Ở bài trước Toppy đã cùng bạn tìm hiểu các kiến thức về số hữu tỉ, phép cộng, trừ, nhân, chia. Với bài viết này, Toppy sẽ cùng bạn tìm hiểu lũy thừa của một số hữu tỉ. Lũy thừa của một số hữu tỉ là gì? Tích của lũy thừa, thương của lũy tính như thế nào? Lũy thừa của lũy thừa có khó không? Tất cả sẽ có trong bài viết sau đây:
Kiến thức cơ bản
Kiến thức cơ bản
Lũy thừa của số mũ tự nhiên
Ta có số hữu tỉ x, lũy thừa bậc n. Kí hiệu x^n [n là số tự nhiên, n > 1].
Lũy thừa bậc n của số hữu tỉ x tức là tích của n thừa số x.
x^n = x…x [ x thuộc Q, n thuộc N, n > 1]
Ví dụ: 5^3 = 5 x 5 x 5 ; 2^8 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Ta có số hữu tỉ x = a/b thì lũy thừa bậc n của x là [a/b]^n = a^n / b^n
Ví dụ: [1/2]^2 = 1^2 / 2^2 ; [3/4]^4 = 3^4/ 4^4
Xem ngay: Học Toán 7 cùng Toppy: Phép nhân, chia số hữu tỉ
Tích của hai lũy thừa cùng cơ số
Ta có lũy thừa của hai số hữu tỉ là x^m và x^n [trong đó x thuộc Q, m và n thuộc N]
Tích của 2 số hữu tỉ trên là x^m . x^n = x^[m + n]
Kết luận: Tích của lũy thừa cùng cơ số của số hữu tỉ bằng tổng của các lũy thừa.
Ví dụ: 2^3 x 2^4 = 2^[3+4] = 2^7
5^3 x 5^12 = 5^[3 +12] = 5^15
Thương của hai lũy thừa cùng cơ số
Ta có lũy thừa của hai số hữu tỉ là x^m và x^n [trong đó x thuộc Q, m và n thuộc N]
Thương của 2 số hữu tỉ trên là x^m . x^n = x^[m – n] [ x khác 0, m > hoặc = n]
Kết luận: Thương của lũy thừa cùng cơ số của số hữu tỉ bằng hiệu của các lũy thừa.
Ví dụ: 6^3 : 6^2 = 6^[3-2] = 6^1
8^8 : 8^5 = 8^[8 – 5] = 8^3
Lũy thừa của lũy thừa
Lũy thừa của lũy thừa là [x^m]^n = x^[m x n]
Kết luận: Khi xuất hiện lũy thừa của lũy thừa của số hữu tỉ ta thực hiện nhân hai lũy thừa của số đó.
Ví dụ: [2^3]^2 = 2^[3 x 2] = 2^6
[8^7]^6 = 8^[7 x 6] = 8^42
Bài tập vận dụng
Trắc nghiệm
Bài 1: Kết quả đúng của [2/3]^3 bằng:
A. 8/9
B. 8/27
C. 4/9
D. 4/27
Lời giải: [2/3]^3 = 2^3 / 3^3 = 8/27
Bài 2: Kết quả đúng của phép tính [1/7]^2 x 7^2 bằng:
A. 7
B. 1/7
C. 1/49
D. 1
Lời giải: D
Bài 3: Số x^12 [với x ≠0] không bằng số nào sau đây?
A. x^18 : x^16
B. x^4 . x^8
C. x^2 . x^6
D. [x^3]^4
Lời giải: Ta có: x^18 : x^16 = x^ [18-16] = x^2 [x ≠0] nên A đúng
x^8 . x^4 = x^ [8+4] = x^12 nên B đúng
[x^3]^4 = x^ [3.4] = x^12 nên D đúng
=> Đáp án C sai
Bài 4: Số 224 viết dưới dạng lũy thừa với số mũ bằng 8 là
A. 8^8
B. 9^8
C. 6^8
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: 2^24 = 2^ [3.8] = [2^3]^8 = 8^8
Chọn đáp án A.
Bài 5: Đáp án nào không đúng:
A. [-2019]^0 = 1
B. [0.5] x [0.5]^2 = 1/4
C. 4^6 : 4^4 = 16
D. [-3]^3 x [-3]^2 = [-3]^5
Lời giải:
4^6 : 4^4 = 4^ [6 – 4] = 4^2 = 16 nên C đúng
[-3]^3 . [-3]^2 = [-3]^[3+2] = [-3]^5 nên D đúng
=> Đáp án B sai.
Tự luận
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
Lời giải:
Bài 2: Có các số tự nhiên n sao cho: 2.32 ≥ 2n > 8
Lời giải:
Điều cần nhớ khi làm bài toán lũy thừa
Lũy thừa là phần kiến thức mới. Các dạng bài về lũy thừa rất đa dạng. Để làm tốt các dạng bài về lũy thừa của một số hữu tỉ các bạn học sinh cần nhớ những chú ý sau:
- Chú ý điều kiện của bài toán cho sẵn như: lớn hơn, nhỏ hơn, trong khoảng,… Đáp án cuối cùng cần thỏa mãn các điều kiện này.
- Chú ý đến các điều kiện bắt buộc của phân số: mẫu số phải khác 0, tử số thuộc Z,… Không thỏa mãn các điều kiện này tức phân số không tồn tại.
- Khi mới làm quen với lũy thừa rất dễ nhầm lẫn công thức cộng, trừ, nhân, chia ở số mũ. Các bạn cần nắm chắc các công thức để tránh sai kết quả.
- Hãy luyện tập tư duy tính nhanh bằng cách tách các số tìm thừa số chung.
Học tốt lớp 7
Bí mật Toán học
Tăng thuê bao điện thoại khi tăng số điện thoại từ 7 con số lên 8 con số
Theo bạn, khi tăng số các số trong số điện thoại có khiến số người dùng, số thuê bao điện thoai tăng lên hay không? Câu trả lời là có. Bạn có biết vì sao không? Nếu không biết hãy cùng Toppy lý giải ngay sau đây:
Lý giải
Số điện thoại bao gồm 8 chữ số có thể là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Số đầu tiên của số điện thoại sẽ không thể là con số 0. Vì vậy, vị trí thứ nhất chúng ta có 9 sự lựa chọn khác nhau từ 1 đến 9. Từ vị trí thứ 2 đến vị trí thứ 8, chúng ta sẽ có 10 sự lựa chọn khác nhau mà không cần quan tâm có phải là số 0 hay không. 7 vị trí này có thể điền các số từ 0 đến 9 có thể lặp lại. Chúng ta sẽ đi tính xem 8 vị trí chúng ta có bao nhiêu lựa chọn.
Vị trí thứ nhất có 9 lựa chọn. Vị trí thứ 2 đến thứ 8 có 10 lựa chọn. Ta có phép toán:
9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 9 x 10^7 số thuê bao
Tương tự như trên, với số điện thoại có 7 số ta có 9 x 10^6 số thuê bao.
Như vậy, khi tăng số điện thoại từ 7 chữ số lên 8 chữ số, ta sẽ tăng được 9 x 10^7 – 9 x 10^6 = 81.000.000 số thuê bao.
Tương ứng với 81 triệu thuê bao sẽ là 81 khách hàng.
Thực tế có thực sự tăng lên 81 triệu thuê bao?
Trên cơ sở tính toán thì đúng là như vậy, nhưng thực tế điều này không hẳn chính xác. Số thuê bao có tăng những không tới 81 triệu vì: có những số điện thoại đặc biệt dùng cho mục đích đặc biệt như: số điện thoại của công an 113 , số điện thoại cứu hỏa 114,…
Những số điện thoại kiểu này không nhiều. Mặc dù chỉ dùng có 3 con số nhưng những số điện thoại khác bắt đầu bằng những con số này cũng không sử dụng được. Lấy ví dụ số 110.
Khi số điện thoại là 7 chữ số, những số điện thoại bắt đầu bằng 110 sẽ có 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 vì con số 110 đặc biệt này mà không sử dụng được. Khi số điện thoại tăng lên làm 8 con số thì sẽ có 10 x 10 x 10 x 10 x 10=100.000 số điện thoại bắt đầu bằng số 110 không sử dụng được vì cùng một nguyên nhân như trên.
Lời kết
Trên là tổng hợp kiến thức về lũy thừa của một số mà Toppy muốn gửi đến các bạn học sinh. Toppy mong rằng những thông tin này hữu ích và hỗ trợ cho quá trình học tập của các bạn. Mọi thắc mắc cần giải đáp hãy liên hệ ngay với Toppy để được tư vấn. Nếu bạn muốn trau dồi thêm kiến thức về Toán học, Hóa học, Anh ngữ, Vật Lý tham khảo ngay khóa học trực tuyến K12 của Toppy. Khóa học dành cho các bạn học sinh từ lóp 1 đến lớp 12. Toppy gia sư trực tuyến hàng đầu Việt Nam. Toppy tự tin giúp bạn học tập hiệu quả hơn, nâng cao điểm số trong thời gian ngắn.
Xem thêm:
I. Các kiến thức cần nhớ
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ $x$ , kí hiệu là \[{x^n}\], là tích của $n$ thừa số $x$ [$n$ là một số tự nhiên lớn hơn $1$ ]: \[{x^n} = \underbrace {x.x...x}_n\] \[\left[ {x \in \mathbb{Q},n \in \mathbb{N},n > 1} \right]\]
Quy ước: \[{x^1} = x;\] \[{x^0} = 1\] \[\left[ {x \ne 0} \right]\]
Ví dụ: \[{2^3} = 2.2.2\]
Chú ý: Khi viết lũy thừa dưới dạng \[\dfrac{a}{b}\left[ {a,\,b \in \mathbb{Z};\,b \ne 0} \right]\] , ta có \[{\left[ {\dfrac{a}{b}} \right]^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\]
2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số
+ Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ:
\[{x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\] [với \[x\] là số hữu tỉ]
+ Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia: \[{x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\]\[\left[ {x \ne 0,m \ge n} \right]\]
Ví dụ: \[{3^5}{.3^2} = {3^{5 + 2}} = {3^7};\]\[{2^7}:{2^2} = {2^{7 - 2}} = {2^5}\].
3. Lũy thừa của lũy thừa
Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: \[{\left[ {{x^m}} \right]^n} = {x^{m.n}}\]
Ví dụ: \[{\left[ {{2^3}} \right]^4} = {2^{3.4}} = {2^{12}}\].
4. Lũy thừa của một tích
Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: \[{\left[ {x.y} \right]^n} = {x^n}.{y^n}\]
Ví dụ: \[{\left[ {2.3} \right]^2} = {2^2}{.3^2} = 4.9 = 36\]
5. Lũy thừa của một thương
Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa: \[{\left[ {\dfrac{x}{y}} \right]^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\]\[\left[ {y \ne 0} \right]\]
Ví dụ: \[{\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]^3} = \dfrac{{{2^3}}}{{{3^3}}} = \dfrac{8}{{27}}\]
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính tích các lũy thừa, thương các lũy thừa, lũy thừa của một tích và lũy thừa của một thương
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa lũy thừa và các công thức \[{x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\]; \[{x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\]\[\left[ {x \ne 0,m \ge n} \right];\]\[{\left[ {{x^m}} \right]^n} = {x^{m.n}};\] \[{\left[ {\dfrac{x}{y}} \right]^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\]\[\left[ {y \ne 0} \right].\]
Dạng 2: Tìm số mũ hoặc cơ số của một lũy thừa
Phương pháp:
Ta sử dụng tính chất nếu \[{a^m} = {a^n}\] thì \[m = n\,\,\left[ {a \ne 0;a \ne \pm 1} \right]\]
+ Nếu \[{a^n} = {b^n}\] thì \[a = b\] nếu \[n\] lẻ;\[a = \pm b\] nếu \[n\] chẵn
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức
Phương pháp:
Thực hiện đúng thứ tự của phép tính: Lũy thừa, nhân, chia, cộng, trừ. Nếu có dấu ngoặc ta cần làm theo thứ tự: ngoặc tròn-ngoặc vuông-ngoặc nhọn.