \[{x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0\] hoặc \[x=-2\] nên tọa độ các giao điểm là \[[0;0]\] và \[[-2;0]\].
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \[y''=6x+8;\]\[y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.\]
Câu c:
Xét hàm số \[\small y = x^3 + x^2+ 9x\]
Tập xác định: \[D=\mathbb{R}.\]
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \[y' = 3x^2+ 2x + 9 > 0, ∀x\].
Vậy hàm số luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\] và không có cực trị.
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\].
Bảng biến thiên :
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục \[Ox\] tại điểm \[[0;0]\], cắt trục \[Oy\] tại điểm \[[0;0]\].
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \[y''=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔\] \[x=-\frac{1}{3}.\] Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: \[I\left [ -\frac{1}{3};-\frac{79}{27} \right ].\]
Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ \[x_1\] và \[x_2\] sao cho \[\left| {{x_1} - \left[ { - \frac{1}{3}} \right]} \right| = \left| {{x_2} - \left[ { - \frac{1}{3}} \right]} \right|\], khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm \[[-1;-9]\] và \[\left [ \frac{1}{2};\frac{39}{8} \right ].\]
Câu d:
Xét hàm số \[y=-2x^3+5\]
Tập xác định: \[D=\mathbb{R}.\]
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \[y' = -6x^2≤ 0, ∀x\].
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \[\mathbb R\].
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Tính đối xứng: \[y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0\]. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn \[I[0;5]\] làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục \[Oy\] tại điểm \[[0;5]\], đồ thị cắt trục \[Ox\] tại điểm \[\left[ {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right].\]
Bài 2 trang 43 sách sgk giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
- \[y=- {x^4} + 8{x^{2}}-1\]; b] \[y= {x^4} - 2{x^2} + 2\];
- \[y = {1 \over 2}{x^4} + {x^2} - {3 \over 2}\]; d] \[y = - 2{x^2} - {x^4} + 3\].
Giải:
- Tập xác định: \[\mathbb R\] ;
Sự biến thiên:
\[y' =-4x^3+ 16x = -4x[x^2- 4]\];
\[ y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±2\] .
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[[-\infty;-2]\] và \[[0;2]\]; nghịch biến trên khoảng \[[-2;0]\] và \[2;+\infty]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm \[x=-2\] và \[x=2\]; \[y_{CĐ}=y[\pm 2]=15\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\]; \[y_{CT}=-1\]
- Giới hạn:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}} - }} = - \infty \], \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}} + }} = + \infty \], \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - {1 \over 2}\]