Phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc
|
1. Các kiến thức cần nhớ Show a) Tính chất của tiếp tuyến Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.  Trong hình trên a là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\) \(\Rightarrow a\perp OH\) tại \(H\) (với H là tiếp điểm).
b) Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Ngoài ra, nhắc lại một số dấu hiệu đã biết: +) Nếu một đường thằng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. +) Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. 2. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại tiếp điểm là $A$, ta có thể làm theo cách sau: Cách 1. Chứng minh $OA \bot d$ tại $A$ và $A \in \left( O \right)$. Cách 2. Vẽ $OH \bot d$. Chứng minh $OH \equiv OA = R$. Cách 3. Vẽ tiếp tuyến $d'$ của $\left( O \right)$. Ta chứng minh $d \equiv d'$. Dạng 2: Bài toán tính độ dài Phương pháp: Vận dụng định lý về tiếp tuyến và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán. Tiếp tuyến của đường tròn ((C) : (x-a)^{2} + (y-b)^{2Lambda } = R^{2}) tại điểm (M_{0}(x_{0},y_{0})) thuộc đường tròn (C) có phương trình: ((x – a)(x_{0}- a) + (y – b)(y_{0}- b) = R^{2}) Nếu phương trình đường tròn (C) được biểu diễn dưới dạng: (x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0) thì phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) là: (xx_{0}+yy_{0}-a(x+x_{0})-b(y+y_{0})+c=0) Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn (C) tại điểm M(3;4) biết đường tròn có phương trình là: ((x−1)^{2}+(y−2)^{2}=8) Hướng dẫn: Đường tròn (C) có tâm là điểm I(1;2) và bán kính (R=sqrt{8}) Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(3;4) là: (3−1)(x−3)+(4−2)(y−4)=0 (Leftrightarrow) 2x+2y−14=0 Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ((C) : x^{2} + y^{2} +2x – 4y – 4 = 0) tại điểm (M_{0}(-1;5)) Hướng dẫn: Dễ thấy phương trình đường tròn (C) được biểu diễn thành: (x^{2} + y^{2} – 2.(-1).x – 2.2.y = 0) (Rightarrow) phương trình tiếp tuyến là: (x.(-1) + y.5 – (-1).(x – 1) – 2.(y + 5) – 4 = 0) (Leftrightarrow -x + 5y + x – 1 – 2y – 10 – 4 = 0) (Leftrightarrow y = 5) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua một điểm nằm ngoài đường trònCho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và điểm (M(x_{0},y_{0})) nằm ngoài đường tròn (C). Đường thẳng (Delta) đi qua M là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi: (d(I,Delta ) = R) Cách làm: Viết phương trình của đường (Delta) đi qua (M(x_{0},y_{0})) (y – y_{0} = m(x – x_{0}) Leftrightarrow mx – y – mx_{0} + y_{0} = 0) (1) Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới (Delta) bằng R (d(I,Delta )=R) Ta tính được m, thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến. Bạn đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến của Đường tròn và các dạng bài tập Chú ý: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước nằm ngoài đường tròn. Xem thêm: Hướng Dẫn Đổi Dấu Phẩy Thành Dấu Chấm Trong Excel, Cách Chuyển Dấu Phẩy Thành Dấu Chấm Trên Excel Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng có hệ số góc kCho đường tròn (C) viết tiếp tuyến (Delta) của (C) biết tiếp tuyến song song với một đường thẳng có hệ số góc k. Cách làm: Phương trình của đường thẳng (Delta) có dạng: y = kx + m (m chưa biết) (Leftrightarrow kx – y + m = 0) Cho khoảng cách từ tâm I đến (Delta) bằng R: (d(I,Delta )=R) ta tìm được m. Thay m vừa tìm được vào phương trình y = kx + m ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm. Trên đây là tổng hợp cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn của danangmoment.com, nếu có thắc mắc hay băn khoăn các bạn bình luận bên dưới chúng mình sẽ giải đáp ạ! Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì chia sẻ với bạn bè nhé!
Quảng cáo Cho đường tròn ( C) có tâm I( a; b); bán kính R và điểm M( x0; y0) : + Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C ) tại điểm M: Do (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại M nên d vuông góc IM ⇒ Đường thẳng ( d) : ⇒ Phương trình đường thẳng d. + Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C) đi qua M : - Đường thẳng ( d) : ⇒ (d): A(x - x0) + B( y - y0) = 0. - Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d( I; d) = R ⇒ Một phương trình hai ẩn A; B. Giải phương trình ta được A = kB. - Chọn A= ... ⇒ B=...⇒ Phương trình đường thẳng d. Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) : (x - 3)2 + (y - 1)2 = 10. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là A. x - 3y + 8 = 0. B. x + 3y – 16 = 0. C. 2x - 3y + 5 = 0 . D. x + 3y - 16 = 0. Hướng dẫn giải Đường tròn (C) có tâm I( 3;1). Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A; khi đó d và IA vuông góc với nhau. ⇒ IA→ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến của d. Suy ra phương trình d: 1( x - 4) + 3( y - 4 ) = 0 Hay x + 3y - 16 = 0. Chọn D. Quảng cáo Ví dụ 2 : Cho đường tròn (x - 3)2 + (y + 1)2 = 5 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là A. 2x + y = 0; 2x + y - 10 = 0 B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y - 1 = 0 C. 2x - y + 1 = 0; 2x + y - 10 = 0 D. 2x + y = 0; x + 2y - 10 = 0 Hướng dẫn: Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 . Đường tròn ( C) có tâm I( 3; -1) và bán kính R = √5 Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) khi : d( I , ∆) = R ⇔ ⇔ Vậy ∆1 : 2x + y = 0 , ∆2 : 2x + y - 10 = 0 Chọn A. Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm B( 4; 6) . A. x - 4 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0 B. x - 4 = 0 hoặc y - 6 = 0. C. y - 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0 D. x - 4 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0 Lời giải + Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = + Tiếp tuyến ∆: ⇒ Phương trình ∆: a(x - 4) + b(y - 6) = 0 hay ax + by - 4a - 6b = 0 (*) + Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R ⇔ ⇔ |a + 2b| = ⇔ a2 + 4ab + 4b2 = a2 + b2 ⇔ 4ab + 3b2 = 0 ⇔ + Nếu b = 0; chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆: x - 4 = 0. + Nếu 4a = - 3b ta chọn a = 3 thì b = -4 thay vào ( *) ta được: 3x - 4y + 12 = 0 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0 . Chọn D. Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 tại điểm M(2; 1) là: A. d: -y + 1 = 0 B. d: 4x + 3y + 14 = 0 C. d: 3x - 4y - 2 = 0 D. d: 4x + 3y - 11 = 0 Lời giải + Đường tròn ( C) có tâm I(-2; -2) và bán kính R= 5. + Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn taị điểm M nên hai đường thẳng d và IM vuông góc với nhau. + Đường thẳng d: ⇒Phương trình (d) : 4( x - 2) + 3( y - 1) = 0 hay 4x + 3y - 11 = 0 Chọn D. Quảng cáo Ví dụ 5. Cho đường tròn ( C): (x-1)2 + (y + 2)2 = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3; -4) . A. d: x + y + 1 = 0 B. d: x - 2y - 11 = 0 C. d: x - y - 7 = 0 D. d: x - y + 7 = 0 Lời giải + Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -2) . + Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm A(3; -4) nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IA. + Phương trình đường thẳng (d): ⇒ phương trình (d) là: 2( x - 3) – 2( y + 4) = 0 ⇔ (d) : 2x - 2y - 14 = 0 hay x - y - 7 = 0 Chọn C. Ví dụ 6. Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 1)2 = 25 và điểm M(9; -4) . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C) , biết ∆ đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến ∆ bằng: A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải + Đường tròn (C) có tâm I(-1; 1)và bán kính R= 5. + Tiếp tuyến ∆: ⇒ Phương trình ∆: a(x - 9) + b(y + 4) = 0 hay ax + by – 9a + 4b = 0 (*) + Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R ⇔ ⇔ |-2a + b| = ⇔ 4a2 - 4ab + b2 = a2 + b2 ⇔ 3a2 - 4ab = 0 ⇔ + Nếu a = 0 chọn b = 1 thay vào (*) ta được: y + 4 = 0 ( loại) vì tiếp tuyến không song song với các trục tọa độ. + Nếu 3a = 4b, chọn a = 4 thì b = 3 ta được ∆: 4x + 3y - 24 = 0 ⇒ Khoảng cách từ P(6;5) đến đường thẳng ∆ là: d(P, ∆) = Chọn B. Ví dụ 7. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = Độ dài OI = ⇒ Điểm O nằm trong đường tròn nên không có tiếp tuyến nào của đường tròn kẻ từ O. Chọn A. Ví dụ 8. Cho đường tròn (C): (x-3)2 + (y + 3)2 = 1. Qua điểm M(4; -3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn( C) ta được : ( 4 - 3)2 + (-3 + 3)2 = 1 ⇒ Điểm M thuộc (C). ⇒ có đúng 1 tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ M. Chọn B. Ví dụ 9. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp xúc với đường tròn
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Đường tròn ( C) có tâm I(2; -3) và bán kính R = 2. Độ dài IN = ⇒ Điểm N nằm ngoài đường tròn ( C) nên qua điểm N kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C). Chọn C. Ví dụ 10. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 5; -2). A. x - 5 = 0 . B. x + y - 3 = 0 hoặc x - y 7 = 0. C. x- 5= 0 hoặc x + y - 3 = 0 . D. y + 2 = 0 hoặc x - y - 7 = 0 . Lời giải + Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 2√2 + Tiếp tuyến ∆: ⇒ Phương trình ∆: a( x - 5) + b(y + 2) = 0 hay ax + by - 5a + 2b = 0. + Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R ⇔ ⇔ 16a2 = 8( a2 + b2 ) ⇔ 8a2 = 8b2 ⇔ + Nếu a = b; ta chọn a = 1 ⇒ b = 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x + y - 3 = 0 + Nếu a = - b; chọn a = 1 thì b = - 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x - y - 7 = 0. Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x + y - 3 = 0 và x - y - 7 = 0 Chọn B. Ví dụ 11: Cho đường tròn ( C) có tâm I(1; 3), bán kính R= √52. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d: A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0 C. 2x - 3y - 19 = 0 D. Đáp án khác Lời giải + Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ M(3 + 2t; 1 - 4t). + Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R ⇔ IM2 = R2 ⇔ ( 2 + 2t)2 + ( 2 + 4t)2 = 52 ⇔ 4t2 + 8t + 4 + 16t2 + 16t + 4 = 52 ⇔ 20t2 + 24t – 44 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = + Với t = 1 thì tọa độ M(5; -3) . ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M (5; -3): (∆) : ⇒ Phương trình tiếp tuyến : 2( x - 5) – 3(y + 3) = 0 hay 2x - 3y - 19 = 0 Chọn C. Câu 1: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x2 + y2 - 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là: A. d: x + 3y - 2 = 0 B. d: x - 3y + 4 = 0 C. d: x - 3y - 4 = 0 D. d: x + 3y + 2 = 0
Đáp án: D Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm I( + Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) tại điểm N nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IN. + Phương trình đường thẳng (d) : ⇒(d): 1(x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay ( d): x + 3y + 2 = 0 Câu 2: Cho đường tròn( C): x2 + y2 - 2x + 8y - 23 = 0 và điểm M( 8; -3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của ( C) xuất phát từ M là : A. 10 B. 2√10 C.
Đáp án: D Trả lời: Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -4) bán kính R = √40 . Độ dài IM = ⇒ Điểm M nằm ngoài đường tròn. Khi đó từ M sẽ kẻ được hai tiếp tuyến là MA và MB- trong đó A và B là hai tiếp điểm . Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: MA = MB = Vậy độ dài tiếp tuyến là : √10. Câu 3: Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 - 3x - y = 0. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M(1 ; -1) là: A. x + 3y - 1 = 0 B. 2x - 3y + 1 = 0 C. 2x - y + 4 = 0 D. x + 3y + 2 = 0
Đáp án: D Trả lời: Đường tròn ( C) có tâm I( ; ). Điểm M(1; -1) thuộc đường tròn ( C). Phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và nhận vec tơ IM→ = (- ; - ) = - (1; 3) nên có phương trình: 1( x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay x + 3y + 2 = 0 Câu 4: Cho đường tròn (x - 3)2 + (y - 1)2 = 10 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm A( 4; 4) là A. x - 3y + 5 = 0 B. x + 3y - 4 = 0 C. x - 3y + 16 = 0 D. x + 3y - 16 = 0
Đáp án: D Trả lời: Đường tròn ( C) có tâm I(3; 1) và bán kính R = √10. Tiếp tuyến của ( C) tại A là đường thẳng qua A( 4; 4) và nhận vecto IA→( 1; 3) là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến d. Suy ra (d) : 1( x - 4) + 3( y - 4) = 0 hay x + 3y - 16 = 0 Câu 5: Cho đường tròn (x - 2)2 + (y - 2)2 = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là A. x + y - 4 = 0 và x - y - 2 = 0 . B. x = 5 và y = -1. C. 2x - y - 3 = 0 và 3x + 2y - 3 = 0. D. 3x - 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0
Đáp án: B Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 3. + ∆ là tiếp tuyến cần tìm : đi qua A(5, -1) và nhận VTPT n→( A; B) ⇒ (∆ ) : A( x - 5) + B( y + 1) = 0 (*) + Do ∆ là tiếp tuyến của ( C) nên : d( I ; ∆) = R ⇔ ⇔ |-3A + 3B| = 3 ⇔ 18AB = 0 ⇔ + Với A =0 ; chọn B = 1 thay vào (*) ta được : y + 1 = 0 + Với B = 0 ; chọn A = 1 thay vào ( *) ta được :x - 5 = 0 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y + 1 = 0 và x - 5 = 0 Câu 6: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y - 15 = 0 là A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0. B. x - 2y = 0 và x - 2y + 10 = 0. C. x + 2y - 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0 D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0
Đáp án: A Trả lời: + Đường tròn ( C) có tâm I( -1;3) và bán kính R = + Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: x + 2y- 15= 0 nên tiếp tuyến ∆ có dạng : x + 2y + m= 0 ( m≠-15) . + ∆ là tiếp tuyến của ( C) khi và chỉ khi: d(I ;∆) = R ⇔ ⇔ ⇒ Có hai tiếp tuyến thỏa mãn là : x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0 Câu 7: Đường tròn ( C) có tâm I ( -1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 tại điểm H có tọa độ là A. ( -
Đáp án: B Trả lời: Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) tại điểm H nên IH vuông góc với đường thẳng d. ⇒ Đường thẳng IH: ⇒ Phương trình IH: 4( x + 1) + 3( y - 3) = 0 hay 4x + 3y - 5 = 0. Do đường thẳng d và đường thẳng IH cắt nhau taị điểm H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:
Câu 8: Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng A. m = 3 B. m = 15 C. m = 13 D. m = 3 hoặc m = 13.
Đáp án: D Trả lời: + đường tròn (C) có tâm I( 3 ;-1) và bán kính . + d là tiếp tuyến của (C) khi va chỉ khi: d(I, d) = R ⇔ → m2 - 16m + 39 = 0 ⇔ Câu 9: Cho đường tròn ( C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = √29. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d: A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0 C. 3x + 5y - 8 = 0 D. Đáp án khác
Đáp án: B Trả lời: + Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ M(-2 + t; 3t). + Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R ⇔ IM2 = R2 ⇔ ( t- 1)2 + ( 3t - 2)2 = 29 ⇔ t2 - 2t + 1 + 9t2 - 12t + 4 = 29 ⇔ 10t2 – 14t – 24 = 0 ⇔ t = - 1 hoặc t = + Với t = - 1 thì tọa độ M( - 3; - 3) . ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M ( -3; -3): (∆) : ⇒ Phương trình tiếp tuyến : 2( x + 3) + 5( y + 3) = 0 hay 2x + 5y + 21 = 0 . Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác: Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp |
