Phép biến hình là một quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với 1 và chỉ 1 điểm M.
Viết f[M] = M' nghĩa là f biến M thành M'; M' là ảnh của M qua f.
Kí hiệu: T T[M] = M' =
Nhận xét
- Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định khi biết vecto tịnh tiến của nó.
- Phép tịnh tiến theo là một phép đồng nhất.
Biểu thức tọa độ
M[x; y] --->[T với [a; b]] M'[x + a; y + b]
Tính chất
Hệ quả:
- Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của các điểm tương ứng
- Biến 1 tia thành 1 tia
- Biến 1 đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng có độ dài bằng nó
- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó [Nếu vecto chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vecto tịnh tiến thì biến đường thẳng thành đường thẳng trùng với nó; nếu vecto tịnh tiến không cùng phương với vecto chỉ phương của đường thẳng thì biến thành đường thẳng song song]
- Biến 1 tam giác thành 1 tam giác bằng nó [trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp biến thành các điểm tương ứng]
- Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
Kí hiệu: Đd[M] = M'
Biểu thức tọa độ
- M[x;y] -->[ĐOx] M'[x;-y]
- M[x;y] -->[ĐOy] M'[-x;y]
Tính chất
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
- Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng
- Biến 1 đường thẳng thành 1 đường thẳng
- Đặc biệt: nếu trục d // Δ thì Δ' // Δ; nếu trục d trùng Δ thì Δ' trùng với Δ; nếu trục d cắt Δ tại điểm Y thì Δ' cắt Δ tại Y; nếu d giao với Δ nhưng không vuông góc tại Y thì Δ' giao với Δ tại Y; nếu d vuông góc với Δ thì Δ' trùng với Δ]
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó
- Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
- Biến góc thành góc bằng nó
Định nghĩa trục đối xứng của một hình
- Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình [H] nếu như đối xứng trục d biến [H] thành chính nó
Kí hiệu: ĐO [M] = M' O là trung điểm của MM'
Nhận xét
- Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu ĐO biến H thành chính nó.
Biểu thức tọa độ
M[x;y] -->[ĐO với O[x0;y0]] M'[x';y'] => {
Tính chất
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Biến 1 tia thành 1 tia
- Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của các điểm tương ứng
- Biến 1 đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng có độ dài bằng nó
- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó [nếu tâm O nằm trên Δ thì Δ' trùng với Δ; nếu tâm O không nằm trên Δ thì Δ' // Δ]
- Biến 1 góc thành góc bằng nó
- Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nó [trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp biến thành các điểm tương ứng]
- Biến 1 đường tròn thành đường tròn bằng nó [tâm biến thành tâm]
Kí hiệu: Q[O; α] [M] = M'
Biểu thức của phép quay
M[x;y], M'[x';y']
Q[0; α] [M] = M'
=>
Nhận xét
- Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm và góc quay
- chiều [+] của phép quay trùng với chiều [+] của đường tròn lượng giác
- Phép quay với góc α = k2π là phép đồng nhất [biến mọi điểm M thành chính nó]
- Phép quay với góc α = π + k2π là phép đối xứng tâm O
Tính chất
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
- Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó
- Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
- Biến góc thành góc bằng nó
Kí hiệu: V[O;k] [M] = M' =k.
Biểu thức tọa độ
Nếu O[x0;y0], M[x;y], I[a;b] thì V[0;k] [M] = M'[x';y']
Đặc biệt: Nếu O[0;0] thì {
Tính chất
- Phép vị tự tâm O tỉ số k biến M thành M', N thành N' thì =. Đoạn M'N'=|k|.MN
- Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự giữa chúng
- Biến 1 đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó [nếu tâm vị tự 0 ∈ Δ hoặc tỉ số k=1 thì Δ' trùng với Δ]
- Biến 1 tia thành 1 tia
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp |k|
- Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nó
- Biến góc thành góc bằng nó
- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính R'=|k.R|
Nhận xét
Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay là những phép dời hình.
Tính chất
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
- Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó
- Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
- Biến góc thành góc bằng nó
- Khi thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình
Nhận xét
- Các phép dời hình [phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay] là các phép đồng dạng có tỉ số k=1. Phép vị tự là phép đồng dạng có tỉ số |k|
- Phép đồng dạng không phải phép dời hình. Khi k=1 thì nó sẽ là phép dời hình
Tính chất
-Hệ quả:
- Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng
- Biến đường thẳng thành đường thẳng
- Biến 1 tia thành 1 tia
- Biến 1 đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài được nhân lên k lần
- Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k
- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính R'=k.R
Định nghĩa hai hình đồng dạng
- Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia