Số âm mũ 0 bằng bao nhiêu?

Một thống kê của Google đã chỉ ra rằng hai trong những thắc mắc toán học phổ biến nhất là " 0 chia 0 bằng mấy ?" và " 0 mũ 0 ...

Một thống kê của Google đã chỉ ra rằng hai trong những thắc mắc toán học phổ biến nhất là "0 chia 0 bằng mấy?" và "0 mũ 0 bằng mấy?". Bài viết này sẽ góp phần giải đáp thắc mắc thứ hai: $0^0=?$

Trước hết ta điểm qua các máy tính, phần mềm, trang web đã tính "0 mũ 0" như thế nào?

Đầu tiên là Google. Công cụ tính toán của Google đã cho rằng: $0^0=1.$

Tiếp theo là phần mềm Calculator cài sẵn trong hệ điều hành Windows trên máy tính, kết quả vẫn là $0^0=1.$

Một trang web nổi tiếng về tính toán và vẽ đồ thị là Desmos cũng cho kết quả là: $0^0=1.$

Hầu hết các máy tính cài sẵn trên smartphone cũng cho kết quả như vậy. Hai phần mềm toán học chuyên dụng là Maple và Mathlab cũng cho ra $0^0=1.$

Vậy có phải "0 mũ 0 bằng 1"?

1. $0^0=1$

Có một số lập luận đã chỉ ra rằng $0^0=1.$ Sau đây là 2 trong số các lập luận đó.
Lập luận 1
Khảo sát và vẽ đồ thị hai hàm số $y=x^x$ và $y=(\sin x)^x$, ta được kết quả trong 2 hình sau:
Đồ thị hàm số y=x^xĐồ thị hàm số y=(sin x)^xDựa vào đồ thị hai hàm số này ta có:
$$\lim_{x \to 0^+}x^x=1 \ \text{ và } \ \lim_{x \to 0^+}(\sin x)^x=1$$
Lập luận 2
Từ định lí khai triển nhị thức Newton:
$$(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k$$
Áp dụng cho $a=1, b=0$ ta được:
$$1=(1+0)^n= C_n^0.0^0 + C_n^1.0^1 + C_n^2.0^2 + ... + C_n^n.0^n$$ Để đẳng thức này đúng thì phải thừa nhận $0^0=1.$

2. $0^0$ là một dạng vô định

Một trang web tính toán nổi tiếng khác là Wolfram Alpha thì cho rằng $0^0$ là một dạng vô định.
Kết quả tính 0^0 từ WolframCác máy tính khoa học Casio fx mà học sinh Việt Nam thường dùng cũng hiển thị "Math Error" khi nhập "0^0".

Ở phần 1, ta có hai giới hạn dạng $0^0$ và đều tính ra bằng $1.$ Tuy nhiên, không phải mọi giới hạn dạng $0^0$ đều có kết quả như vậy. Chẳng hạn:
$$\lim\limits_{t \to 0^+} \left( {e^{-1/t^2}} \right)^t = 0 \\ \lim\limits_{t \to 0^+} \left( {e^{-1/t^2}} \right)^{-t} = +\infty \\ \lim\limits_{t \to 0^+} \left( e^{-t} \right)^{2t} = e^{-2}$$ Ngoài ra, nếu xét hàm hai biến $f(x,y)=x^y$ thì hàm số này không tồn tại giới hạn khi $(x,y) \to (0,0).$

Như vậy $0^0$ lại là một dạng vô định.

3. Tóm lại

Chính vì những lý do trên nên đã có những sự khác biệt giữa các phần mềm, trang web tính toán nổi tiếng như đã đề cập ở mục 1 và mục 2. Trong hầu hết giáo trình và sách Toán học, người ta xem $0^0$ là dạng vô định nhưng có một số giáo trình khác lại quy ước $0^0 = 1.$

Tham khảo ThuNhan, Wolfram, Desmos.
Người đăng: MR Math.

Từ nhỏ, khi học toán đến bài luỹ thừa, chúng ta thường được thầy cô giáo quy ước rằng “Tất cả mọi số khi luỹ thừa 0 đều bằng 1”, thế nhưng đây là quy ước chung và rất hiếm có giáo viên nào giải thích đến điều nhỏ nhặt này. Theo logic cơ bản, chúng ta khó có thể hình dung nổi tại sao không có bất kì số nào nhân với nhau lại bằng 1 ???!!! Topic ngắn này mình sẽ giải thích cho anh em vì sao lại có quy ước này, để anh em có thể giải thích lại cho con cháu và những người xung quanh nhé.

Đầu tiên chúng ta cần hiểu được bạn chất luỹ thừa là gì, cái này thì khá đơn giản. Ví dụ ta có 2^3 sẽ mang ý nghĩa 2x2x2, ba số hai nhân với nhau. Tương tự x^n sẽ là n số x nhân với nhau. Theo định nghĩa này thì x^0 sẽ là 0 số x nhân với nhau. Cơ mà nếu 0 số x nhân với nhau thì lấy đâu ra 1? Vậy thì ta sẽ lập luận từ tính chất phép chia số mũ. Phần này mình sẽ gõ vào Word cho dễ đọc.

Có nhiều cách để lập luận câu hỏi trên, tuy nhiên tất cả đều dựa vào một tính chất cực kì cơ bản của phép chia luỹ thừa mà thôi. Một sự thật thú vị đó là, anh em có biết 0^0 thậm chí còn lớn hơn 0^1 không, tất cả đều có thể giải thích nhờ lập luận trên đấy. Nếu sau này con cháu hay người thân có hỏi thì chúng ta cũng đều biết cách trả lời rồi nhé 😁

Số mũ 0 bằng bao nhiêu?

A mũ 1 là bao nhiêu?

2 mũ 30 là bao nhiêu?

Mũ 2 được gọi là gì?