- LG a
- LG b
- LG c
Giải các phương trình sau
LG a
\[2\tan x-3\cot x-2=0\]
Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Sử dụng công thức \[\cot x=\dfrac{1}{\tan x}\] để rút gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne 0\\\sin x\ne 0 \end{array} \right. \]
Ta có: \[2\tan x-3\cot x-2=0\]
\[\Leftrightarrow 2\tan x-\dfrac{3}{\tan x}-2=0\]
\[\Rightarrow 2{\tan}^2 x-3-2\tan x=0\]
\[\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1\pm\sqrt{7}}{2} \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arctan{\left[{\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}}\right]}+k\pi,k \in \mathbb{Z}\\x=\arctan{\left[{\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}}\right]}+k\pi,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \]
Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.
LG b
\[{\cos}^2 x=3\sin 2x+3\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi phương trình.
Ta thấy \[\cos x=0\] không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của phương trình cho \[{\cos}^2 x\] để rút gọn phương trình.
Sử dụng công thức \[1+{\tan}^2 x=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[{\cos}^2 x=3\sin 2x+3\]
\[\Leftrightarrow {\cos}^2 x=6\sin x\cos x+3 \]
Ta thấy \[\cos x=0\] không là nghiệm của phương trình.
Với \[\cos x\ne 0\] ta chia hai vế của phương trình cho \[{\cos}^2 x\] ta được
\[1=6\tan x+\dfrac{3}{{\cos}^2 x}\]
\[\Leftrightarrow 1=6\tan x+3[1+{\tan}^2 x]\]
\[\Leftrightarrow 3{\tan}^2 x+6\tan x+2=0 \]
\[\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow\]
\[\left[ \begin{array}{l} x = \arctan{\left[{\dfrac{-3+\sqrt{3}}{3}}\right]}+k\pi,k \in \mathbb{Z}\\x=\arctan{\left[{\dfrac{-3-\sqrt{3}}{3}}\right]}+k\pi,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \]
Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.
LG c
\[\cot x-\cot 2x=\tan x+1\]
Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Sử dụng công thức \[\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\], \[\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\] và công thức nhân đôi để rút gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sin x \ne 0\\
\sin 2x \ne 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \] \[\Leftrightarrow 2x \ne k\pi \] \[\Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\]
Ta có: \[\cot x-\cot 2x=\tan x+1\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{2\sin x\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1\]
\[\Rightarrow 2{\cos }^2 x-\cos 2x=2{\sin}^2 x+\sin 2x\]
\[\Leftrightarrow 2[{\cos}^2 x-{\sin}^2 x]-\cos 2x=\sin 2x\]
\[\Leftrightarrow 2\cos 2x-\cos 2x=\sin 2x\]
\[\Leftrightarrow \cos 2x=\sin 2x\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \tan 2x = 1\\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k\in\mathbb{Z}
\end{array}\]
Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.