- LG a
- LG b
Tìm cực trị của các hàm số sau:
LG a
\[y = \sin^2 {x} - \sqrt 3 {\rm{cos}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[y' = 2\sin x\cos x + \sqrt 3 \sin x\]
\[ = \sin x[2\cos x + \sqrt 3 ]\]
Với \[0 < x < \pi \] ta có \[\sin x > 0\]. Do đó
\[y' = 0 \] \[\Leftrightarrow \cos x = - {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow x = {{5\pi } \over 6}\]
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại điểm \[x = {{5\pi } \over 6};y = \left[ {{{5\pi } \over 6}} \right] = 1{3 \over 4}\]
Có thể áp dụng quy tắc 2
\[y' = \sin 2x + \sqrt 3 \sin x\]
\[y'' = 2\cos x + \sqrt 3 \cos x\]
\[y'' = \left[ {{{5\pi } \over 6}} \right] = 2\cos {{5\pi } \over 6} + \sqrt 3 \cos {{5\pi } \over 6} \]
\[= 2.{1 \over 2} + \sqrt 3 \left[ { - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right] = - {1 \over 2} < 0\]
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \[x = {{5\pi } \over 6};y = \left[ {{{5\pi } \over 6}} \right] = 1{3 \over 4}\]
LG b
\[y = 2\sin x + {\rm{cos2}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[y' = 2\cos x - 2\sin 2x\] \[= 2\cos x[1 - 2\sin x]\]
Với \[0 < x < \pi \] , ta có
\[y' = 0 \]\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0 \hfill \cr \sin x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]\[\Leftrightarrow x = {\pi \over 2},x = {\pi \over 6},x = {{5\pi } \over 6}\]
Ta áp dụng quy tắc 2
\[y'' = - 2\sin x - 4\cos 2x\]
\[y'' = \left[ {{\pi \over 2}} \right] = - 2\sin {\pi \over 2} - 4\cos x = 2 > 0\]
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[x = {\pi \over 2};y\left[ {{\pi \over 2}} \right] = 1\]
\[y''\left[ {{\pi \over 6}} \right] = - 2\sin {\pi \over 6} - 4\cos {\pi \over 3} = - 3 < 0\]
Hàm số đạt cực đại tại điểm \[x = {\pi \over 6};y\left[ {{\pi \over 6}} \right] = {3 \over 2}\]
\[y'' = \left[ {{{5\pi } \over 6}} \right] = - 2\sin {{5\pi } \over 6} - 4\cos x{{5\pi } \over 3} = - 3 < 0\]
Hàm số đạt cực đại tại điểm \[x = {{5\pi } \over 6};\]\[y = \left[ {{{5\pi } \over 6}} \right] = {3 \over 2}\]