- LG a
- LG b
Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] có \[AB = a,BC = 2a,AA' = a\]. Lấy điểm \[M\] trên cạnh \[AD\] sao cho \[AM = 3MD\].
LG a
Tính thể tích khối chóp \[M.AB'C\]
Phương pháp giải:
- Đổi vị trí đỉnh và đáy của khối chóp, đưa về khối chóp có chiều cao và đáy dễ tính toán.
- Tính thể tích theo công thức \[V = \dfrac{1}{3}Sh\].
Giải chi tiết:
Ta có: \[{V_{M.AB'C}} = {V_{B'.ACM}}\].
\[{S_{AMC}} = \dfrac{3}{4}{S_{ADC}} = \dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}.2{a^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\]
Do đó \[{V_{M.AB'C}} = {V_{B'.ACM}} = \dfrac{1}{3}B'B.{S_{AMC}}\]\[ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3{a^2}}}{4}.a = \dfrac{{{a^3}}}{4}\]
LG b
Tính khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[\left[ {AB'C} \right]\].
Phương pháp giải:
- Tính diện tích tam giác \[AB'C\].
- Dựa vào thể tích và diện tích của khối chóp \[M.AB'C\] suy ra khoảng cách theo công thức \[h = \dfrac{{3V}}{S}\].
Giải chi tiết:
Gọi \[h\] là khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[\left[ {AB'C} \right]\]
Khi đó \[{V_{M.AB'C}} = \dfrac{1}{3}{S_{AB'C}}.h = \dfrac{{{a^3}}}{4}\]
Vì \[A{C^2} = {\rm{ }}B'{C^2} = 5{a^2}\] nên tam giác \[ACB'\] cân tại \[C\]. Do đó, đường trung tuyến \[CI\] của tam giác \[ACB'\] cũng là đường cao.
Ta có: \[C{I^2} = {\rm{ }}C{A^2}-{\rm{ }}A{I^2}\]\[ = {\rm{ }}5{a^2} - {\left[ {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right]^2}\] \[ = 5{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{9{a^2}}}{2}\]
Do đó \[CI = \dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}\]\[ \Rightarrow {S_{AB'C}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}.a\sqrt 2 = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\]
\[ \Rightarrow h = \dfrac{{3V}}{S} = \dfrac{{3{a^3}}}{4}:\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{a}{2}\].