Ý nghĩa của phương trình nhiều biến mặt cong
|
Bài giảng giải tích nhiều biến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.11 MB, 127 trang ) Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ x = x (t ) y = y(t ) Mét ®iĨm P = (x,y) chun ®éng däc theo ®−êng cong trong mặt phẳng xy, tại mỗi thời điểm t sẽ xác định vị trí của điểm P = (x , y ) = (x (t ), y(t )) . Nh− vËy vÐc t¬ định vị của điểm chuyển động sẽ miêu tả chính xác sự chuyển động. Khi đó: R(t ) = OP = x (t )i+y(t )j đợc gọi là một hàm véc tơ cđa t vµ viÕt R = R(t). 1 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiu bin 2010 -2 011 b. Giới hạn. Tính liên tục Ta nói r»ng lim R (t ) = R 0 t →t0 R(t ) − R 0 < ε. khi vµ chØ khi ∀ ε > 0, ∃δ > 0 : ∀t, 0 < t − t0 < δ th× ta cã (Chó ý: A-B = (a1 − b1 )2 + (a 2 − b2 )2 ). Nh− vËy: nÕu R(t ) = x (t )i + y(t ) j; R 0 = x 0i + y 0 j ; khi ®ã lim x (t ) = x 0 t →t lim R (t ) = R 0 ⇔ 0 t →t0 lim y(t ) = y 0 . t t0 R(t) đợc nói là liên tục tại t = t 0 nếu lim R (t ) = R (t0 ) t →t0 cã nghÜa lµ R(t ) R(t 0 ) có thể có giá trị nhỏ tuỳ ý khi lấy t đủ gần t 0 . Nh− vËy : R(t ) = x (t )i + y(t ) j; R(t 0 ) = x (t 0 )i + y(t 0 )j . R (t ) liªn tơc nÕu x(t) và y(t) lim x (t ) = x (t ) 0 cùng liên tơc, tøc lµ lim R (t ) = R 0 ⇔ t →t0 t →t0 lim y(t ) = y(t0 ). t t0 c. Đạo hàm của hàm véc tơ R = R(t). Cho hàm véc tơ : R(t ) = x (t )i + y(t ) j , khi t biÕn thiªn tới t+ t , sự thay đổi trong R là Xét giíi h¹n : ∆R = R(t +∆t ) - R(t ) = x (t + ∆t ) - x (t ) i + y(t + ∆t ) - y(t ) j ∆R R(t + ∆t ) − R(t ) lim = lim ∆t → 0 ∆ t ∆t 0 t nếu giới hạn đó tồn tại ta nói rằng hàm véc tơ R(t) có đạo hàm (khả vi) theo t, và giá trị giới hạn dR đó là đạo hàm cấp 1 cđa R(t) , ký hiƯu : R '(t ), dt dR dx dy = i+ j dt dt dt tơng tự đối với đạo hàm cấp hai : R(t) cho d2R/dt2. .. Nhận xét : Hàm véc tơ R(t) khả vi khi và chỉ khi các hàm vô hớng x(t) và y(t) là những hàm khả vi và R '(t ) = ((x '(t ), y '(t )) . VÝ dô: XÐt hàm véc tơ R(t ) = (2t 2 + t + 1)i + (t 3 + t ) j , khi ®ã ta cã R(t ) = (4t + 1)i + (3t 2 + 1) j . 2 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiu bin 2010 -2 011 Các quy tắc tính đạo hàm: Cho R1(t ), R 2 (t ), R(t ) là các hàm véc tơ khả vi, u(t ) là hàm vô hớng (hàm số) khả vi. Khi đó : 1) d R 1 dR 2 d R1 ± R 2 ) = ± ( dt dt dt 2) d dR du (uR) = u +R dt dt dt 3) NÕu R = R(u ), dR dR du = ⋅ dt du dt u = u(t ) , ta sÏ cã 4) NÕu R(t ) = R * lµ véc tơ hằng (không thay đổi khi t thay đổi) thì dR d R * = = O (véc tơ O). dt dt ý nghĩa hình học : Xét hàm véc tơ R(t ) , các ®iĨm ci P biĨu diƠn R(t ) v¹ch mét ®−êng cong. Khi đó đạo hàm dR/dt là véc tơ tiếp xúc với đờng cong tại điểm ngọn P của R, và độ dài của véc tơ đó là: 2 2 dx dy dx 2 + dy 2 dR ds = + = = dt dt dt dt dt Nh vậy : Véc tơ dR dt có hớng chính là hớng của chuyển động, độ dài bằng tốc độ của chuyển động. Ví dụ 1 : Cho R = (4cos2t)i + (3sin2t)j , h y tìm quỹ đạo chuyển động của điểm cuối P biểu diễn hàm véc tơ đó, tính vận tốc v và các điểm trên đờng trong đó v là lớn nhất và nhỏ nhất. Giải + Phơng trình tham số x = 4cos2t, y = 3sin2t, do đó đờng ellipse nh ở hình x 2 y2 + =1 16 9 3 lµ Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiu bin 2010 -2 011 Điểm P = (x, y) chuyển động trên ellip ngợc chiều kim đồng hồ. + Vận tốc là + Tốc độ là v = v = (64 sin2 2t + 36 cos2 2t )1/2 = (28 sin 2 2t + 36)1/2 . + Tốc độ nhỏ nhất là 6 khi sin2t = 0, và đạt đợc khi P ở hai đầu trục phụ. + Tốc độ lớn nhất là 8 khi sin2t=1 do đó cos2t=0 nghĩa là P ở hai đầu trục chính. Vận tốc v của điểm chuyển động là tốc độ biến thiên vị trí của nó, gia tốc a là là tốc độ biến thiên của vận tốc của điểm : dv d 2 R a= = 2 . dt dt Nếu điểm dịch chuyển P là vị trí chuyển động cơ học của một vật có khối lợng m chuyển động dới tác động của lực F, theo Định luật II Newton F = ma Nh vậy: lực và gia tốc có cùng hớng. Cả F và a hớng tới bề lõm của đờng cong(trừ một số trờng hợp ngoại lệ F và a có thể tiếp xúc với đờng cong). Ví dơ1.(tiÕp tơc). Ta cã gia tèc a cđa vËt chun ®éng a= dv = (−16 cos 2t )i + (−12 sin 2t ) j dt a= - 4 (4 cos 2t ) i + (3 sin 2t ) j = - 4R hay lµ : Nh− vậy: Gia tốc luôn luôn hớng đến tâm của đờng ellipse. Ví dụ 2: (Chuyển động tròn đều). Một vật có khối lợng m chuyển động ngợc chiều kim đồng hồ dọc đờng tròn x2+ y2= r2 với tốc độ không đổi v. H y tÝnh gia tèc cđa vËt vµ lùc cần thiết để tạo ra sự chuyển động . Giả: + Đờng cong quỹ đạo có thể viết nh sau R = (rcos θ )i +(rsin θ )j + V× s=r θ ta cã : v = ds dθ =r dt dt + Do ®ã d θ /dt = v/r, nªn v= d R dR d θ v = = (−r sin θ ) i + (r cos θ ) j dt d θ dt r = v (− sin θ ) i + (cos θ ) j 4 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến vµ : a= 2010 -2 011 dv d v d θ v v2 = = v (− cos θ)i + (− sin θ) j = − (cos )i + (sin ) j dt d dt r r Bằng cách nhân và chia cho r ta cã a = - (v2/r2)R. Nh− vậy,vectơ gia tốc a hớng về tâm của đờng tròn và có độ lớn a = v2 v2 R = . r r2 Theo định luật của Newton, lực F cần thiết để tạo ra chuyển động phải hớng về tâm của đờng tròn : Lực này đợc gọi là lực hớng tâm. d) Véc tơ tiếp tuyến đơn vị Xét tham số s là độ dài cung đo dọc theo đờng cong từ điểm cố định P 0 đến P. Khi đó R = R(s ) và véc tơ T đợc định nghĩa: T= dR R = lim t 0 s ds là véc tơ véc tơ tiếp tuyến đơn vị đối với đờng cong tại P. Ta có : v= dR dR ds ds = =T dt ds dt dt hớng của v đợc chỉ ra bởi T và độ lớn là ds/dt. e) Véc tơ pháp tuyến đơn vị Xét góc (góc tạo bởi chiều dơng trục x và tiếp tuyến tại P) ta có véc tơ tiếp tuyến đơn vÞ T = i cos φ + j sin φ dT = - i sin φ + j cos φ dφ → dT = N lµ vÐc tơ pháp tuyến đơn vị tại điểm P . d f) Độ cong Vì hớng của đờng cong đợc quy định bởi góc từ trục x đến tiếp tuyến, ta xét góc này nh một hàm số của độ dài cung s và định nghĩa độ cong k là tốc độ biến thiên của φ theo s: k= dφ . ds 5 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 +) k > 0 cã nghÜa lµ tăng khi s tăng và đờng cong này dịch chuyển xa sang bên trái của đờng tiếp tuyến theo hớng dơng. +) k < 0 nghĩa là chuyển xa sang bên phải của tiếp tuyến. Nhận xét : Đờng thẳng có độ cong bằng không. Đờng tròn bán kính a có độ cong: k = d 2 1 = = . ds 2 a a Độ cong của đồ thị của hàm sè y = f(x) lµ: k= d 2y dx 2 2 dy 1 + dx 3/2 x = x (t ) NÕu một đờng cong cho dới dạng tham số thì độ cong của nó đợc y = y(t ) tính theo công thức: k= x y ′′ − y ′x ′′ 2 2 (x ′) + (y ′) 3/2 VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng ®é cong cđa parabola y = x2 là lớn nhất tại đỉnh của nó. Giải : TÝnh to¸n cơ thĨ ta cã k= d 2y dx 2 2 dy 1 + dx 3/2 = 2 3/2 (1 + 4x ) 2 . Rõ ràng, đại lợng này có giá trị lớn nhất khi x = 0 nghĩa là tại đỉnh. II. Mặt trụ. Mặt tròn xoay. Mặt bậc hai 1. Nhắc lại một số đờng bậc hai trong mặt phẳng Đờng cong trong mặt phẳng xy thờng có phơng trình dạng F (x , y ) = 0 , các đờng cô nic: (E) Elip: x 2 y2 + =1 a 2 b2 (H) – Hypecbol: x 2 y2 − = ±1 a 2 b2 6 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiu bin (P) Parabol: x 2 = 2py; (C) - Đờng tròn: (x − a )2 + (y − b)2 = R 2 ….. 2010 -2 011 y 2 = ±2px 2. MỈt trơ a. Định nghĩa: Xét một đường cong phẳng C và một đường thẳng L không song song với mặt phẳng của C. Mặt trụ là hình trong khơng gian được sinh ra bởi một đường thẳng dịch chuyển song song với L và tựa trên C. Đường thẳng chuyển động đó được gọi là đường sinh của mặt trụ. Đường cong (C) goi là đường chuNn. Nếu C là đường trịn và L là đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đưịng trịn khi đó ta được mặt trụ trịn xoay. b. Phương trình của mặt trụ: Giả sử đường cong cho trước (C) có phương trình (trong Oxy ): F (x , y ) = 0 và cho đường sinh song song với trục z. Khi đó phương trình F (x , y ) = 0 trong Oxyz cũng là phương trình của mặt trụ trong không gian ba chiều. Cách gọi tên: Mặt trụ + tên đường chu n+ ic Kết luận Bất cứ một phương trình trong hệ toạ độ Oxy khuyết một biến đều biểu diễn một mặt trụ với các đường sinh song song với trục toạ độ tương ứng với biến bị khuyết. x 2 y2 . + =1 9 4 Giải + Đây là phương trình của mặt trụ vì khuyết z trong Oxyz với các đường sinh song song với trục z. Mặt cong này được gọi là mặt trụ elliptic. Ví dụ 1. Vẽ mặt trụ: 7 Tiến sỹ: Nguyễn n Hữu Hữ Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giảii tích nhiều biến bi 2010 -2 011 Ví dụ 2. Vẽ mặt trụ z = x 2 Giải: Đây mặt trụ với các đường ờng sinh song song với v trục y vì khuyết biến ến y trong phương ph trình. Mặt cong này được gọi là mặt ặt trụ tr parabolic. 3. Mặt tròn xoay a. Định nghĩa: Một mặtt cong do xoay đường cong phẳng (C) quanh một đường thẳng ng L không cùng thuộc thu mặt phẳng chứa (C) được gọi là mặtt tròn xoay với trục L. Đường cong (C) lúc này gọi ọi là đường sinh của mặt trịn xoay. b. Mơ tả phương trình mặt ặt trịn xoay: Giả sử đường cong C nằm m trong mặt m phẳng yz có phương trình f (y, z ) = 0 Khi đường ng cong này xoay quanh trục tr z, đường cong C sẽ tạo nên mặt trịn xoay có p/t: f (± x 2 + y 2 , z ) = 0 Ví dụ 3. Nếu đuờng thẳng z=3y trong mặt phẳng yz xoay tròn quanh trục z thì mặtt trịn xoay là một m mặt nón hai tầng với đỉnh tại gốc toạ độ và trục là trục z. z Để có phương trình của mặt nón này chúng ta thay thếế y trong phương ph trình z=3y bởi ± x 2 + y 2 và sau đó hữuu tỷ hố bằng b bình phương: z = ±3 x 2 + y 2 ⇔ z 2 = 9(x 2 + y 2 ) . 4. Mặt bậc hai a. Phương trình tổng ng qt của củ mặt bậc hai Trong khơng gian ba chiều, u, dạng dạ tổng qt của phương trình bậc hai có dạng ạng: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 giả thiết rằng tất cả các hệệ số A,B,…,F không đồng thời bằng không nên bậc b của phương trình thực sự là bậc 2. Đồ thị của ủa các phương ph trình này được gọi là mặt bậc hai. b. Các dạng mặt bậc hai thư ường gặp Có chính xác sáu loại mặt bậc ậc hai không suy biến: bi 1. Ellipsoid. 2. Hyperboloid một tầng. ầng. 8 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 3. Hyperboloid hai tầng. 4. Mặt nón elliptic. 5. Paraboloid Elliptic 6. Paraboloid Hyperbolic. c. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Mặt ellipsoid: x 2 y2 z 2 + + =1 a 2 b2 c2 + Bậc của x,y,z chẵn nên mặt cong đối xứng qua mỗi mặt phẳng toạ độ. + Các lát cắt trong mặt phẳng xz và yz là các ellip: x2 z2 + =1; a 2 c2 y2 z 2 + =1 b2 c2 + Lắt cắt trong mặt phẳng nằm ngang z=k là elip: x 2 y2 k2 + = 1 − a 2 b2 c2 và elip này giảm dần kích thước khi k biến thiên từ 0 tới c hoặc – c. x 2 y2 z 2 Ví dụ 2. Đồ thị của phương trình 2 + 2 − 2 = 1 a b c là một hyperboloid một tầng. + Nếu viết p/trình dưới dạng : x 2 y2 z2 + = 1+ 2 a 2 b2 c thì chúng ta nhận thấy lát cắt ngang trong mặt phẳng z=k là các ellip, và các elip này lớn dần khi dịch chuyển xa mặt phẳng xy. + Lát cắt của mặt cong trong mặt phẳng yz là hyperbol : y2 z 2 − =1 b2 c2 Ví dụ 3 : Mặt hyperboloid hai tầng: − x2 y2 z2 − + =1 a2 b2 c2 + Nếu chúng ta viết phương trình theo dạng: x 2 y2 z2 + = −1 a2 b2 c2 9 2010 -2 011 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 thì các lát cắt ngang nằm trong mặt phẳng z=k với k ≥ c là các ellip hoặc các điểm riêng biệt, còn các lát cắt ngang nằm trong mặt phẳng z=k với k < c là rỗng. + Lát cắt trong mặt phẳng yz là hypecbol : Ví dụ 4. Đồ thị của phương trình: z 2 y2 − = 1. c2 b2 x 2 y2 z2 + = a 2 b2 c2 là một mặt nón elliptic. + Mặt cong này giao với các mặt phẳng xz và yz theo các cặp đường thẳng giao nhau c z = ± x, a c z =± x b + Giao với mặt phẳng xy tại gốc toạ độ. + Tất cả các lát cắt ngang bị căt bởi mặt phẳng z=k với k ≠ 0 là các elip. + Khi a=b, mặt nón là mặt nón trịn. Ví dụ 5: Mặt paraboloid elliptic: z = ax 2 + by 2 +Lát cắt thẳng đứng của mặt cong với mặt phẳng xz và mặt phẳng yz là các parabol: z = ax 2, z = by 2 + Các lát cắt nằm ngang của mặt cong này trong mặt phẳng z=k là các elip nếu k>0, là gốc toạ độ nếu k=0 và rỗng nếu k<0. Ví dụ 6. Mặt paraboloid hyperbolic: z = by 2 − ax 2 + Lát cắt với mặt phẳng yz là parabol z = by 2 mở quay lên và trong mặt phẳng xz là parabol z = −ax 2 mở quay xuống. + Trong tất cả các mặt phẳng y=k song song với mặt phẳng xz, các lát cắt là các parabol mở quay xuống và có các đỉnh chạy dọc theo parabol z = by 2 . + Càng gần gốc toạ độ, mặt cong tăng theo y và giảm theo x nên nó có hình dạng của n ngựa hoăc khe núi, vì vậy, mặt cong này thường đuợc gọi là mặt yên ngựa với gốc toạ độ là tâm yên ngựa. 10 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 III. Hệ tọa độ trụ: a. Định nghĩa: Điểm P trong khơng gian Oxyz có toạ độ vng góc P (x , y, z ) . - Góc θ tạo bởi tia OP ' và chiều dương trục Ox . - r là độ dài đại số của tia OP ' . - z là cao độ của P. Khi đó bộ ba ( r, θ , z) cũng xác định vị trí của điểm P và ta nói rằng ta có hệ tọa độ trụ P (r , θ, z ) . Trong Vật lí, toạ độ trụ rất thuận lợi trong nghiên cứu các tình huống có trục đối xứng. b. Mối liên hệ giữa tọa độ vng góc và tọa độ trụ: x = r cos θ y = r sin θ , − ∞ < z < +∞ z = z ; r 2 = x 2 + y 2 y sin θ = x 2 + y2 x cosθ = 2 x + y2 z = z Nhận xét : + đồ thị của phương trình r = a là một mặt trụ trịn xoay với trục là trục z, + đồ thị của θ = a không đổi là một mặt phẳng chứa trục z + đồ thị của z = a không đổi là một mặt phẳng nằm ngang. Ví dụ 1. Tìm toạ độ trụ của điểm P1 và P2 có các toạ độ vng góc là (3,3,7) và (2 3 , 2, 5) . 11 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến Giải: + P1: chúng ta có r = 9 + 9 = 3 2, z = 7 nên toạ độ trụ là π , 7) . (Tại sao lại lấy r dương được????) 4 (3 2 , + P2 : chúng ta có r = 12 + 4 = 4, (4 , tan θ = 1, 2010 -2 011 tan θ = 1 3 = 1 3, 3 z = 5 nên toạ độ trụ là π , 5) . 6 Ví dụ 2. Mơ tả các mặt cong r + z = 3. a) (b) r (2 cos θ + 5sin θ) + 3 z = 0 Giải: (a) Phương trình x 2 + y 2 + z = 0 , do vậy đây là mặt tròn xoay quanh trục z Giao của mặt cong r + z = 3 với mặt phẳng yz là đường thẳng y + z = 3, ( r = y trong mặt phẳng yz). Mặt nón do đường thẳng y+ z = 3 quay quanh trục z, (phương trình khuyết θ nên mặt nhận trục z làm trục quay) (b) Vì r cos θ = x, r sin θ = y nên p/trình : 2x+5y+3z=0, đây mặt phẳng đi qua gốc toạ độ . Tổng quát hoá: đường cong f(y,z)=0 xoay quanh trục z thì phương trình toạ độ trụ của mặt cong là f(r,z)=0. Ví dụ 3 Phương trình trong tọa độ trụ của (a) mặt cầu x 2 + y 2 + 2z 2 = 4 là r 2 + 2z 2 = 4 (b) Paraboloid hypelbol z = x 2 − y 2 là z = r 2 cos2 θ IV. Hệ tọa độ cầu: + Một điểm P trong khơng gian có toạ độ vng góc (x,y,z). + Gọi : ρ là khoảng cách từ gốc toạ độ O tới P φ là góc hợp bởi trục dương z với bán kính OP θ là góc hợp bởi trục dương x với đường OP’ trong đó P’ là hình chiếu của P trên mặt phẳng xy. Khi đó ta có tọa độ cầu của điểm P là bộ (ρ, φ, θ) . 12 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ , ρ ≥ 0, z = ρ cos φ + Xét phép biến đổi : trong đó ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 , tan φ = 2010 -2 011 0 ≤ φ ≤ π, x 2 + y2 y , tan θ = z x Nhận xét: + Đồ thị của phương trình ρ = a khơng đổi là hình cầu tâm tại gốc toạ độ. + Đồ thị của p/t φ = a khơng đổi α là tầng trên của mặt nón với tâm tại gốc toạ độ và π . 2 góc đỉnh α nếu 0 < α < + Đồ thị của θ = a không đổi là một mặt phẳng chứa trục z như trong toạ độ trụ. Ví dụ 4. Tìm phương trình trong hệ toạ độ cầu của hình cầu x 2 + y 2 + z 2 − 2az = 0, a > 0 . Giải: Áp dụng phép biến đổi ρ = 0 ρ − 2a ρ cos φ = 0 ⇔ ρ(ρ − 2a cos φ) = 0 ⇔ ρ − 2a cos φ = 0 ⇔ ρ − 2a cos φ = 0 2 Ví dụ 5. Xét phương trình ρ = 2a sin φ Giải: + Để ý từ VD2: Biến θ bị khuyết trong phương trình nên p/t xác định mặt trịn xoay (trục z). + Trong mặt phẳng yz, phương trình ρ = 2a sin φ biểu diễn đường trịn bán kính a, tâm thuộc trục Oy. + Mặt tạo thành là mặt xuyến trong đó lỗ hổng có bán kính a Về nhà: Tự đọc các Mục 18.1 đến 18.4 Bài tập: Tr. 44, 50, 55. Đọc trước các Mục 19.1, 19.2, 19.3 , 19.4 chuNn bị cho Bài số 2: Hàm nhiều biến. Đạo hàm riêng. Vi phân. 13 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 Bài số 2 HÀM NHIỀU BIẾN. ĐẠO HÀM RIÊNG. VI PHÂN MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CONG. I. Hàm số nhiều biến. 1. Định nghĩa: Cho (x , y ) ∈ D ⊆ » 2 = » × » , quy tắc cho tương ứng mỗi cặp (x , y ) một phần tử duy nhất z ∈ » được gọi là một hàm số của hai biến x và y, ký hiệu : z = f (x , y ) . Tương tự ta cũng có khái niệm của hàm số n biến với n ≥ 3 . Ví dụ: + Trong hình học giải tích khơng gian: phương trình z = x 2 − y 2 (p/t của mặt yên ngựa) là hàm số hai biến x,y, lúc này mặt yên ngựa là đồ thị của hàm số này. + Nếu chúng ta cho nhiệt độ tại điểm P biến thiên theo thời gian t, thì T = f (x , y, z , t ) . 2. Miền xác định Xét hàm số hai biến z = f (x , y ) , miền xác định của nó là tập hợp tất cả các điểm P=(x,y) trong mặt phẳng Oxy sao cho tồn tại một tương ứng z. Tương tự cũng có định nghĩa miền xác định đối với các hàm số trong không gian xyz, không gian xyzt, . ., Nếu hàm số cho bởi các công thức, miền xác định là tập hợp tất cả các điểm để cơng thức có nghĩa. Ví dụ 1: Xét hàm số : Xét hàm số z = f (x , y ) = 1 . x −y { MXĐ: D = (x , y ) x ≠ y z = g(x , y ) = 9 − x 2 − y 2 { } { } MXĐ: D = (x , y ) 9 − x 2 − y 2 ≥ 0 = (x , y ) x 2 + y 2 ≤ 9 Xét hàm số 3 biến: w = h(x , y, z ) = 2x + 3y + 4z x 2 + y2 + z 2 { } MXĐ: D = (x , y, z ) x 2 + y 2 + z 2 ≠ 0 3. Tính liên tục 1 } Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 Hàm số f(x,y) được nói là liên tục tại một điểm (xo , yo ) trong miền xác định của nó nếu giá trị f(x,y) tiến gần tới f (xo , yo ) khi (x,y) đủ gần với (xo , yo ) , nghĩa là khi x − xo Ví dụ 2: và y − yo f (x , y ) − f (x o , yo ) bé tuỳ ý đủ bé. Hàm số f (x , y ) = xy liên tục tại điểm (xo , yo ) bất kì, vì xy − x 0yo = xy − xyo + xyo − x 0yo = x (y − yo ) + (x − x 0 )yo ≤ x y − yo + yo x − xo nên khi x − xo Hàm số : và y − yo dần tới 0 thì xy f (x , y ) = x 2 + y 2 0 f (x , y ) − f (x o , yo ) → 0 . (x , y ) ≠ (0, 0) (x , y ) = (0, 0) không liên tục tại gốc toạ độ (0,0). Vì, nếu cho (x,y) tiến đến (0,0) dọc theo đường thẳng y = mx với m ≠ 0 thì f (x , y ) = mx 2 m = ≠ 0 nên không thể dần tới f (0, 0) = 0 khi (x,y) đủ gần (0,0). 2 2 2 x +m x 1 + m2 Các hàm số sơ cấp thì liên tục tại điểm bất kì thuộc miền xác định của nó. Tương tự tính liên tục được định nghĩa đối với hàm số của ba hay nhiều hơn biến . 4. Đường mức Định nghĩa: Xét hàm số z = f (x , y ) . Một đường cong được gọi là một đường mức nếu nó nằm trong miền xác định của hàm số, và trên đó z = f (x , y ) có giá trị khơng đổi c. Ứng dụng: + Mơ tả bản chất hình học của một hàm số nhiều biến (khi khó vẽ đồ thị của nó). + Trong vẽ bản đồ địa hình với thung lũng, đồi và núi: nhận được một hình ảnh rõ ràng về các sự thể trên mặt đất trong không gian ba chiều từ sự mô tả trong không gian hai chiều. Tập hợp các đường mức được gọi là bản đồ trắc địa. 5. Mặt mức 2 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 Chúng ta không thể vẽ đồ thị đối với hàm ba biến vì khi đó cần một khơng gian hữu hình bốn chiều để chứa đồ thị. Tư tưởng của đường mức sẽ dẫn tới khái niệm mặt mức . Định nghĩa. Xét hàm số ba biến w = f (x , y, z ) . Một mặt cong được gọi là một mặt mức nếu nó nằm trong miền xác định của hàm số, và trên đó w = f (x , y, z ) có giá trị khơng đổi c. Ứng dụng : Mặt mức có thể khó vẽ, nhưng kiến thức về chúng có thể giúp chúng ta định dạng ý tưởng trực giác có ích về bản chất của các hàm số này. Ví dụ 3: + Xét hàm số w = x + 2y + 3z , có mặt mức là các mặt phẳng x + 2y + 3z = c + Hàm số w = x 2 + y 2 + z 2 , có mặt mức là khối cầu đồng tâm x 2 + y2 + z 2 = c . II. ĐẠO HÀM RIÊNG 1. Định nghĩa: Xét hàm hai biến z= f(x,y), trước hết chúng ta giữ y cố định và cho x biến ∂z thiên. Tốc độ biến thiên của z theo x được kí hiệu là và định nghĩa bởi ∂x ∂z f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) = lim ∂ x ∆x→0 ∆x Giới hạn này (nếu tồn tại) được gọi là đạo hàm riêng(cấp một) của z theo x . Ký hiệu thường sử dụng ∂z ∂ f , zx , , f x , f x ( x, y ) ∂x ∂x Tương tự, nếu x cố định và y thay đổi thì đạo hàm riêng của z theo y là : ∂z f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y ) = lim ∂ y ∆y →0 ∆y kí hiệu trong truờng hợp này là : ∂z ∂ f , zy , , f y , f y ( x, y ) ∂y ∂y Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng cho hàm nhiều hơn hai biến. Quy tắc: lấy đạo hàm riêng của hàm nhiều biến số theo một biến chúng ta coi tất cả các biến độc lập khác là hằng số và khi đó ta thực hiện các phép tốn đạo hàm riêng (theo một biến đó) như các phép tốn lấy đạo hàm của hàm một biến. Ví dụ 4. Xét hàm số : f (x , y ) = x 3 − 3x 2y 3 + y 2 . Tính các ĐHR 3 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 Ví dụ 5 (a) Nếu f (x , y ) = xy 2 + x 3 thì …… 2 (b) Nếu g (x , y ) = xe xy thì ……. . (c) Nếu h(x , y ) = sin x 2 cos 3y thì Ví dụ 6: Nếu w = f (x , y, z , u, v ) = xy 2 + 2x 3 + xyz + zu + tan uv thì …… Chú ý: + Trong trường hợp một biến, chúng ta biết đạo hàm có thể coi là phân số: thương của các vi phân dy và dx. + Đối với hàm nhiều biến: đạo hàm riêng không được hiểu theo cách như vậy. Ví dụ 7. Định luật khí lí tưởng nói rằng số lượng khí đã có, áp suất p, thể tích V, nhiệt độ tuyệt đối T được liên hệ với nhau bởi phương trình pV = nRT trong đó n là số lượng phân tử gam khí ở điều kiện lí tưởng và R là hằng số. Ta có nRT nRT pV p= , V = , T= V p nR ∂p ∂V ∂T nRT nR V =− 2 , = , = nên : ∂V ∂T ∂ p nR p V suy ra : ∂p ∂V ∂T nRT nR = − 2 ∂ V ∂ T ∂ p V p V nRT =− = −1 . nR pV Kết quả bằng -1 : không thể coi các đạo hàm riêng ở vế trái như là các phân số. 2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng cấp một Xét h/số hai biến z=f(x,y) có đồ thị là một mặt cong. Xét điểm (x 0, y0 ) trong mặt phẳng Oxy tương ứng với điểm (x 0, y0, z 0 ) trên mặt cong. Giữ y cố định tại điểm y0 nghĩa là chia mặt cong bởi mặt phẳng y = y 0 , và giao là đường cong z = f (x 0, y 0 ) trong mặt phẳng đó . Số ∂ z ∂ x = fx (x 0 , y 0 ) (x 0 ,y0 ) là độ nghiêng của tiếp tuyến đối với đường cong tại x = x 0 . Vì vậy, 4 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến ∂ z tan α = ∂ x 2010 -2 011 = fx (x 0,y 0 ) . (x 0 ,y 0 ) Tương tự, giao của mặt cong với mặt phẳng x = x 0 là đường cong z = f (x 0, y 0 ) ,và đạo hàm riêng còn lại là độ nghiêng của tiếp tuyến đối với đường cong tại y = y 0 , và ∂ z tan β = ∂ y 3. Đạo hàm riêng cấp cao = fy (x 0,y 0 ) . (x 0 ,y 0 ) Đối với hàm hai biến z = f(x,y), các đạo hàm riêng fx = fx (x, y ) và fy = fy (x , y ) cũng là các hàm số hai biến, và có thể chúng cũng có các đạo hàm riêng. Như vậy các đạo hàm riêng cấp hai được định nghĩa thông qua đạo hàm riêng cấp một ∂f ∂f = fx và = fy . ∂x ∂y Khi đó các đạo hàm riêng cấp hai theo x là: ∂ ∂ f ∂ 2 f ∂ ∂ ∂ f ∂ 2f ∂ = fx = fxx và = f = fyx = = 2 ∂ x ∂ x ∂ x ∂x ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y ∂x y Các đạo hàm riêng theo y là: ∂ ∂ f ∂ 2f ∂ ∂ ∂ f ∂ 2f ∂ = = f = f = = f = fyy . và xy ∂ y ∂ x ∂ y ∂ x ∂y x ∂ y ∂ y ∂y y ∂ y2 Các đạo hàm riêng cấp hai thuần tuý: ∂ 2f ∂ 2f fxx = fyy = và ∂ x2 ∂ y2 Ý nghĩa: biểu thị tốc độ biến thiên của tốc độ biến thiên của f . Các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp: ∂2 f ∂x ∂y và ∂2 f . ∂y ∂x Ý nghĩa: * fyx = ∂2 f chỉ ra tốc độ biến thiên của f theo hướng y của tốc độ biến thiên của f theo ∂x ∂y hướng x . * fx y = ∂2 f chỉ ra tốc độ biến thiên của f theo hướng x của tốc độ biến thiên của f theo ∂y ∂x hướng y. Câu hỏi: Giữa các đạo hàm riêng hỗn hợp có mối liên hệ gì? 5 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 Ví dụ 8. Xét f (x , y ) = x 3e 5y + y sin 2x . Các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp : fxy = 15x 2e 5y + 2 cos 2x , fyx = 15x 2e 5y + 2 cos 2x . ∂2 f ∂2 f = fyx = , tức là thứ tự lấy đạo hàm riêng trong trường hợp này ∂y ∂x ∂x ∂y không quan trọng. Tuy nhiên điều này không phải lúc nào cũng đúng. dễ thấy fxy = ∂2 f ∂2 f và fyx = tồn tại đối với tất cả các điểm ∂y ∂x ∂x ∂y gần (x 0, y0 ) và liên tục tại điểm đó thì fxy (x 0 , y 0 ) = fyx (x 0 , y 0 ) . Điều kiện quan trọng : Nếu fxy = Các đạo hàm riêng cấp lớn hơn hai, cũng như các đạo hàm cấp cao của các hàm số nhiều hơn hai biến, được định nghĩa tương tự. Xét w= f(x,y,z) thì : ∂ ∂2 f = f = ( zy )x = fz yx , ∂x ∂y ∂z ∂ x ∂ y ∂ z ∂ 4f ∂ ∂ 3 f = f = ( xxy )z = fxxyz , ... ∂ z ∂ y ∂ x 2 ∂ z ∂ y ∂ x2 ∂ 3f III. SỐ GIA VÀ VI PHÂN. BỔ ĐỀ CƠ BẢN 1. Nhắc lại: Xét hàm số một biến: y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0. Nếu ∆x là một số gia từ x 0 tới điểm x 0 + ∆x , ta có số gia tương ứng của y: ∆y = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) . Định nghĩa đạo hàm: f '(x 0 ) = lim ∆x → 0 ∆y ∆x (nếu giới hạn đó tồn tại) và ta nói rằng: hàm số đó có đạo hàm tại điểm x0 . Có thể viết ở dạng tương đương ∆y = f '(x 0 ) ∆x + ε ∆x Vi phân của hàm số là trong đó ε → 0 khi ∆x → 0 . dy = f ′(x 0 )dx . 6 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 Chú ý : Đối với hàm số một biến y=f(x) + Có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm đó. + Có đạo hàm tại một điểm thì sẽ khả vi tại điểm đó. + dy biến thiên theo y dọc theo tiếp tuyến. 2. Vi phân của hàm hai biến Xét hàm số z=f(x,y) và cho (x 0 , y 0 ) là một điểm tại đó các đạo hàm riêng fx (x 0 , y 0 ) và fy (x 0 , y 0 ) đều tồn tại. + Số gia của z là : ∆z = f (x 0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f (x 0, y 0 ) + Ta có thể viết dưới dạng: ∆z = fx (x 0 , y 0 ) ∆x + fy (x 0 , y 0 ) ∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y (*) trong đó ε1 và ε2 → 0 khi ∆x và ∆y → 0 . Khác hẳn với hàm một biến, sự tồn tại các đạo hàm riêng fx và fy tại (x 0 , y 0 ) chưa đủ đảm bảo tính đúng đắn của (*). Bổ đề cơ bản. Giả thiết hàm số z = f(x,y) và các đạo hàm riêng của nó fx và fy xác định tại điểm (x 0 , y 0 ) và tại lân cận của điểm này. Giả thiết thêm là fx và fy liên tục tại (x 0 , y 0 ) . Khi đó số gia ∆z có thể biểu thị dạng (*) trong đó 7 ε1 và ε2 → 0 khi ∆x và ∆y → 0 . Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x,y) sao cho các đạo hàm riêng của nó fx và fy xác định tại điểm (x 0 , y 0 ) , (tức fx (x 0, y0 ) , fy (x 0 , y 0 ) tồn tại) và ở lân cận của điểm này hơn nữa các đạo hàm riêng đó liên tục tại (x 0 , y 0 ) , khi đó ta nói rằng z = f(x,y) khả vi tại (x0,y0) , và định nghĩa vi phân dz bởi : dz = fx (x 0 , y 0 ) dx + fy (x 0 , y 0 ) dy . Vi phân dz thường được viết theo các dạng tương đương dz = ∂z ∂x dx + ∂z ∂y dy hoặc df = ∂f ∂x dx + ∂f ∂y dy Chú ý. + Với giả thiết hàm số khả vi, ta có thể chứng minh rằng mặt cong z=f(x,y) có một tiếp diện tại (x 0 , y 0 , z 0 ) và dz là sự thay đổi theo z dọc theo mặt phẳng này. + Hàm số z=f(x,y) khả vi tại một điểm thì liên tục tại đó (vì khi ∆x và ∆y → 0 thì ∆z → 0 .) + Sự tồn tại của các đạo hàm riêng fx và fy tại một điểm không kéo theo sự liên tục của f(x,y) tại điểm này, xy Ví dụ 9: Xét hàm số f (x , y ) = x 2 + y 2 0 ta tính được: f (0 + ∆x , y ) − f (0, 0) = (x , y ) ≠ (0, 0) (x , y ) = (0, 0) (0 + ∆x )0 = 0 , tương tự đối với biến y, do đó (0 + ∆x )2 + 02 fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0 , nhưng hàm số không liên tục tại (0,0). IV. MẶT PHẲNG TIẾP XÚC ĐỐI VỚI MẶT CONG Xét mặt cong z= f(x,y), mặt phẳng y = y 0 giao với mặt cong này theo đường cong (C1) có phương trình là z = f (x , y 0 ) , 8 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến và mặt phẳng 2010 -2 011 x = x 0 giao với mặt cong này theo đường cong (C2) có phương trình là z = f (x 0 , y ) . Độ dốc của các đường thẳng tiếp xúc đối với các đường cong này tại điểm P = (x 0 , y 0 , z 0 ) là các đạo hàm riêng fx (x 0 , y 0 ) và fy (x 0 , y 0 ) . Hai đường thẳng tiếp xúc này xác định một mặt phẳng, nếu mặt cong đủ trơn gần P0 thì mặt phẳng này sẽ tiếp xúc đối với mặt cong tại P0. 1. Định nghĩa: Cho P0 là một điểm trên mặt cong có p/t z=f(x,y), T là mặt phẳng qua P0 và cho P là một điểm bất kì khác trên mặt cong. Nếu, khi P tiến tới P0 dọc theo mặt cong, góc giữa đoạn thẳng P0 P và mặt phẳng T tiến tới khơng, thì T được gọi là mặt phẳng tiếp xúc đối với mặt cong tại P0 . Chú ý: Một mặt cong khơng nhất thiết có mặt phẳng tiếp xúc tại P0 , xét nửa mặt nón z = x 2 + y 2 . Rõ ràng các đường cong (C1) và (C2) khơng có đường thẳng tiếp xúc tại gốc toạ độ, và các đạo hàm riêng không tồn tại ở đây. Kể cả khi các đường cong (C1) và (C2) đủ trơn để có các đường thẳng tiếp xúc tại P0, mặt cong có thể vẫn khơng có mặt phẳng tiếp xúc tại P0, bởi vì quan hệ không trơn gần P0 trong miền giữa (C1) và (C2). 2. Véc tơ pháp tuyến và phương trình mặt phẳng tiếp xúc: Xét mặt cong có p/t z=f(x,y). 9 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 Giả sử tồn tại mặt phẳng tiếp xúc tại điểm P0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) . Các véc tơ V1 và V2 tiếp xúc với đường cong (C1) và (C2) tại P0: V1 = i + 0j + fx (x 0, y0 )k tiếp xúc với (C1) tại P0 V2 = 0i + j + fi (x 0 , y0 )k tiếp xúc với (C2) tại P0. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc: i j k N = V2 × V1 = 0 1 fy (x 0 , y 0 ) = fx (x 0 , y 0 )i + fy (x 0 , y 0 )j − k 1 0 fx (x 0 , y 0 ) Phương trình mặt phẳng cần tìm là fx (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + fy (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0 hay là : z − z 0 = fx (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + fy (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) . Ví dụ 10. Tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong : z = f (x , y ) = 2xy 3 − 5x 2 tại điểm (3, 2, 3) . Giải: + Kiểm tra xem điểm (3, 2, 3) nằm trên mặt cong đã cho. + Ta có fx = 2y 3 − 10x và fy = 6xy 2 nên fx (3,2) = −14 và fy (3, 2) = 72 . + Vậy phương trình của mặt phẳng tiếp xúc là (Chú ý giải thích tại sao tồn tại mặt phẳng tiếp xúc ?????) z − 3 = −14( x − 3) + 72( y − 2) Ví dụ 11. Tìm mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu x 2 + y 2 + z 2 = 14 tại điểm (1, 2, 3) . Đáp số: Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc là 1 2 z − 3 = − (x − 1) − (y − 2) hay là x + 2y + 3z = 14 . 3 3 10 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 Phương pháp khác : Ta thấy phương trình xác định z là hàm Nn của x và y, và sẽ tìm các đạo hàm riêng bằng đạo hàm hàm Nn. Với phương pháp này chúng ta có phương trình mặt phẳng tiếp ∂ z ∂ z xúc là z − z 0 = (x − x 0 ) + (y − y 0 ) . ∂ x ∂ y P0 P0 Ví dụ 12. Tìm mặt phẳng tiếp xúc của ví dụ 2 bằng phương pháp vừa đề nghị. + Trước hết chúng ta giữ y cố định và đạo hàm hàm Nn đối với x, dẫn đến 2x + 2z + Từ đó ∂z ∂x =0 ∂z ∂z x y = − . Tương tự, =− . ∂x z ∂y z + Tại điểm P0 = (1,2, 3) , các đạo hàm riêng có các trị số ∂ z ∂ z 1 2 = − và = − . 3 3 ∂ x P ∂ y P 0 0 1 2 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc là: z − 3 = − (x − 1) − (y − 2) . 3 3 Về nhà: Bài tập: Tr. 61, 68, 73. Đọc trước các Mục: 19.6 và 19.10 để chuNn bị cho Bài số 3 Đạo hàm hàm hợp. Đạo hàm hàm n 11 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến 2010 -2 011 Bài số 3 ĐẠO HÀM HÀM HỢP. ĐẠO HÀM HÀM ẨN 1. Đạo hàm hàm hợp. Nhắc lại trường hợp hàm một biến: Cho y = f (x ) và x = g (t ) với t ∈ D , khi đó ta có hàm hợp y = f g được xác định bởi y = ( f g )(t ) = f g (t ) . Nếu f , g là các hàm khả vi thì y = f g (t ) cũng là hàm khả vi theo biến t và đạo hàm của y theo biến t đước tính thơng qua quy dy dy dx = . dt dx dt tắc dây chuyền: (1) Đối với hàm nhiều biến: a) Trường hợp 1: Giả sử w = f (x , y ) trong đó: x = g (t ) và y = h (t ) là các hàm khả vi. Khi đó hàm hợp w = f g (t ), h(t ) = F (t ) là hàm một biến khả vi và đạo hàm của nó được xác định bởi : dw ∂w dx ∂w dy = + . dt ∂x dt ∂y dt (2) Đây là quy tắc dây chuyền trong đối với hàm hai biến. Ví dụ 1: Cho w = 3x 2 + 2xy − y 2 ở đó x = cos t và y = sin t , tìm dw . dt Giải + Ta có : ∂w ∂w = (6x + 2y ); = (2x − 2y ) ∂x ∂y dx dy = − sin t; = cos t. dt dt + Từ công thức (2) ta có : dw = (6x + 2y )(− sin t ) + (2x − 2y ) cos t dt + Đổi biến x = cos t và y = sin t , ta có thể viết biểu thức này chỉ theo biến t, ( ) dw = (6 cos t + 2 sin t )(− sin t ) + 2 cost − 2 sin t (cos t ) dt = −6 sin t cos t − 2 sin2 t + 2 cos2 t − 2 sin t cos t = 2 cos 2t − 4 sin 2t . Cách khác: Thay ngay từ đầu theo biến t rồi lấy đạo hàm, dẫn đến w = 3 cos2 t + 2 sint cos t −sin2 t 1 |
