Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?
Phương trình nào dưới đây nhận cặp số $\left[ { - 2;4} \right]$ làm nghiệm
Phương trình $x - 5y + 7 = 0$ nhận cặp số nào sau đây làm nghiệm?
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình $3x + 0y = 12$
Tìm nghiệm tất cả nghiệm nguyên của phương trình $3x - 2y = 5.$
Tìm nghiệm nguyên âm lớn nhất của phương trình $ - 5x + 2y = 7$.
Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.. Bài 7 trang 12 sgk Toán 9 tập 2 – Bài 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
7. Cho hai phương trình \[2x + y = 4\] và \[3x + 2y = 5\].
a] Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b] Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
a] \[2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }} – 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}-{1 \over 2} y{\rm{ }} + {\rm{ }}2\].
Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát như sau:
\[\left\{ \matrix{x \in R \hfill \cr y = – 2{\rm{x}} + 4 \hfill \cr} \right.\] hoặc \[\left\{ \matrix{x = – {1 \over 2}y + 2 \hfill \cr y \in R \hfill \cr} \right.\]
\[3x + 2y = 5 \Leftrightarrow y = – {3 \over 2}x + {5 \over 2}\].
Do đó phương trình có nghiệm tổng quát như sau:
\[\left\{ \matrix{ x \in R\hfill \cr
y = – {3 \over 2}x + {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
b] Vẽ [d1]: \[2x + y = 4\]
Quảng cáo– Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 4\] được \[A[0; 4]\].
– Cho \[y = 0 \Rightarrow x = 2\] được \[B[2; 0]\].
Vẽ [d2]: \[3x + 2y = 5\]
– Cho \[x = 0 \Rightarrow y = {5 \over 2}\] ,ta được \[M\left[ {0;{5 \over 2}} \right]\].
– Cho \[y = 0 \Rightarrow x = {5 \over 3}\] ,ta được \[N \left[ {{5 \over 3};0} \right]\].
Hai đường thẳng cắt nhau tại \[D[3; -2]\].
Thay \[x = 3, y = -2\] vào từng phương trình ta được:
\[2 . 3 + [-2] = 4\] và \[3 . 3 + 2 . [-2] = 5\] [thỏa mãn]
Vậy [x = 3; y = -2] là nghiệm chung của các phương trình đã cho.
Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó. Bài 2 trang 7 sgk Toán 9 tập 2 – Bài 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn.
2. Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:
a] \[3x – y = 2\]; b]\[ x + 5y = 3\];
c] \[4x – 3y = -1\]; d] \[x +5y = 0\];
e] \[4x + 0y = -2\]; f] \[0x + 2y = 5\].
a] Ta có phương trình \[3x – y = 2 \] [1]
[1] ⇔ \[\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = 3x – 2 & & \end{matrix}\right.\]
Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: \[[x;3x-2]\]
* Vẽ đưởng thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \[y = 3x – 2\] :
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = – 2\] ta được \[A[0; -2]\].
Cho \[y = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\] ta được \[B[\frac{2}{3}; 0]\].
Biểu diễn cặp số \[A[0; -2]\] và \[B[\frac{2}{3}; 0]\] trên hệ trục tọa độ và đường thẳng AB chính là tập nghiệm của phương trình \[3x – y = 2\].
b]Ta có phương trình \[x + 5y = 3\] [2]
[2] ⇔ \[\left\{\begin{matrix} x = -5y + 3 & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\]
Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là [-5y + 3; y].
* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \[x=-5y+3\] :
+] Cho \[x = 0 \Rightarrow y = {3 \over 5}\] ta được \[A\left[ {0;{3 \over 5}} \right]\].
+] Cho \[y = 0 \Rightarrow x = 3\] ta được \[B\left[ {3;0} \right]\].
Biểu diễn cặp số \[A\left[ {0;{3 \over 5}} \right]\], \[B\left[ {3;0} \right]\] trên hệ trục toa độ và đường thẳng AB chính là tập nghiệm của phương trình.
c] Ta có phương trình \[4x – 3y = -1\] [3]
[3] ⇔ \[\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}& & \end{matrix}\right.\]
Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: \[\left[ {x;{4 \over 3}x + {1 \over 3}} \right]\].
* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \[4x-3y=-1\]
Quảng cáo+] Cho \[x = 0 \Rightarrow y = {1 \over 3}\] ta được \[A\left[ {0;{1 \over 3}} \right]\]
+] Cho \[y = 0 \Rightarrow x = -{{ 1} \over 4}\] ta được \[B\left[ {-{1 \over 4};0} \right]\]
Biểu diễn cặp số \[A [0; \frac{1}{3}]\] và \[B [-\frac{1}{4}\]; 0] trên hệ tọa độ và đường thẳng AB chính là tập nghiệm của phương trình \[4x-3y=-1\].
d]Ta có phương trình \[x + 5y = 0\] [4]
[4] ⇔ \[\left\{\begin{matrix} x = -5y & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\]
Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: \[[-5y;y]\].
* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \[x+5y=0\]
+] Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 0\] ta được \[O\left[ {0;0} \right]\]
+] Cho \[y = 1 \Rightarrow x = -5\] ta được \[A\left[ {-5;1}\right]\].
Biểu diễn cặp số \[O [0; 0]\] và \[A [-5; 1]\] trên hệ tọa độ và đường thẳng OA chính là tập nghiệm của phương trình \[x+5y=0\].
e] Ta có phương trình \[4x + 0y = -2\] [5]
[5] ⇔ \[\left\{\begin{matrix} x = -\frac{1}{2} & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\]
Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: \[\left[ – {1 \over 2} ;y \right]\]
Tập nghiệm là đường thẳng \[x = -\frac{1}{2}\], qua \[A [-\frac{1}{2}; 0]\] và song song với trục tung.
f] 0x + 2y = 5 [6]
[6] ⇔ \[\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \frac{5}{2} & & \end{matrix}\right.\]
Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là \[\left[ {x;{5 \over 2}} \right]\]
Tập nghiệm là đường thẳng \[y = {5 \over 2}\] qua \[A\left[ {0;{5 \over 2}} \right]\] và song song với trục hoành.
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách giải toán 9 Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 1 trang 5:
a] Kiểm tra xem các cặp số [1; 1] và [0,5; 0] có là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 hay không ?
b] Tìm thêm một nghiệm khác của phương trình 2x – y = 1.
Lời giải
a] Cặp số [1; 1] là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 vì 2.1 – 1 = 1
Cặp số [0,5; 1] là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 vì 2.0,5 – 1 ≠ 1
b] Chọn x = 2 ta có: 2.2 – y = 1 ⇔ y = 3
Vậy cặp số [2; 3] là một nghiệm của phương trình 2x – y = 1
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 1 trang 5: Nếu nhận xét về số nghiệm của phương trình 2x – y = 1.
Lời giải
Phương trình 2x – y = 1 có vô số nghiệm
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 1 trang 5: Điền vào bảng sau và viết ra sáu nghiệm của phương trình [2]:
| x | -1 | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 2,5 |
| y = 2x – 1 |
Lời giải
| x | -1 | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 2,5 |
| y = 2x – 1 | -3 | -1 | 0 | 1 | 3 | 4 |
Vậy 6 nghiệm của phương trình là : [-1; -3], [0; 1], [0,5; 0], [1;1], [2; 3], [2,5; 4]
Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
a] 5x + 4y = 8? ; b] 3x + 5y = -3?
Lời giải
a] Tại x = -2 ; y = 1 ta có: 5x + 4y = 5.[-2] + 4.1 = -10 + 4 = -6 ≠ 8
⇒ cặp số [-2; 1] không là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
Tại x = 0 ; y = 2 ta có 5x + 4y = 5.0 + 4.2 = 8
⇒ cặp số [0; 2] là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
Tại x = -1 ; y = 0 ta có: 5x + 4y = 5.[-1] + 4.2 = -5 ≠ 8
⇒ cặp số [-1; 0] không là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
Tại x = 1,5 ; y = 3 ta có 5x + 4y = 5.1,5 + 4.3 = 7,5 + 12 = 19,5 ≠ 8
⇒ [1,5; 3] không là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
Tại x = 4 ; y = -3 ta có: 5x + 4y = 5.4 + 4.[-3] = 20 – 12 = 8
⇒ [4; -3] là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
Vậy có hai cặp số [0; 2] và [4; -3] là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
b] Tại x = -2 ; y = 1 ta có 3x + 5y = 3.[-2] + 5.1 = -6 + 5 = -1 ≠ -3
⇒ [-2; 1] không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.
Tại x = 0 ; y = 2 ta có 3x + 5y = 3.0 + 5.2 = 10 ≠ -3
⇒ [0; 2] không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.
Tại x = -1 ; y = 0 ta có: 3x + 5y = 3.[-1] + 5.0 = -3
⇒ [-1; 0] là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3. .
Tại x = 1,5 ; y = 3 ta có 3x + 5y = 3.1,5 + 5.3 = 4,5 + 15 = 19,5 ≠ -3
⇒ [1,5; 3] không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.
Tại x = 4 ; y = -3 ta có 3x + 5y = 3.4 + 5.[-3] = 12 – 15 = -3
⇒[4; -3] là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.
Vậy có hai cặp số [-1; 0] và [4; -3] là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.
Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
a] 3x – y = 2; b] x + 5y = 3;
c] 4x – 3y = -1; d] x + 5y = 0 ;
e] 4x + 0y = -2 ; f] 0x + 2y = 5.
Lời giải
a] 3x – y = 2 [1]
⇔ y = 3x – 2.
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là [x; 3x – 2] [x ∈ R].
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình [1] là đường thẳng y = 3x – 2 [Hình vẽ].
+ Tại x = 1 thì y = 1 ⇒ đường thẳng y = 3x – 2 đi qua điểm [1; 1].
+ Tại x = 0 thì y = -2 ⇒ đường thẳng y = 3x – 2 đi qua điểm [0; -2].
Vậy đường thẳng y = 3x – 2 là đường thẳng đi qua điểm [1; 1] và [0; -2].
b] x + 5y = 3 [2]
⇔ x = 3 – 5y
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là [3 – 5y; y] [y ∈ R].
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của [2] là đường thẳng x + 5y = 3.
+ Tại y = 0 thì x = 3 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm [3; 0].
+ Tại y = 1 thì x = -2 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm [-2; 1].
Vậy đường thẳng x + 5y = 3 là đường thẳng đi qua hai điểm [3; 0] và [-2; 1].
c] 4x – 3y = -1
⇔ 3y = 4x + 1
⇔
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình là đường thẳng 4x – 3y = -1.
+ Tại x = 0 thì y =
Đường thẳng đi qua điểm
+ Tại y = 0 thì x =
Đường thẳng đi qua điểm
Vậy đường thẳng 4x – 3y = -1 đi qua
d] x + 5y = 0
⇔ x = -5y.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là [-5y; y] [y ∈ R].
Đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình là đường thẳng x + 5y = 0.
+ Tại x = 0 thì y = 0 ⇒ Đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
+ Tại x = 5 thì y = -1 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm [5; -1].
Vậy đường thẳng x + 5y = 0 đi qua gốc tọa độ và điểm [5; -1].
e] 4x + 0y = -2
Phương trình nghiệm đúng với x = -0,5 và với mọi y nên có nghiệm tổng quát [-0,5; y] [y ∈ R].
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là đường thẳng x = -0,5 đi qua điểm [-0,5; 0] và song song với trục tung.
f] 0x + 2y = 5
Phương trình nghiệm đúng với y = 2,5 và với mọi x nên có nghiệm tổng quát [x; 2,5] [x ∈ R].
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là đường thẳng y = 2,5 đi qua điểm [0; 2,5] và song song với trục hoành.
Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
Lời giải
– Vẽ đường thẳng x + 2y = 4.
+ Với x = 0 ⇒ y = 2. Đường thẳng đi qua điểm [0; 2].
+ Với y = 0 ⇒ x = 4. Đường thẳng đi qua điểm [4; 0].
Đường x + 2y = 4 là đường thẳng đi qua điểm [0; 2] và [4; 0].
– Vẽ đường thẳng x – y = 1
+ Với x = 0 ⇒ y = -1. Đường thẳng đi qua điểm [0; -1].
+ Với y = 0 ⇒ x = 1. Đường thẳng đi qua điểm [1; 0].
Đường x – y = 1 là đường thẳng đi qua điểm [0 ; -1] và [1 ; 0].
– Giao điểm của hai đường thẳng là điểm A có tọa độ là [2; 1].
– Ta có A[2; 1] cùng thuộc hai đường thẳng nên nó là nghiệm của cả hai phương trình đã cho.