Phương trình lượng giác thường gặp bài tập

Trong chương trình toán THPT, các em sẽ được làm quen với dạng bài về phương trình lượng giác thường gặp. Bài viết dưới đây Vuihoc.vn sẽ tổng hợp đầy đủ về phương trình lượng giác thường gặp cùng ví dụ minh họa giúp các em hiểu bài nhanh hơn.

Phương trình bậc nhất với một số hàm số lượng giác có dạng phương trình như sau: 

at+b=0

Trong đó:  a,b: hằng số [a≠0]

                  t: một trong các hàm số lượng giác

Phương trình lượng giác dạng asinx+bcosx=c, trong đó có a,b,c cùng thuộc R, $a^{2}+b^{2}\neq 0$ là phương trình bậc nhất với sin⁡x và cos⁡x.

Ta xét:

+ Nếu $a^{2}+b^{2}< c^{2}$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $a^{2}+b^{2}\geqslant c^{2}$, để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp các bước sau.

Với phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác sinx và cosx, ta xét phương trình asinx+bcosx=c

Lúc này:

+ Ta chia 2 vế của phương trình cho $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

+ Gọi $\alpha$ là góc lượng giác được tạo ra bởi chiều dương của trục hoành với vectơ $\vec{OM}=[a,b]$, phương trình trở thành:

$sin[x+\alpha ]=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ [1]

Điều kiện phương trình có nghiệm:

$\left | \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |\leqslant 1 \Rightarrow \left | c \right |\leqslant \sqrt{a^{2}+b^{2}} \Rightarrow c^{2}\leqslant a^{2}+b^{2}$

Suy ra được điều kiện để phương trình asinx +bcosx = c có nghiệm

Công thức đặc biệt:

• sin⁡x+cos⁡x=0

 ⇔x= –π4+kπ [k∈Z].

• sin⁡x–cos⁡x=0

 ⇔x=π4+kπ

Ví dụ: Hãy giải phương trình sau: [1+$\sqrt{3}$]sinx + [1-$\sqrt{3}$]cosx=2

Giải: 

2. Phương trình bậc hai một số hàm lượng giác 

Dạng 1: $asin^{2}x+bsinx+c$ [a≠0;a,b,c∈R]

Phương pháp giải: 

Đặt:

• t=sin⁡x, với điều kiện |t|≤1, sau đó đưa phương trình $asin^{2}x+bsinx+c$ về phương trình bậc hai theo t.
• Giải phương trình tìm ra t, chú ý kết hợp điều kiện của t rồi tìm x.

Dạng 2: $acos^{2}x+bcosx+c$, [a≠0; a,b,c∈R].

Phương pháp giải: Đặt t=cos⁡x, điều kiện |t|≤1

• Đưa phương trình $acos^{2}x+bcosx+c$ về phương trình bậc hai theo t.
• Giải phương trình ra tìm t, chú ý kết hợp điều kiện của t rồi tìm x.

Dạng 3: $atan^{2}x+btanx+c$ [a≠0; a,b,c∈R].

Phương pháp giải: Điều kiện cos⁡x≠0

 ⇔x≠π2+kπ [k∈Z].

• Đặt t=tan⁡x [t∈R], đưa phương trình $atan^{2}x+btanx+c$ về phương trình bậc hai theo t. Chú ý rằng khi tìm được nghiệm x cần thử lại vào điều kiện xem có thoả mãn hay không.

Dạng 4: $acot^{2}x+bcotx+c$ [a≠0; a,b,c∈R].

Phương pháp giải: Điều kiện sin⁡x≠0 ⇔x≠kπ [k∈Z].

• Đặt t=cot⁡x [t∈R], ta đưa phương trình $acot^{2}x+bcotx+c$ về phương trình bậc hai theo ẩn t

• Giải ra t rồi tìm x, chú ý khi tìm được nghiệm cần thử lại vào điều kiện xem có thoả mãn hay không.

Ví dụ: Hãy giải phương trình $2cos^{2}x-3cosx+1$

Giải:

3. Phương trình lượng giác thuần bậc hai đối với sinx và cosx

Phương trình thuần nhất bậc hai với sin⁡x và cos⁡x là phương trình có dạng: $asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$, trong đó có: a,b,c,d cùng thuộc R.

Phương pháp giải:

Ta chia từng vế của phương trình cho một trong ba $sin^{2}x$, $cos^{2}x$ hoặc sin⁡x.cos⁡x. Ví dụ nếu ta chia cho $cos^{2}x$ ta làm theo các bước sau:

• Cho: cos⁡x=0 ⇔x=2 + kπ [k∈Z] xem nó có phải là nghiệm của phương trình $asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$ không?

• Với cos⁡x≠0, chia cả hai vế cho $cos^{2}x$, lúc này phương trình $asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$ trở thành: $atan^{2}x+btanx+c=d[1+tan2x]$

 ⇔ $[a-d]tan^{2}x+btanx+c-d=0$.

Ta xét thấy, phương trình có dạng bậc hai theo tan.

Ví dụ: Hãy giải phương trình $2\sqrt{3}cos^{2}x+6sinxcosx=3+\sqrt{3}$

4. Phương trình đối xứng với sinx và cosx

Phương trình đối xứng với sin⁡x và cos⁡x là phương trình dạng a[sin⁡x+cos⁡x]+bsin⁡xcos⁡x+c=0, với a,b,c thuộc R.

Phương pháp giải:

Do: $[sinx+cosx]^{2}$

= 1+2sin⁡x.cos⁡x nên ta đặt:

t=sin⁡x+cos⁡x= $\sqrt{2}sin[x+\frac{\pi }{4}] = 2cosz[\frac{\pi }{4}-x]$

Điều kiện |t|≤2.

Nên sin⁡x.cos⁡x = $\frac{t^{2}-1}{2}$ và phương trình a[sin⁡x+cos⁡x]+bsin⁡xcos⁡x+c=0 được viết lại là $bt^{2}+2at-[b+2c]=0$

Ví dụ: Giải pt sin⁡x+cos⁡x–2sin⁡x.cos⁡x+1=0

Giải:

5. Phương trình lượng giác dạng thuận nghịch

Ta có dạng phương trình thuận nghịch là:

$A[f^{2}[x]+\frac{k^{2}}{f^{2}[x]}]+B[f[x]+\frac{k}{f[x]}]+C=0$ [1]

Hoặc $A[a^{2}tan^{2}x+b^{2}cot^{2}x]+B[atanx+bcotx]+C=0$ [2]

Giải: 

• Đối với [1]: Đặt t=f[x] + $\frac{k}{f[x]}$

• Đối với [2]: Đặt t=a tanx + b cotx

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{3}{cos^{2}x}+3cot^{2}x+4[tanx+cotx]-1=0$

Giải: 

6. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx là phương trình có dạng:

$asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$

Trong đó: x là một ẩn số

                a,b,c,d là hệ số  

Giải:

Lúc này phương trình có dạng:

$asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=a$

$\Leftrightarrow asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}=asin^{2}x+acos^{2}x$

$\Leftrightarrow bsinx.cosx+[c-a]cos^{2}x=0$

$\Leftrightarrow cosx\left [ bsinx+[c-a]cosx \right ]=0$

$\Leftrightarrow cosx=0$ hoặc $[ bsinx+[c-a]cosx \right ]=0$

Trường hợp 2: $a\neq d$

$\Leftrightarrow asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=dsin^{2}x+dcos^{2}x$

$\Leftrightarrow [a-d]sin^{2}x+bsinxcosx+[c-d]cos^{2}x=0$

Có thể thấy cosx=0 không phải là nghiệm phương trình, ta chia cả 2 vế cho cos^{2}x ta được:

$[a-d]tan^{2}x+btanx+c-d=0$

Ví dụ: Giải phương trình: $6sin^{2}x+14sinxcosx-4[1+cos2x]=6$

Giải:

PT $\Leftrightarrow 3[1-cos2x]+7 sin2x-4[1+cos2x]=6$ $\Leftrightarrow 7sin2x-7cos2x=7$ $\Leftrightarrow sin2x-cos2x=1$ $\Leftrightarrow sin[2x-\frac{\pi }{4}]=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

Bài viết trên đã tổng hợp lý thuyết cũng như các dạng toán về phương trình lượng giác thường gặp. Hy vọng rằng các em sẽ tiếp thu bài học dễ dàng hơn và giải bài tập thật thành thạo. Truy cập ngay nền tảng học online Vuihoc.vn để để ôn tập nhiều hơn về các dạng toán khác nhé! Chúc các bạn ôn tập hiệu quả.

>> Xem thêm: 

Phương trình lượng giác là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số 11. Trong các bài trước, chúng ta đã được học về Hàm số lương giác và phương trình lượng giác. Hôm nay iToan sẽ đem đến cho các em bài học: Một số phương trình lượng giác thường gặp, do các thầy cô giáo giàu kinh nghiệm biên soạn, theo sát chương trình sách giáo khoa.

Mục tiêu bài học

Qua bài giảng này, các em cần nắm được các kiến thức sau:

• Phương trình bậc nhất, bậc hai với hàm số lượng giác
• Phương trình bậc nhất với sin x và cos x
• Hướng dẫn giải bài tập SGK
• Bài tập tự luyện

Lý thuyết cần nắm Phương trình lượng giác

Tổng hợp lý thuyết cơ bản nhất, được trình bày một cách chi tiết, giúp các em nắm được kiến thức một cách hiệu quả!

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

1. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at+b=0

Với a,b là các hằng số a≠0 và t là một hàm số lượng giác nào đó.

2. Cách giải

at+b=0⇔t=−ba đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ

3–√cotx−3=0⟺cotx=3–√=cotπ6

⇔x=π6+kπ,k∈Z

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. 5cosx−2sin2x=0;

b. 8sinxcosxcos2x=−1.

Giải

a. Ta có 5cosx−2sin2x=0⇔5cosx−4sinxcosx=0

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at^2+bt+c=0

Trong đó a,b,c là các hằng số [a≠0] và t là một trong các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho các ẩn phụ [nếu có] rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Ta có bảng sau:

3. Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Có nhiều phương trình lượng giác mà khi giải có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Ví dụ: 

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

1. Công thức biến đổi biểu thức asinx+bcosx

2. Phương trình dạng asinx+bcosx=c

• Xét phương trình asinx+bcosx=c, với a,b,c∈R;a,b không đồng thời bằng 0[a^2+b^2≠0].
• Nếu a=0,b≠0 hoặc a≠0,b=0, phương trình asinx+bcosx=c có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản. Nếu a≠0,b≠0, ta áp dụng công thức [I].

Ví dụ: Giải phương trình

sinx+√3 cosx=1.

Giải

Theo công thức [I] ta có

Giải bài tập SGK Đại số 11 Phương trình lượng giác

Bài 1: Giải phương trình: sin2x – sin x = 0

Lời giải:

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 [k ∈ Z].

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a] 2cos2x – 3cos x + 1 = 0

b] 2sin 2x + √2.sin4x = 0.

Lời giải:

a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 [1]

đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

[1] trở thành 2t2 – 3t + 1 = 0

 [thỏa mãn điều kiện].

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π [k ∈ Z]

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 [k ∈ Z].

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 [k ∈ Z]

Bài 3: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

 [Phương trình bậc hai với ẩn  ].

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π [k ∈ Z]

b. 8cos2x + 2sinx – 7 = 0 [1]

⇔ 8[1 – sin2x] + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x – 2sinx – 1 = 0 [Phương trình bậc hai với ẩn sin x]

Vậy phương trình có tập nghiệm {

 + k2π;  + k2π; arcsin + k2π; π – arcsin + k2π [k ∈ Z].

c. Điều kiện: 

2tan2x + 3tanx + 1 = 0 [Phương trình bậc 2 với ẩn tan x].

 [Thỏa mãn điều kiện]

Vậy phương trình có tập nghiệm {

 + kπ; arctan + kπ} [k ∈ Z]

d. Điều kiện 

tanx – 2.cotx + 1 = 0

 [Thỏa mãn điều kiện].

Vậy phương trình có tập nghiệm {

 + kπ; arctan[-2] + kπ} [k ∈ Z]

Bài 4 : Giải các phương trình sau:

a. 2sin2 x + sinx.cosx – 3cos2 x = 0

b. 3sin2 x – 4 sinx.cosx + 5 cos2 x =2

c. sin2 x + sin2x – 2 cos2 x = 1/2

d. 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

Lời giải:

a] 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 [1]

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình [1] trở thành: 2 = 0 [loại]

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của [1] cho cos2x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 [k ∈ Z]

b] 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2[sin2x + cos2x]

⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 [1]

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1.

Phương trình [1] trở thành 1 = 0 [Vô lý].

+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 [k ∈ Z]

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

[1] trở thành 1 = 0 [Vô lý].

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 [k ∈ Z]

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 [k ∈ Z]

Bài 5: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 [k ∈ Z]

Ta có: 

 nên tồn tại α thỏa mãn 

[1] trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm 

 [k ∈ Z]

với α thỏa mãn 

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 [k ∈ Z]

Vì 

 nên tồn tại α thỏa mãn 

[*] ⇔ cos α.cos 2x + sin α. sin 2x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm 

 [k ∈ Z]

với α thỏa mãn 

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a. tan[2x + 1].tan[3x – 1] = 1

b. tanx + tan [x+π/4] = 1

Lời giải:

a. Điều kiện: 

Vậy phương trình có họ nghiệm 

 [k ∈ Z].

b. Điều kiện:

⇔ tan x.[1 – tanx] + tanx + 1 = 1 – tan x.

⇔ tan x – tan2x + 2.tan x = 0

⇔ tan2x – 3tanx = 0

⇔ tanx[tanx – 3] = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: {arctan 3+kπ; k ∈ Z }

Bài tập tự luyện Phương trình lượng giác

Bài tập tự luyện do iToan biên soạn sẽ giúp các em luyện tập cách suy nghĩ, giải nhanh và tư duy logic!

Phần câu hỏi

Câu 1: Phương trình: 1+sin2x=0 có nghiệm là:

A. x=−π/2+k2π.

B. x=−π/4+kπ.

C. x=−π/4+k2π.

D. x=−π/2+kπ

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

Phần đáp án

1.B       2.B     3.B      4.B

Lời kết

Để làm tốt các bài toán về phương trình lượng giác, các em cần hiểu và nhớ rõ tập xác định, tập nghiệm của các phương trình cơ bản. Các em có thể làm thêm nhiều bài tập tự luyên từ tự luận đến nâng cao tại Toppy. Toppy là nền tảng học trực tuyến giúp em tiết kiệm thời gian, chi phí mà vẫn học tập hiệu quả.

Chúc các em học tốt và đạt nhiều điểm cao!

>> Xem thêm: