Tâm tất cả các mặt của hình tứ diện đều

Câu hỏi:Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

Trả lời

Đáp án đúng : B. 6

Hình tứ diện đều có 6 mặt đối xứng.

Cùng Top lời giải tìm hiểu chi tiết hơn vềhình tứ diện đềunhé!

Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều. Tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều và ngược lại, nếu hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện cạnh bên bằng cạnh đáy thì sẽ tạo ra tứ diện đều.

1. Tính chất tứ diện đều

Tứ diện đều có 4 mặt và 6 cạnh.các tính chấttứ diện đều cụ thể là:

- 4 mặt tứ diện là (ABC); (ACD); (ABD); (BDC).Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.

-6 cạnh của tứ diện là AB; AC; AD; BD; BC; CD.Trong đó các cạnh bên đều sẽ bằng nhau:AB = AC = AD = BD = BC = CD.

-Góc ở mỗi mặt tứ diện là 60 độ.Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180.

-Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.

-Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.

-Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.

-Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.

-Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông góc của cả hai cạnh đó.

-Một tứ diện có ba trục đối xứng.

-Hình tứ diện đều có 6 mặt đối xứng. Mỗi mặt đều chứa 1 cạnh và trung điểm cạnh đối diện (hình vẽ).

2. Cách vẽ hình tứ diện đều.

Việc vẽ hình là một bước rất quan trọng, hình vẽ chính xác thì bạn mới có thể giải được bài toán một cách dễ dàng nhất. Do đó khi giải toán liên quan đến hình tứ diện thì bạn cần lưu ý về cách vẽ hình. Cụ thể cách vẽ tứ diện đều ABCD ta thực hiện theo các bước sau:

-Coi hình tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều ABCD.

-Đầu tiên bạn vẽ mặt là mặt đáy. Chẳng hạn là mặt BCD.

-Sau đó vẽ một đường trung tuyến của mặt đáy BCD. Chẳng hạn BM là trung tuyến của tam giác BCD.

-Xác định trọng tâm G của tam giác BCD và G chính là tâm của đáy.

-Dựng đường cao (đường thẳng đi qua G song song với mép bên vở hoặc tờ giấy của các bạn).

-Xác định điểm A trên đường vừa dựng và hoàn thiện hình.

Lưu ý: Tứ diện đều cạnh a là tứ diện có tất cả các cạnh bằng a.

3. Cách tính thể tích hình tứ diện

Thể tích tứ diện ABCD:Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng:

Giả sử ABCD là khối tứ diện đều cạnh a, G là trọng tâm tam giác BCD (hình như trên) thì bạn có thể tính thể tích hình tứ diện đều theo công thức sau:

Ta có

Vậy thể tích khối tứ điện đều cạnh a là:

Có hay không các khối đa diện với các mặt là tam giác đều . Bài 4 trang 5 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 1. Khái niệm về khối đa diện

Có hay không các khối đa diện với các mặt là tam giác đều và số mặt là số chẵn tùy ý lớn hơn 2 ?

Khối tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều. Ghép hai khối tứ diện đều bằng nhau ( một mặt của tứ diện này ghép vào một mặt của tứ diện kia ), ta có được khối tứ diện H6 có 6 mặt là tam giác đều. Ghép thêm vào H6 một khối tứ diện đều nữa, ta được khối đa diện H8 có 8 mặt là các tam giác đều (h.3).

Bằng cách như vậy, ta được khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều.

Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng: a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.

b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.. Bài 12 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao – Bài 3. Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều

Bài 12. Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng:

a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.

b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

a)

Gọi \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCD, CDA, BDA, ABC\) của tứ diện đều \(ABCD\) có trọng tâm \(G\).Ta có \(\overrightarrow {GA’}  =  – {1 \over 3}\overrightarrow {GA} \)Gọi \({V_{\left( {G;{{ – 1} \over 3}} \right)}}\) là phép vị tự tâm \(G\) tỉ số \( – {1 \over 3}\) ta có \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là ảnh của \(A, B, C, D\) qua phép vị tự \(V\). Từ đó suy ra \({{A’B’} \over {AB}} = {{B’C’} \over {BC}} = {{C’D’} \over {CD}} = {{D’A’} \over {DA}} = {{A’C’} \over {AC}} = {{B’D’} \over {BD}} = {1 \over 3}\)Do đó nếu \(ABCD\) là tứ diện đều thì \(A’B’C’D’\) cũng là tứ diện đều.b)

Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, CD, AC, BD, AD, BC\) của khối tứ diện đều \(ABCD\). Khi đó, tám tam giác \(MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NQS, NSP\) là những tam giác đều, chúng làm thành khối đa diện với các đỉnh là \(M, N, P, Q, R, S\) mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của bốn cạnh. Vậy đó là khối tám mặt đều.

Trọng tâm các mặt của một hình tứ diện đều tạo thành một hình đa diện mới có tên là gì

A. Tứ diện đều

B.lập phương

C.nhị thập diện đều

D.bát diện đều

Tứ diện đều

Tính chất tứ diện đều

12 112.266

Tải về Bài viết đã được lưu

Tứ diện đều

• 1. Tứ diện
• 2. Tứ diện đều
• 3. Tính chất tứ diện đều
• 4. Cách vẽ tứ diện đều
• 5. Thể tích tứ diện đều
• 6. Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh a
• 4. Bài tập tính thể tích khối tứ diện đều

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Tứ diện đều được VnDoc.com tổng hợp và biên soạn. Bộ tài liệu được xây dựng dựa trên trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia bao gồm định nghĩa, tính chất, công thức tính nhanh, bài tập trắc nghiệm về tứ diện đều và bài tập tự luận về tứ diện đều. Bộ tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập và các kì thi quan trọng sắp tới. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây nhé.

• Hình lăng trụ là gì? Lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều, lục giác
• Hệ thống kiến thức hình Oxyz
• Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
• Trọng tâm của tứ diện là gì?
• Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật Toán 11
• Công Thức Toán 11 đầy đủ
• Bài tập trắc nghiệm Toán 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

1. Tứ diện

• Tứ diện là hình có bốn đỉnh, thường được kí hiệu A, B, C, D. Bất kì điểm nào trong số các điểm trên được gọi là đỉnh, mặt tam giác đối diện với đỉnh đó được gọi là đáy.
• Ví dụ: Chọn A là đỉnh thì (BCD) là mặt đáy.

2. Tứ diện đều

• Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều.
• Tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều.
• Hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.

3. Tính chất tứ diện đều

- Tứ diện đều có các tính chất như sau:

+ Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau.
+ Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.
+ Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180.

+ Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau.
+ Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.
+ Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.
+ Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.
+ Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.
+ Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
+ Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông góc của cả hai cạnh đó.
+ Một tứ diện có ba trục đối xứng.
+ Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.

4. Cách vẽ tứ diện đều

Bước 1: Đầu tiên các bạn hãy xem hình tứ diện đều là môt hình chóp tam giác đều ABCD.
Bước 2: Tiến hành vẽ mặt là cạnh đáy ví dụ là mặt BCD.

Bước 3: Tiếp theo các bạn tiến hành vẽ một đường trung tuyến của mặt đáy BCD. Ví dụ đường trung tuyến này là BM.
Bước 4: Sau đó các bạn tiến hành xác định trọng tâm G của tam giác BCD này
Bước 5: Tiến hành dựng đường cao.
Bước 6: Xác định điểm A trên đường vừa dựng và hoàn thiện hình tứ diện đều.

5. Thể tích tứ diện đều

- Một tứ diện đều sẽ có 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt tam giác đều sẽ có các công thức tính thể tích như sau:

+ Thể tích tứ diện ABCD: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng:

+ Thể tích tứ diện đều tam giác S.ABC: Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó:

6. Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh a

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. từ A kẻ AH là đường cao của hình chóp A.BCD, H thuộc (BCD) thì H sẽ là tâm của tam giác đều BCD. Suy ra

• Chiều cao của hình chóp A.BCD đều cạnh a là
  
• Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là
  

4. Bài tập tính thể tích khối tứ diện đều

Câu 1: Khối chóp tứ diện đều cạnh a có thể tích bằng:

Câu 2: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:

A. 4 mặt phẳng	B. 6 mặt phẳng
C. 8 mặt phẳng	D. 10 mặt phẳng

Câu 3: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành:

A. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.

B. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.

C. Các đỉnh của một hình bát diện đều.

D. Các đỉnh của một hình tứ diện.

Câu 4: Cho khối chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp 2 lần cạnh đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên bằng

. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. tính thể tích của khối chóp A.GBC.

Câu 7: Cho tứ diện đều ABCD có canh 2a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a

Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD có canh

. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a

Bài tập tự luận

Bài 1: Hãy tính thể tích khối tứ diện đều ABCD biết:

a) cạnh AB = 4 cm

b) cạnh CD = 6 cm

c) cạnh BD = 3 cm

Hướng dẫn giải

a) Vì là tứ diện đều nên các cạnh có độ dài bằng nhau: BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4 cm nên thể tích là

Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = 5 cm. Hỏi thế tích bằng bao nhiêub) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = DA = BD = AC = CD = 6 cm nên thể tích là

c) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = CD = DA = AC = BD = 3 cm nên thể tích

Bài 2: Cho hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông), đường SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định hình chóp này có mặt đối xứng nào.

Lời giải:

Ta có: BD vuông góc với AC, BD vuông góc với SA. Suy ra, BD vuông góc với (SAC). Từ đó ta suy ra (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD. Ta kết luận rằng, (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng duy nhất.

Bài 3: Tìm số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều.

Lời giải: Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Vì vậy, hình tứ diện đều sẽ có 6 mặt phẳng đối xứng.

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa AB và CD?

Bài 5: Cho ABCD là tứ diện đều, cạnh a. Kéo dài BC 1 đoạn CE = a. Kéo dài BD 1 đoạn DF = a. M là trung điểm của AB.

a. Tìm thiết diện của tứ diện với mp(MEF).

b. Tính diện tích của thiết diện theo a.

----------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Thể tích tứ diện đều. Chắc hẳn qua đây bạn đọc đã nắm được những ý chính cần có của bài tứ diện đều rồi đúng không ạ? Bài viết giúp chúng ta nắm được nội dung khái niệm về tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều, nhận biết được các tính chất của tứ diện đều. Bên cạnh đó chúng ta còn biết được các bước để thực hiện vẽ một tứ diện đều. Nắm được công thức để tính thể tích của tứ diện đều, và cả công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh a. Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 10 nhé. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời giải đáp thắc mắc của các bạn trong thời gian sớm nhất có thể nhé.