Hình học giải tích là một kiến thức khá mới và thú vị trong chương trình toán THPT. Chính vì vậy, hôm nay Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn hướng dẫn giải toán nâng cao 12 cho một số dạng bài tập hay bắt gặp trong các đề thi, mà tập trung chính sẽ là chủ đề phương trình mặt phẳng. Đây là những bài tập đòi hỏi tính vận dụng cao, ngoài kiến thức cơ bản, cũng yêu cầu sự kết hợp nhuần nhuyễn và linh hoạt các công thức mới có thể giải được. Cùng nhau khám phá bài viết nhé:
I. Giải toán nâng cao 12 – Kiến thức cần nắm.
Vecto pháp tuyến [VTPT] của mặt phẳng:
Chú ý:
+ Nếu
+ Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu ta biết VTPT của nó và một điểm nó đi qua.
+ Nếu hai vecto
Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
+ Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng sau: Ax+ By+Cz+D=0 [với A²+B²+C²≠0]
+ Khi đó vecto [A,B,C] được xem là VTPT của mặt phẳng.
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M[x0,y0,z0] và xem vecto [A,B,C] ≠ 0 là VTPT là:
A[x-x0]+B[y-y0]+C[z-z0]=0
Một số trường hợp đặc biệt: Xét phương trình mặt phẳng [α]: Ax+ By+Cz+D=0
[với A²+B²+C²≠0]:
+ Nếu D=0 thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
+ Nếu A=0, BC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox.
+ Nếu B=0, AC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy
+ Nếu C=0, AB≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz.
+ Nếu A=B=0, C≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oxy]
+ Nếu B=C=0, A≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oyz]
+ Nếu A=C=0, B≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oxz]
Như vậy ta rút ra nhận xét:
+ Nếu trong phương trình [α] không chứa ẩn nào thì mặt phẳng [α] sẽ song song hoặc chứa trục tương ứng [ví dụ A=0, tức là thiếu ẩn x, kết quả là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox].
+ Phương trình mặt phẳng đoạn chắn: x/a +y/b + z/c=1. ở đây, mặt phẳng sẽ cắt các trục tọa độ tại các điểm có tọa độ [a,0,0]; [0,b,0] và [0,0,c] [với abc≠0]
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho [α]: Ax+By+Cz+D=0 và [β]: A’x+B’y+C’z+D’=0, khi đó:
+ [α] song song [β]:
+ [α] trùng [β]:
+ [α] cắt [β]: chỉ cần
Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng: cho mặt phẳng [α]: Ax+By+Cz+D=0 và điểm M[x0,y0,z0], lúc này khoảng cách từ M đến mặt phẳng [α] được tính theo công thức:
II. Hướng dẫn các dạng giải toán nâng cao 12 phương trình mặt phẳng.
Dạng 1: viết phương trình khi biết 1 điểm và VTPT. Dạng này có thể biến tấu bằng cách cho trước 1 điểm và một phương trình mặt phẳng khác song song với phương trình mặt phẳng cần tìm.
Phương pháp: Áp dụng trực tiếp phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có VTPT, áp dụng thêm lưu ý hai mặt phẳng song song thì có cùng VTPT.
VD: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua A[1;0;-2] và VTPT [1;-1;2]?
Hướng dẫn:
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Phương pháp:
Mấu chốt vấn đề là ta phải tìm được VTPT của mặt phẳng, vì đã biết trước được một điểm mà mặt phẳng đi qua rồi [A, B và C].
Do A, B, C cùng nằm trên mặt phẳng nên AB, AC là hai đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng, lúc này:
Trường hợp này có thể biến tấu bằng cách thay vì cho 3 điểm cụ thể, bài toán sẽ cho 2 đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng cần tìm. Cách làm là tương tự, thay các vecto AB, AC bằng các vecto chỉ phương của mặt phẳng, ta sẽ tìm được VTPT. Sau đó, chọn 1 điểm bất kì trên 1 đường thẳng là ta lại quay về dạng 1.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A[1;0;-2], B[1;1;1] và C[0;-1;2].
Hướng dẫn:
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng [α] song song với mặt phẳng [β]: Ax+By+Cz+D=0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.
Phương pháp:
Do [α] song song [β] nên mặt phẳng cần tìm có dạng: Ax+By+Cz+D’=0.
Sử dụng công thức khoảng cách để tìm D’.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với [Q]: x+2y-2z+1=0 và cách điểm M[1;-2;1] một khoảng là 3.
Hướng dẫn:
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng [α] tiếp xúc với mặt cầu [S] cho trước.
Phương pháp:
Ta tìm tọa độ tâm I của [S]. Do [α] tiếp xúc [S] nên ta sẽ tìm tọa độ tiếp điểm, gọi tiếp điểm là M. Có được điểm đi qua, VTPT lại là vecto MI thì ta dễ dàng áp dụng như dạng 1.
Nếu bài toán không cho tiếp điểm mà ta chỉ có thể tìm được VTPT dựa vào 1 số dữ kiện ban đầu, lúc này phương trình mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Sử dụng công thức tính khoảng cách để tìm D.
Ví dụ: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q]: x+2y-2z+1=0 và tiếp xúc với mặt cầu [S]: x²+y²+z²+2x-4y-2z-3=0.
Hướng dẫn:
III. Giải toán nâng cao 12 – Các bài tập tự luyện.
Đáp án:
Trên đây là những vấn đề giải toán nâng cao 12 chủ đề phương trình mặt phẳng mà Kiến Guru muốn chia sẻ tới các bạn. Trong khuôn khổ bài viết, tuy mới chỉ là một trong số rất nhiều dạng trong chương trình Toán THPT, nhưng Kiến hy vọng đây sẽ là một tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các bạn. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm nhiều bài viết khác trên trang của Kiến nhé. “Có công mài sắt có ngày nên kim”, chúc các bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPT sắp tới.
Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hay viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm là những dạng toán quan trọng trong chương trình toán học THPT. Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian, cùng tìm hiểu nhé!
Phương trình mặt phẳng trong không gian
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz
Phương trình tổng quát của mặt phẳng [P] trong không gian Oxyz có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 với \[A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0\]
Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện:
- Điểm M bất kì mà mặt phẳng đi qua.
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng [P]: Ax + By + Cz + D = 0 và [Q]: A’x + B’y + C’z + D’ = 0 thì:
Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: \[\frac{A}{A’} \neq \frac{B}{B’} \neq \frac{C}{C’}\]
Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: \[\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} \neq \frac{D}{D’}\]
Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: \[\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} = \frac{D}{D’}\]
Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: \[AA’ + BB’ + CC’ = 0\]
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho điểm M[a, b, c] và mặt phẳng [P]: Ax + By + Cz + D = 0.
Khi đó khoảng cách từ điểm M tới [P] được xác định như sau:
\[d[A, [P]] = \frac{\left | Aa + Bb + Cc + D \right |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}\]
Tổng kết lý thuyết viết phương trình mặt phẳng trong không gian
Các dạng bài viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] biết 1 điểm thuộc mặt phẳng và vector pháp tuyến
Vì mặt phẳng [P] đi qua điểm \[M[x_{0}; y_{0}; z_{0}]\]
Mặt phẳng [P] có vector pháp tuyến \[\vec{n}[A, B, C]\]
Khi đó phương trình mặt phẳng [P]: \[A[x-x_{0}] + B[y-y_{0}] + C[z-z_{0}] = 0\]
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua M [3;1;1] và có VTPT \[\vec{n} = [1; -1; 2]\]
Cách giải:
Thay tọa độ điểm M và VTPP \[\vec{n}\] ta có:
[P]: \[[1][x – 3] + [-1][y – 1] + 2[z – 1] = 0 \Leftrightarrow x – y + 2z – 4 = 0\]
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm không thẳng hàng
Vì mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm A, B, C. Nên mặt phẳng [P] có 1 cặp vector chỉ phương là \[\vec{AB} ; \vec{AC}\]
Khi đó ta gọi \[\vec{n}\] là một vector pháp tuyến của [P], thì \[\vec{n}\] sẽ bằng tích có hướng của hai vector \[\vec{AB}\] và \[\vec{AC}\]. Tức là \[\vec{n} = \left [ \vec{AB};\vec{AC} \right ]\]
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm không thẳng hàng A[1,1,3]; B[-1,2,3]; C[-1;1;2]
Cách giải:
Ta có: \[\vec{AB} = [-2;1;0]; \vec{AC} = [-2,0,-1] \Rightarrow \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = [-1,-2,2]\]
Suy ra mặt phẳng [P] có VTPT là \[\vec{n} = \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = [-1,-2,2]\] và đi qua điểm A[1,1,3] nên có phương trình:
\[[-1][x – 1] – 2[y – 1] + 2[z – 3] = 0\Leftrightarrow -x – 2y + 2z – 3 = 0\]
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng khác
Mặt phẳng [P] đi qua điểm \[M[x_{0}; y_{0}; z_{0}]\] và song song với mặt phẳng [Q]: Ax + By + Cz + m =0
Vì M thuộc mp[P] nên thế tọa độ M và pt [P] ta tìm được M.
Khi đó mặt phẳng [P] sẽ có phương trình là:
\[A[x – x_{0}] + B[y – y_{0}] + C[z – z_{0}] = 0\]
Chú ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vector pháp tuyến.
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [1;-2;3] và song song với mặt phẳng [Q]: 2x – 3y + z + 5 = 0
Cách giải:
Vì [P] song song với [Q] nên VTPT của [P] cùng phương với VTPT của [Q].
Suy ra [P] có dạng: 2x – 3y + z + m = 0
Mà [P] đi qua M nên thay tọa độ M [1;-2;3] ta có:
\[2.1 + [-3].[-2] + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m = -11\]
Vậy phương trình [P]: 2x – 3y + z – 11 = 0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm cho trước
Mặt phẳng [P] đi qua điểm \[M[x_{0}; y_{0}; z_{0}]\] và đường thẳng d.
Lấy điểm A thuộc đường thẳng d ta tìm được vector \[\vec{MA}\] và VTCP \[\vec{u}\], từ đó tìm được VTPT \[2.1 \vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ]\].
Thay tọa độ ta tìm được phương trình mặt phẳng [P]
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [3;1;0] và đường thẳng d có phương trình: \[\frac{x – 3}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 1}{1}\]
Cách giải:
Lấy điểm A [3;-1;-1] thuộc đường thẳng d.
Suy ra \[\vec{MA} [0; -2; -1]\] và VTCP \[\vec{u} [-2; 1; 1]\]
Mặt phẳng [P] chứa d và đi qua M nên ta có VTPT: \[\vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ] = [-1; 2; 4]\]
Vậy phương trình mặt phẳng [P]: \[-1[x – 3] + 2[y – 1] – 4z = 0\Leftrightarrow -x + 2y – 4z + 1 = 0\]
Xem thêm >>> Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz
Xem thêm >>> Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian: Lý thuyết và Bài tập
Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Nếu có băn khoăn thắc mắc hay góp ý về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz, các bạn để lại bình luận bên dưới để chúng mình cùng trao đổi nhé. Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì chia sẻ nha