programming

Bội chung của 3 và 5 đến 100

Phép nhân, phép chia các số nguyên cho ra nhiều điều bất ngờ. Mô-đun này khuyến khích tư duy phép nhân về các con số và giới thiệu các ý tưởng là những kỹ năng cần thiết trong phân số và đại số

Các ý tưởng của mô-đun này được trình bày ở dạng số học thuần túy và không sử dụng đại số nào ngoại trừ một số nhận xét mong được làm việc sau này. Các số duy nhất trong mô-đun là số nguyên, ngoại trừ các đoạn cuối cùng, trong đó các phân số được sử dụng để luật chỉ số thứ năm có thể được trình bày ở dạng thỏa đáng hơn

Học sinh lần đầu tiên gặp sự phân biệt giữa số lẻ và số chẵn ở trường tiểu học, nhưng nó hữu ích ở mọi nơi trong toán học. Các số chẵn là bội của 2, và tổng quát hơn, bội số xuất hiện trong toán học và cuộc sống hàng ngày. Khối lượng của một chồng gạch là bội số của khối lượng của một viên gạch. Số trang của một tập vở là bội số của số trang trong một tập vở

Thừa số của một số có thể được hiển thị bằng mảng hình chữ nhật. Một số số, chẳng hạn như 30, có thể phát sinh theo nhiều cách khác nhau như một tích,

30 = 1 × 30 = 2 × 15 = 3 × 10 = 5 × 6 = 2 × 3 × 5,

trong khi một số chẳng hạn như 31 chỉ có thể được viết tầm thường dưới dạng tích 31 = 1 × 31. Ý tưởng này dẫn đến việc phân loại các số lớn hơn 1 thành số nguyên tố hoặc hợp số và liệt kê tất cả các thừa số của một số

Có một số nhóm phép chia hết nổi tiếng có thể kiểm tra xem một số có phải là thừa số hay không mà không thực sự thực hiện phép chia. Các bài kiểm tra này đơn giản hóa rất nhiều việc liệt kê các yếu tố của số

Phép cộng lặp đi lặp lại dẫn đến phép nhân. Lần lượt phép nhân lặp đi lặp lại dẫn đến lũy thừa và việc điều khiển lũy thừa lần lượt dựa vào năm luật chỉ số. Quyền hạn được giới thiệu trong mô-đun này, cùng với bốn trong số năm luật chỉ số

Chúng ta thường so sánh các con số về kích thước của chúng. Thừa số chung cao nhất [HCF] và bội số chung thấp nhất [LCM] cho phép chúng ta so sánh các số theo thừa số và bội số của chúng. Ví dụ: khi nhìn vào 30 và 12, chúng ta thấy rằng cả hai đều là bội số của 6 và 6 là ước chung lớn nhất của cả hai số. Ta cũng thấy rằng 60 là bội của cả hai số và 60 là bội chung nhỏ nhất của chúng [ngoài 0]. HCF và LCM rất cần thiết cho phân số và sau này là đại số

Nội dung

Số lẻ và số chẵn

Đây là định nghĩa thông thường của các số nguyên lẻ và chẵn

Một số nguyên được gọi ngay cả khi nó là bội số của 2
Một số nguyên được gọi là số lẻ nếu nó không phải là số chẵn

Vậy 10 là số chẵn và 11 là số lẻ. Chúng ta có thể chứng minh điều này bằng cách viết

10 = 5 + 5và11 = 5 + 5 + 1,

và chúng ta có thể minh họa điều này bằng cách sử dụng các mảng có hai hàng

10 = 5 + 5

11 = 5 + 5 + 1

Dãy biểu diễn số chẵn 10 có số chấm chia đều thành 2 hàng bằng nhau là 5 nhưng mảng biểu diễn số lẻ 11 lại dư 1 dấu chấm lẻ

Khi chúng ta viết ra các số nguyên theo thứ tự,

các số chẵn và lẻ luân phiên nhau, bắt đầu bằng 0, là số chẵn vì
0 + 0 = 0.

Mô hình này xảy ra trong tất cả các loại tình huống phổ biến

Khi chúng ta bước đi, chúng ta bước sang trái, phải, trái, phải,…
Khi bản nhạc được viết ở thời gian kép, như Quốc ca Úc, các nốt được nhấn luân phiên, không nhấn, nhấn, không nhấn,…
Thời gian của chúng ta được luân phiên chia ngày, đêm, ngày, đêm,…
Các ô vuông trên mỗi hàng hoặc cột của bàn cờ có màu đen, trắng, đen, trắng,…

Thật vậy, quan niệm của chúng ta về số 2 khác với quan niệm của chúng ta về tất cả các con số khác đến nỗi chúng ta thậm chí sử dụng ngôn ngữ khác nhau. Chúng tôi chia một chiếc bánh cho hai người, nhưng giữa ba người. Chúng tôi xác định hai lựa chọn thay thế, nhưng ba tùy chọn. Từ 'nghi ngờ' có liên quan đến từ 'duo' trong tiếng Latinh, từ 'hai mặt' có nghĩa là 'kẻ nói dối' và con số truyền thống của ma quỷ là 2

BÀI TẬP 1

Học sinh thường đưa ra các định nghĩa khác có thể có về số nguyên chẵn

Số 0 là số chẵn, và sau đó, số lẻ và số chẵn xen kẽ nhau
Một số chẵn có thể được viết dưới dạng tổng của hai số nguyên bằng nhau
Số chẵn chia cho 2 dư 0

Tính chất cụ thể nào của số lẻ và số chẵn minh họa cho mỗi số?

Cộng và trừ số lẻ và số chẵn

Có một số sự thật hiển nhiên về các phép tính với các số chẵn và lẻ rất hữu ích khi kiểm tra tự động các phép tính. Đầu tiên, phép cộng và phép trừ

Tổng hoặc hiệu của hai số lẻ hoặc hai số chẵn là số chẵn
Tổng hoặc hiệu của một số lẻ và một số chẵn là số lẻ

Chứng minh bằng mảng thường thuyết phục học sinh hơn chứng minh bằng đại số. Sơ đồ bên dưới minh họa 'lẻ cộng lẻ bằng chẵn' và cho thấy mọi thứ phụ thuộc vào dấu chấm lẻ còn lại như thế nào. Các trường hợp khác rất giống nhau

BÀI TẬP 2

Vẽ 4 sơ đồ minh hoạ 4 trường hợp trừ các số chẵn và số lẻ

Nhân các số lẻ và số chẵn

Khi chúng ta nhân các số lẻ và số chẵn,

Tích của một số chẵn với một số bất kỳ là số chẵn
Tích của hai số lẻ là số lẻ

Bằng chứng bằng mảng có thể được sử dụng ở đây, nhưng chúng khó sử dụng. Thay vào đó, chúng tôi sẽ sử dụng các kết quả trước đó để cộng các số lẻ và số chẵn. Dưới đây là ví dụ về ba trường hợp

6 × 4 = 24,5 × 4 = 20,7 × 3 = 21

Tích thứ nhất và tích thứ hai là số chẵn vì mỗi tích có thể viết dưới dạng tổng
của các số chẵn.

6 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 và 5 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4

Tích thứ ba có thể viết dưới dạng tổng của các cặp số lẻ, cộng thêm một
số lẻ.

7 × 3 = [3 + 3] + [3 + 3] + [3 + 3] + 3

Mỗi dấu ngoặc là số chẵn, vì nó là tổng của hai số lẻ nên tổng là số lẻ

BÀI TẬP 3

Chúng ta có thể nói gì về thương của các số lẻ và số chẵn? . Biện minh cho câu trả lời của bạn bằng các ví dụ

aThương của một số chẵn và một số chẵn là…
bThương của một số chẵn và một số lẻ là…
cThương của
dThe quotient of an odd number and an odd number is…

Sử dụng đại số cho số lẻ và số chẵn

Các kết quả trước đó về số học của các số lẻ và số chẵn có thể thu được sau khi các số nguyên được giới thiệu, và việc mở rộng các dấu ngoặc và loại bỏ một thừa số chung được xử lý. Bước quan trọng đầu tiên là

Bất kỳ số chẵn nào cũng có thể được viết dưới dạng 2a, trong đó a là một số nguyên
Bất kỳ số lẻ nào cũng có thể được viết dưới dạng 2a + 1, trong đó a là một số nguyên

BÀI TẬP 4

Nắm được kết quả bài trước về phép cộng, phép nhân các số chẵn, lẻ bằng đại số. Bắt đầu, 'Cho các số chẵn là 2a và 2b, và các số lẻ là 2a + 1 và 2b + 1, trong đó a và b là các số nguyên. ’

Biểu diễn số bằng mảng

Trong phần trước, chúng ta đã biểu diễn các số chẵn bằng mảng có hai hàng bằng nhau và số lẻ bằng mảng có hai hàng, trong đó hàng này có nhiều hơn hàng kia một dấu chấm.

Biểu diễn các số bằng mảng là một cách tuyệt vời để minh họa một số thuộc tính của chúng. Ví dụ: các mảng bên dưới minh họa các thuộc tính quan trọng của các số 10, 9, 8 và 7

số 10

Có hai mảng hình chữ nhật cho 10

10 = 2 × 5

10 = 1×10

Mảng đầu tiên cho thấy 10 có thể được phân tích thành 10 = 5 × 2, có nghĩa là 10 là số chẵn

Mảng thứ hai là tầm thường - mọi số có thể được phân tích thành tích của chính nó và 1

Quy ước được sử dụng trong các mô-đun này là hệ số đầu tiên biểu thị số lượng hàng và hệ số thứ hai biểu thị số lượng cột. Tuy nhiên, quy ước ngược lại sẽ được chấp nhận như nhau

số 9

Số 9 cũng có hai mảng chữ nhật

9 = 3 × 3

9 = 1 × 9

Mảng đầu tiên cho thấy 9 là một hình vuông vì nó có thể được biểu diễn dưới dạng một mảng hình vuông. Bao thanh toán tương ứng là 9 = 3 × 3

Vì không có mảng 2 hàng nên số 9 là số lẻ. Mảng thứ hai là mảng tầm thường

số 8

Số 8 có hai mảng chữ nhật và mảng ba chiều

8 = 2 × 4

8 = 1 × 8

8 = 2 × 2 × 2

Mảng thứ ba cho thấy 8 là một khối vì nó có thể được biểu diễn dưới dạng một mảng khối.
Tích phân tương ứng là 8 = 2 × 2 × 2.

Mảng đầu tiên cho thấy 8 là số chẵn và mảng thứ hai là mảng tầm thường

số 7

Điều thú vị ở số 7 là nó chỉ có mảng tam giác, vì 7 chấm không thể sắp xếp thành mảng chữ nhật nào ngoài mảng tam giác.

7 = 1 × 7

Các số lớn hơn 1 chỉ có một dãy chữ nhật tầm thường được gọi là số nguyên tố. Mọi số nguyên khác lớn hơn 1 gọi là hợp số

Chúng ta sẽ thảo luận về số nguyên tố chi tiết hơn trong mô-đun sau, Số nguyên tố và Thừa số nguyên tố. Định nghĩa thông thường của một số nguyên tố thể hiện chính xác điều tương tự về các yếu tố

Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1 chỉ có ước là chính nó và 1
Hợp số là số nguyên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố

Đây là các mảng hình chữ nhật duy nhất có thể có cho bốn số nguyên tố đầu tiên

bài tập 5

aVẽ tất cả các mảng hình chữ nhật có thể có cho các số từ 1 đến 12, bao gồm bất kỳ mảng ba chiều nào và xác định các phép chia thừa tương ứng. Trong các số này, số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số, số nào chính phương và số nào chẵn?
bLiệt kê tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn 50. Bao nhiêu trong số này là số chẵn?
cXác định tất cả các mảng hai chiều và ba chiều cho 36.
dVẽ tất cả các mảng hình chữ nhật cho 16, bao gồm cả mảng ba chiều.
eNếu bạn có bốn chiều tùy ý, bạn sẽ vẽ mảng nào?
fSố nhỏ nhất lớn hơn 1 vừa là số vuông vừa là số lập phương là gì?eeeeeeeeeeeeeeeee
What are the side lengths of the corresponding arrays?
gWhy is a manufacturer more likely to pack his goods in packets of 30 than in packets of 29 or 31?

BÀI TẬP 6

Chứng minh rằng khi bỏ đường chéo của mảng hình vuông thì số chấm còn lại là số chẵn.
bNếu một số bị trừ khỏi bình phương của nó thì số còn lại là bao nhiêu?

BÀI TẬP 7

Chứng minh rằng trong một mảng hình vuông bất kỳ, số chấm ở bên ngoài mảng
là bội số của 4.
bTừ đó chứng minh hiệu của hai bình phương chẵn chia hết cho 4, hiệu của hai bình phương lẻ chia hết cho 4.

số tam giác

Mảng hình chữ nhật không phải là cách duy nhất mà các số có thể được biểu diễn một cách hữu ích bằng các mẫu dấu chấm

Số tam giác là số có thể biểu diễn dưới dạng mảng tam giác, trong đó mỗi hàng có nhiều hơn hàng trên một chấm

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Do đó, một vài số tam giác đầu tiên là. 1, 3, 6, 10, 15, 21,…

BÀI TẬP 8

aGiải thích quy luật khác biệt giữa các số tam giác liên tiếp.
bTừ đó viết ra 20 số tam giác đầu tiên.
cXác định và giải thích quy luật về số chẵn và số lẻ trong dãy số này.

BÀI TẬP 9

Trong sơ đồ bên phải, hai bản sao của số hình tam giác thứ tư đã được ghép với nhau để tạo thành một hình chữ nhật

Giải thích cách tính toán từ sơ đồ này rằng số tam giác thứ 4 là 10. Từ đó tính số tam giác thứ 100

Bội số, bội số chung và LCM

Bội số của một số chẳng hạn như 6 là tích của 6 và bất kỳ số nguyên nào

Ta có thể sắp xếp các bội số của 6 theo thứ tự tăng dần,

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96,…

để chúng tạo thành một mẫu đơn giản tăng thêm 6 ở mỗi bước

Vì 6 là số chẵn nên các bội của nó đều là số chẵn. Tuy nhiên, các bội số của một số lẻ như 7, xen kẽ chẵn, lẻ, chẵn, lẻ, chẵn,… bởi vì chúng ta đang thêm số lẻ 7 ở mỗi bước

Số 0 là bội số của mọi số. Do đó, từ 'bội số' đôi khi được sử dụng theo nghĩa 'bội số khác không', nhưng chúng tôi sẽ luôn thêm từ 'khác không' khi 0 bị loại trừ

Các bội số của số không đều bằng không. Mọi số nguyên khác đều có vô số bội. Cụm từ 'vô hạn nhiều' này có ý nghĩa rất chính xác - cho dù bạn viết ra bao nhiêu bội số, thì luôn có một bội số khác mà bạn chưa viết ra

Chúng ta có thể minh họa bội số của một số bằng cách sử dụng mảng có ba cột và số hàng tăng dần. Đây là một vài bội số đầu tiên của 3

Có thể hoán đổi hàng và cột. Do đó, bội số của 3 cũng có thể được minh họa bằng cách sử dụng các mảng có ba hàng và số lượng cột tăng dần

Phân công

Mẫu lặp lại của các bội chung giúp ích rất nhiều trong việc hiểu phép chia.
Đây lại là bội số của 6,

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96,…

Nếu chúng ta chia bất kỳ bội số nào trong số này cho 6, chúng ta sẽ nhận được một thương có phần còn lại bằng 0.
Ví dụ:

24 ÷ 6 = 4 và 30 ÷ 6 = 5

Để chia bất kỳ số nào khác, chẳng hạn như 29 cho 6, trước tiên chúng tôi xác định vị trí 29 giữa hai bội số của 6. Vì vậy, chúng tôi xác định vị trí 29 giữa 24 và 30. Vì 29 = 24 + 5 nên ta viết

29 ÷ 6 = 4 dư 5 hoặc 29 = 6 × 4 + 5

Lưu ý rằng phần còn lại luôn là một số nguyên nhỏ hơn 6, bởi vì bội số của 6 tăng lên 6 mỗi lần. Do đó với phép chia cho 6 chỉ có 6 số dư có thể,

0, 1, 2, 3, 4, 5

Kết quả này có dạng rất đơn giản khi chúng ta chia cho 2, vì chỉ có thể có các số dư là 0 và 1

Số chẵn chia cho 2 dư 0
Số lẻ chia cho 2 dư 1

Trong những năm sau này, khi học sinh đã trở nên tự tin hơn rất nhiều với đại số, những nhận xét về phép chia này có thể được viết ra rất chính xác trong cái được gọi là thuật toán phép chia.

Cho một số nguyên n [số bị chia] và một số nguyên khác 0 d [số chia], tồn tại các số nguyên q [thương] và r [số dư] duy nhất sao cho
n = dq + r và 0 £ r < d

Ví dụ, chúng ta thấy rằng 29 ÷ 6 = 4 dư 5 có nghĩa là

29 = 6 × 4 + 5and0 £ 5 < 6

BÀI TẬP 10

Bảng trên hiển thị tất cả các số nguyên được viết ra một cách có hệ thống trong 7 cột. Giả sử mỗi số trong bảng được chia cho 7 sẽ được thương và
số dư.

Kết quả của phép chia trong mỗi hàng có gì giống nhau?
bWhat is the same about the results of the division in each column?

BÀI TẬP 11

Chia 22 và 41 cho 6 dư 4 và 5. Tuy nhiên, khi tổng 63 của chúng được chia cho 6, phần còn lại là 3 và không phải là 4 + 5 = 9. Giải thích

Bội số chung và LCM

Một cách quan trọng để so sánh hai số là so sánh danh sách bội số của chúng. Hãy để chúng tôi viết ra một vài bội số đầu tiên của 4 và một vài bội số đầu tiên của 6 và so sánh hai danh sách

Các số xuất hiện trên cả hai danh sách đã được khoanh tròn và được gọi là bội số chung

Các bội chung của 6 và 8 là 0, 12, 24, 36, 48,…

Ngoài số 0 là bội chung của hai số bất kì, bội chung nhỏ nhất của 4 và 6 là 12

Các quy trình tương tự này có thể được thực hiện với bất kỳ tập hợp nào gồm hai hoặc nhiều số nguyên khác 0

Bội chung của hai hay nhiều số nguyên khác 0 là một số mà bội số của tất cả các số đó
Bội chung nhỏ nhất hoặc LCM của hai hay nhiều số nguyên là bội số chung nhỏ nhất của chúng, ngoại trừ 0

VÍ DỤ

aViết một số bội chung đầu tiên của 12 và 16. Do đó hãy viết ra một số bội chung đầu tiên của 12 và 16 và cho biết bội chung nhỏ nhất của chúng.
bViết một vài bội số đầu tiên của 24. Vậy hãy viết ra BCNN của 12, 16 và 24?
LCM của 12 và 15 là bao nhiêu?
dWhat is the LCM of 4, 6 and 9?

Solution

Các bội của 12 là 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144,…

Các bội của 16 là 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160,…

Do đó các bội chung của 12 và 16 là 48, 96, 144,… và BCNN của chúng là 48

bThe multiples of 24 are 0, 24, 48,… Hence the LCM of 12, 16 and 24 is 48.
cThe LCM of 12 and 15 is 60.
dThe LCM of 4, 6 and 9 is 36.

Hai hoặc nhiều số khác 0 luôn có bội chung — chỉ cần nhân các số với nhau. Nhưng tích của các số không nhất thiết phải là bội chung nhỏ nhất của chúng. Ví dụ: trong trường hợp trên của 4 và 6, một bội chung là 4 × 6 = 24, nhưng bội chung nhỏ nhất của chúng là 12

VÍ DỤ

aLCM của 9 và 10 là bao nhiêu?
bLCM của năm số nguyên tố đầu tiên là bao nhiêu?
cLCM của 6 và 24 là bao nhiêu
dWhat is the LCM of 1 and 14? What is the general situation illustrated here?

Dung dịch

aThe LCM of 9 and 10 is their product 90.
bThe LCM of 2, 3, 5, 7 and 11 is their product, which is 2310.
cBecause 24 is a multiple of 6, the LCM of 6 and 24 is 24.
dEvery number is a multiple of 1, so the LCM of 1 and 14 is 14.

bội chung là bội của LCM

Bạn sẽ nhận thấy rằng danh sách các bội chung của 4 và 6 thực ra là danh sách các bội của LCM 12 của chúng. Tương tự, danh sách các bội chung của 12 và 16 là danh sách các bội chung của chúng 48

Đây là kết quả chung, được thể hiện rõ nhất ở Lớp 7 bằng các ví dụ. Tuy nhiên, trong một bài tập ở cuối mô-đun, Số nguyên tố và phân tích thừa số nguyên tố, chúng tôi đã chỉ ra cách chứng minh kết quả bằng cách sử dụng phân tích thừa số nguyên tố

Chúng tôi sẽ có nhiều điều để nói về LCM sau khi HCF được giới thiệu

Thừa số, nhân tử chung và HCF

Ta nói rằng 6 là thừa số của 18 vì 18 có thể được phân tích thành tích 18 = 6 × 3

Điều này có thể được trình bày lại theo bội số của phần trước

Mệnh đề '6 là thừa số của 18' có nghĩa là '18 là bội số của 6. ’

Số 0 là bội số của mọi số nên mọi số đều là thừa số của 0. Mặt khác, số không là bội số duy nhất của số không, vì vậy số không là ước của không có số nào ngoại trừ số không. Những nhận xét khá kỳ quặc này tốt hơn là không nên nói ra, trừ khi học sinh khăng khăng. Chúng chắc chắn không nên trở thành một sự phân tâm khỏi các số nguyên khác 0 mà chúng ta muốn thảo luận

Tích của hai số nguyên khác 0 luôn lớn hơn hoặc bằng mỗi thừa số trong tích. Do đó các thừa số của một số khác 0 như 12 đều nhỏ hơn hoặc bằng 12. Do đó, trong khi một số nguyên dương có vô số bội số, thì nó chỉ có vô số ước

Con đường dài để tìm tất cả các thừa số của 12 là kiểm tra một cách có hệ thống tất cả các số nguyên nhỏ hơn 12 để xem chúng có đi vào 12 mà không có số dư hay không. Danh sách các thừa số của 12 là

1, 2, 3, 4, 6 và 12

Rất dễ bỏ qua các yếu tố bằng phương pháp này, tuy nhiên. Một cách hiệu quả hơn nhiều là tìm các cặp thừa số có tích bằng 12. Bắt đầu bằng cách kiểm tra tất cả các số nguyên 1, 2, … có thể là số nhỏ hơn trong một cặp thừa số với tích 12,

1, 2, 3,…

Chúng ta dừng ở 3 vì 42 = 16 lớn hơn 12 nên 4 không thể nhỏ hơn trong một cặp.
Bây giờ chúng ta cộng theo thứ tự ngược lại hệ số bù của mỗi cặp, nghĩa là 12 ÷ 3 = 4, 12 ÷ 2 = 6 và 12 ÷ 1 = 12,

Chúng ta có thể hiển thị các cặp thừa số này bằng cách viết 12 dấu chấm vào tất cả các mảng hình chữ nhật có thể

Đối với số lớn hơn, chẳng hạn như 60, phương pháp được đề xuất ở đây có các bước sau

Kiểm tra xem mỗi số tự nhiên 1, 2, 3,… có phải là ước của 60 không
Tiếp tục kiểm tra đến 7, vì 82 = 64 lớn hơn 60
Sau đó viết ra từng yếu tố bổ sung theo thứ tự ngược lại

Do đó các thừa số của 60 là

BÀI TẬP 12

Sử dụng phương pháp này để viết tất cả các thừa số của 72 và 160

Các yếu tố phổ biến và HCF

Một cách quan trọng khác để so sánh hai số là so sánh danh sách thừa số của chúng.
Chúng ta hãy viết ra danh sách các thừa số của 18 và 30 và so sánh các danh sách.

Các số xuất hiện trong cả hai danh sách đã được khoanh tròn và được gọi là ước chung

Các thừa số chung của 18 và 30 là 1, 2, 3 và 6

Ước chung lớn nhất là 6

Như với các bội số chung, các thủ tục này có thể được thực hiện với bất kỳ danh sách nào gồm hai hoặc nhiều số nguyên

Nhân tử chung của hai hay nhiều số nguyên là một số nguyên là ước của tất cả các số đó
Thừa số chung cao nhất hay HCF của hai hay nhiều số nguyên là ước lớn nhất trong các thừa số chung này

HCF còn được gọi là 'ước số chung lớn nhất', với các chữ cái đầu tương ứng là GCD

VÍ DỤ

aViết các thừa số của 30 và 75. Do đó hãy viết ra các ước chung
của 30 và 75, và ước chung lớn nhất của chúng.
bViết các thừa số của 45. Do đó viết HCF của 30, 75 và 45.
HCF của 60, 80, 90 và 100 là gì?
i HCF của 82 và 102 là gì?

Dung dịch

aThe factors of 30 are 1, 30, 2, 15, 3, 10, 5, 6.
The factors of 75 are 1, 75, 3, 25, 5, 15.
Hence the common factors of 30 and 75 are 1, 3, 5, 15, and their HCF is 15.
bThe factors of 45 are 1, 3, 5, 9, 15, 45.
cHence the HCF of 30, 75 and 45 is 15.
dThe HCF of 60, 80, 90 and 100 is 10.
eThe HCF of 82 and 102 is 22.

Mọi tập hợp các số nguyên luôn có ước chung là 1. Câu hỏi đặt ra là các số có ước chung lớn hơn 1 hay không?

Mọi số nguyên đều là thừa số của 0, vì vậy các thừa số chung của 0 và giả sử 12 chỉ là thừa số của 12 và HCF của 0 và 12 là 12. Một số nguyên khác 0 chỉ có hữu hạn ước số nên nó có ước số lớn nhất. Hai hoặc nhiều số luôn có HCF vì ít nhất một trong số chúng khác không. Đây là những điều gây xao nhãng khỏi những ý chính

VÍ DỤ

aHCF của 6 và 24 là bao nhiêu? .
bWhat is the HCF of 1 and 14? What is the general situation illustrated here?
cWhat is the HCF of 21 and 10? Find three other pairs of composite numbers with the same HCF.
dHCF của 0 và 15 là bao nhiêu?

Dung dịch

aBecause 6 is a factor of 24, the HCF of 6 and 24 is 6.
bThe only factor of 1 is 1, so the HCF of 1 and 14 is 1.
cThe HCF of 21 and 10 is 1. Some other pairs of composite numbers with HCF 1 are 4 & 9, 16 & 25, 22 & 35, 14 & 15, 12 & 55.
dAll the factors of 15 are also factors of 0, so the HCF of 0 and 15 is 15.

Các yếu tố phổ biến là các yếu tố của HCF

Bạn sẽ nhận thấy rằng danh sách các thừa số chung của 18 và 30 thực ra là danh sách các thừa số của HCF 6 của chúng. Tương tự, danh sách các ước chung của 30 và 75 là danh sách các thừa số của HCF 15 của chúng

Một lần nữa, đây là kết quả chung, được thể hiện rõ nhất ở Lớp 7 bằng các ví dụ. Một bài tập ở cuối mô-đun Số nguyên tố và Phân tích thừa số nguyên tố chỉ ra cách chứng minh kết quả bằng cách sử dụng phân tích thừa số nguyên tố

Hai mối quan hệ giữa HCF và LCM

Hai mối quan hệ dưới đây giữa HCF và LCM một lần nữa được minh họa rõ nhất bằng các ví dụ ở Lớp 7, nhưng một bài tập trong học phần Số nguyên tố và Thừa số nguyên tố chỉ ra cách chứng minh chúng

Mối quan hệ đầu tiên cực kỳ hữu ích và được sử dụng thường xuyên khi làm việc với các mẫu số chung của phân số

Nếu HCF của hai số là 1 thì LCM của chúng là tích của chúng

Điều ngược lại cũng đúng, mặc dù nó không xảy ra thường xuyên.

Ví dụ,

Số 4 và số 9 có HCF 1, còn LCM của chúng là tích của chúng 36

Các số 6 và 7 có HCF 1 và LCM của chúng là sản phẩm của chúng 42

VÍ DỤ

Tìm HCF và LCM của 21 và 10.
Tìm HCF và LCM của 14 và 15.

Dung dịch

aThe HCF of 21 and 10 is 1, and their LCM is their product 210.
bThe HCF of 28 and 15 is 1, and their LCM is their product 420.

Mối quan hệ thứ hai không quá rõ ràng và cần được đưa ra bằng các ví dụ

Tích của HCF và BCNN của hai số nguyên khác 0 là tích của các số

Ví dụ: số 4 và số 6 có HCF 2 và LCM 12 và 2 × 12 = 4 × 6

VÍ DỤ

Xác nhận mối quan hệ này cho

a10 và 15b12 và 9c40 và 10

Dung dịch

aCác số 10 và 15 có HCF 5 và LCM 30, và 10 × 15 = 5 × 30.
bCác số 12 và 9 có HCF 3 và LCM 36, và 12 × 9 = 3 × 36.
cCác số 40 và 10 có HCF 10 và LCM 40, và 10 × 40 = 40 × 10.

Ví dụ ba phần dưới đây chỉ ra cách chứng minh mối quan hệ này từ mối quan hệ trên, mặc dù cách chứng minh như vậy sẽ không phù hợp với hầu hết học sinh Lớp 7

BÀI TẬP 13

Tìm HCF và LCM của 12 và 20, đồng thời chỉ ra rằng LCM × HCF = 12 × 20.
bChứng minh rằng khi mỗi số 12 và 20 chia cho HCF của chúng thì HCF của các số kết quả là 1.
cChứng minh rằng khi chia LCM cho 12 và cho 20 thì HCF của các số
kết quả là 1.

quyền hạn

Khi chúng ta nhân một số với chính nó, chúng ta thường sử dụng một ký hiệu ngắn gọn hơn,

3 = 313 × 3 = 32[đọc là '3 bình phương']3 × 3 × 3 = 33[đọc là '3 lập phương']3 × 3 × 3 × 3 = 34[đọc là '3 mũ 4' hoặc

Biểu thức 35 được gọi là lũy thừa của 3
5 trong 35 được nâng lên được gọi là chỉ số sức mạnh
Số 3 trong 35 được gọi là cơ số của lũy thừa

Thuật ngữ '3 bình phương' cho 32 và '3 lập phương' cho 33 đến từ hình học. Như chúng ta đã thấy trước đó trong mô-đun, chúng ta có thể sắp xếp 32 chấm trong một hình vuông và 33 chấm trong một hình lập phương

3233

Các số 02 = 0, 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9… gọi là các số bình phương
Các số 03 = 0, 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27… được gọi là lập phương

Như đã đề cập trước đó, không có biểu diễn hình học đơn giản nào của
lũy thừa cao hơn.

bài tập 14

a Viết 16 ô vuông đầu tiên, bắt đầu từ 02 = 0.
b Viết 13 khối lập phương đầu tiên, bắt đầu từ 03 = 0.

bài tập 15

aSố nhỏ nhất có thể viết dưới dạng tổng của hai bình phương theo hai cách khác nhau là bao nhiêu?
bSố nhỏ nhất có thể viết dưới dạng tổng của hai bình phương khác 0 là bao nhiêu? . Cho thấy làm thế nào điều này có thể được thực hiện. [Nhận xét này đã trở nên nổi tiếng nhờ cuộc trò chuyện giữa nhà toán học Ấn Độ Ramanujan và nhà toán học người Anh Hardy. Xem Wikipedia để biết chi tiết. ]
in two distinct ways?
cWhat is the smallest number that can be written as the sum of two distinct nonzero squares in two distinct ways?
dThe number 1729 is the smallest number that can be written as the sum of two cubes in two distinct ways. Show how this can be done. [This observation has become famous because of a conversation between the Indian mathematician Ramanujan and the English mathematician Hardy. See Wikipedia for the details.]

bài tập 16

Cộng các số lẻ liên tiếp sẽ được các ô vuông liên tiếp

1 = 11 + 3 = 41 + 3 + 5 = 91 + 3 + 5 + 7 = 161 + 3 + 5 + 7 + 9 = 251 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36…

Phân tích một mảng vuông gồm 25 chấm để cho biết tại sao điều này lại xảy ra

bài tập 17

[Một hoạt động thử thách khá khó] Cộng các hình lập phương liên tiếp sẽ được bình phương của các số tam giác

13= 1 = 1213 + 23= 9 = 3213 + 23 + 33= 36 = 6213 + 23 + 33 + 43= 100 = 10213 + 23 + 33 + 43 + 53= 225 = 152a Tập hợp một số lớn .
b Place the stack of 13 = 1 blocks on the table, then dismantle the 23 = 8 stack and reassemble it systematically around the 13 = 1 stack to produce a square 3 × 3 array.
c Tháo ngăn xếp 33 = 27 và lắp ráp lại một cách có hệ thống xung quanh mảng 3 × 3 để tạo ra mảng 6 × 6 hình vuông.
Giải thích cách mẫu tiếp tục hoạt động.

lũy thừa liên tiếp của một số

Lũy thừa của các số được sử dụng rộng rãi sau này trong nghiên cứu về logarit và tổ hợp. Thật hữu ích khi có thể tính toán hoặc ghi nhớ một số lũy thừa nhỏ hơn một cách nhanh chóng và nhận ra chúng

lũy thừa của 2 là. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192,…

lũy thừa của 3 là. 3, 9, 27, 81, 243, 729,…

Lũy thừa của 4 là lũy thừa mỗi giây của 2

lũy thừa của 5 là. 5, 25, 125, 625, 3125,…

lũy thừa của 6 là. 6, 36, 216,…

lũy thừa của 7 là. 7, 49, 343,…

Lũy thừa của 8 là mọi lũy thừa thứ ba của 2

Lũy thừa của 9 là lũy thừa mỗi giây của 3

lũy thừa của 10 là. 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000,…

Lũy thừa của 16 là mọi lũy thừa thứ tư của 2

Hệ thống giá trị theo vị trí cơ sở 10 của chúng tôi hiển thị mọi số dưới dạng tổng của bội số lũy thừa của 10

Máy tính sử dụng hệ thống giá trị vị trí cơ số 2, vì vậy người lập trình máy tính cần biết lũy thừa của 2 và phải có khả năng chuyển đổi số nhanh chóng thành tổng lũy thừa của 2

bài tập 18

Viết 201 dưới dạng tổng các lũy thừa của 2. Do đó viết 201 trong ký hiệu cơ số 2

Kiểm tra tính chia hết

Có một số phép thử đơn giản về tính chia hết, rất hữu ích khi phân tích các số. Tất cả chúng đều có nguồn gốc từ cơ số 10 mà chúng tôi sử dụng cho hệ thống chữ số của chúng tôi

Chia hết cho lũy thừa của 2 và lũy thừa của 5

Các phép thử tính chia hết cho lũy thừa của 2 và 5 xuất phát từ thực tế là 10 = 2 × 5

Vì 10 là bội của 2 nên mọi bội của 10 đều là bội của 2. Như vậy để kiểm tra một số có chia hết cho 2 hay không ta chỉ cần nhìn vào chữ số tận cùng

Một số chia hết cho 2 nếu chữ số tận cùng của nó là 0, 2, 4, 6 hoặc 8

Tương tự, 10 là bội số của 5 nên mọi bội số của 10 đều là bội số của 5. Như vậy để kiểm tra một số có chia hết cho 5 hay không ta chỉ cần nhìn vào chữ số tận cùng

Một số chia hết cho 5 nếu chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5

Ví dụ

Số 864 có tận cùng là 4 nên chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5

Số 1395 có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2

Số 74 830 có tận cùng là 0 nên chia hết cho 2 và 5

Các bình phương 22 = 4 và 52 = 25 là thừa số của 100, vì vậy mọi bội số của 100 là bội số của 4 và 25. Vậy để kiểm tra số chia hết cho 4 và 25 ta chỉ cần xét hai chữ số tận cùng

Một số chia hết cho 4 nếu số tạo bởi hai chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4
Một số chia hết cho 25 nếu số tạo bởi hai chữ số tận cùng của nó chia hết cho 25

Tương tự, 23 = 8 và 53 = 125 là thừa số của 1000, vì vậy

Một số chia hết cho 8 nếu số tạo bởi ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8
Một số chia hết cho 125 nếu số tạo bởi ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 125

Các thử nghiệm này có thể được tiếp tục cho các lũy thừa cao hơn của 2 và 5

Ví dụ

aTest 6 945 732 chia hết cho 2, 4, 8,…
bTest 5 671 625 chia hết cho 5, 25, 125,…

Dung dịch

aThe number 6 945 732 is divisible by 4 [and hence also by 2] because 32 is divisible by 4, but it is not divisible by 8 because 732 is not divisible by 8.
bThe number 5 671 625 is divisible by 125 [and hence also by 25 and 5] because 625 is divisible by 125, but it is not divisible by 54 = 625 because 1625 is not divisible by 625.

Chia hết cho 9 và 3

Các phép thử chia hết cho 9 và chia hết cho 3 xuất phát từ thực tế là 9 là 1 nhỏ hơn 10

Khi chia 1 hoặc bất kỳ lũy thừa nào của 10 cho 9 thì dư 1. Ví dụ,

1 ÷ 9= 0 dư 110 ÷ 9= 1 dư 1100 ÷ 9= 11 dư 11000 ÷ 9= 111 dư 1

Nhân mỗi số với một số có một chữ số nhỏ hơn 9,

4 ÷ 9= 0 dư 450 ÷ 9= 5 dư 5200 ÷ 9= 22 dư 29000 ÷ 9= 999 dư 9;

Số dư khi 9254 chia cho 9 bằng số dư khi
9 + 2 + 5 + 4 = 20 chia cho 9. Kết quả chung là

Khi một số và tổng các chữ số của nó đều chia hết cho 9 thì các số dư
bằng nhau.

Vì 9 là bội số của 3 nên các số dư sau khi chia cho 3 cũng có quy luật tương tự,

4 và 4 có cùng số dư sau khi chia cho 3

50 và 5 có cùng số dư sau khi chia cho 3

200 và 2 có cùng số dư sau khi chia cho 3

9000 và 9 có cùng số dư sau khi chia cho 3

Cộng các kết quả này, 9254 và 9 + 2 + 5 + 4 = 20 có cùng số dư khi chia cho 3. Kết quả chung là

Khi một số và tổng các chữ số của nó cùng chia cho 3 thì các số dư bằng nhau

Ví dụ,

167 ÷ 9 = 18 dư 5 và 167 ÷ 3 = 55 dư 2[1 + 6 + 7] ÷ 9 = 1 dư 5[1 + 6 + 7] ÷ 3 = 4 dư 2

Ví dụ

Tìm số dư khi 62 574 chia cho 9 và 3

Dung dịch

Tổng các chữ số là 6 + 2 + 5 + 7 + 4 = 24 và 2 + 4 = 6.
Vậy 62 574 chia cho 9 dư 6, chia cho 3 dư 0.

Tuy nhiên, với hầu hết học sinh Lớp 7−8, chỉ các bài kiểm tra chia hết tương ứng
là phù hợp.

Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 9
Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3

Ví dụ

Kiểm tra tính chia hết cho 3 và cho 9

a71 325 618b36 867 924

Dung dịch

aTổng các chữ số là 7 + 1 + 3 + 2 + 5 + 6 + 1 + 8 = 33 và 3 + 3 = 6.
Vậy 71 325 618 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
bTổng các chữ số là 3 + 6 + 8 + 6 + 7 + 9 + 2 + 4 = 45 và 4 + 5 = 9.
Vậy 36 867 924 chia hết cho 3 và 9.

Chia hết cho 11

Kiểm tra tính chia hết cho 11 phát sinh từ thực tế là 11 lớn hơn 10, nhưng 9 × 11 = 99 là 1 nhỏ hơn 100

Khi 1 hoặc bất kỳ lũy thừa nào của 10 được chia cho 11, phần còn lại lần lượt là 1 và 10, nhưng chúng ta sẽ coi phần còn lại 10 là phần còn lại -1

1 ÷ 11= 0 dư 110 ÷ 11= 0 dư 10;

Nhân mỗi kết quả với một số có một chữ số,

4 ÷ 11 lá còn lại 420 ÷ 11 lá còn lại −5500 ÷ 11 lá còn lại 23000 ÷ 11 lá còn lại −990 000 ÷ 11 lá còn lại 3800 000 ÷ 11 lá còn lại −8

Cộng các kết quả này, phần dư khi 893 524 chia cho 11 sẽ bằng với phần dư khi 4 − 2 + 5 − 3 + 9 − 8 = 7 chia cho 9. Điều quan trọng ở đây là viết tổng xen kẽ các chữ số bắt đầu từ tận cùng bên phải với hàng đơn vị. Kết quả chung là,

Khi một số được chia cho 11, phần dư giống như phép chia cho 11 của tổng các chữ số xen kẽ, bắt đầu từ tận cùng bên phải của các chữ số

Ví dụ,

91 627 ÷ 11 = 8329 dư 8 và [7 − 2 + 6 − 1 + 9] ÷ 11 = 1 dư 8

Ví dụ

Tìm số dư sau khi chia cho 11 của

a62 578b937 565

Dung dịch

aTổng xen kẽ của các chữ số là 8 − 7 + 5 − 2 + 6 = 10. Vậy 62 578 chia cho 11 dư 10.
bTổng xen kẽ của các chữ số là 5 − 6 + 5 − 7 + 3 − 9 = −9. Do đó 937 565 có dư 11 − 9 = 2 khi chia cho 11.

Như với 3 và 9, thường chỉ có bài kiểm tra chia hết tương ứng là phù hợp ở Lớp 7−8

Một số chia hết cho 11 nếu tổng các chữ số xen kẽ của nó chia hết cho 11

Ví dụ

Kiểm tra tính chia hết cho 11

a71 325 618b71 938 471

Dung dịch

aTổng xen kẽ của các chữ số là 8 − 1 + 6 − 5 + 2 − 3 + 1 − 7 = 1.
Vậy 71 325 618 không chia hết cho 11.
bTổng xen kẽ của các chữ số là 1 − 7 + 4 − 8 + 3 − 9 + 1 − 7 = −22.
Vậy 71 938 471 chia hết cho 11.

Tính chất chia hết cho số không phải là lũy thừa nguyên tố

Chúng ta có thể kết hợp các phép thử trước về tính chia hết bằng cách kiểm tra riêng tính chia hết cho lũy thừa cao nhất của mỗi số nguyên tố. Dưới đây là ví dụ về một số thử nghiệm như vậy

Một số chia hết cho 6 = 2 × 3 nếu nó chia hết cho 2 và 3
Một số chia hết cho 12 = 4 × 3 nếu nó chia hết cho 4 và 3
Một số chia hết cho 15 = 3 × 5 nếu nó chia hết cho 3 và 5
Một số chia hết cho 18 = 2 × 9 nếu nó chia hết cho 2 và 9
Một số chia hết cho 66 = 2 × 3 × 11 nếu nó chia hết cho 2, 3 và 11

Phép chia hết cho lũy thừa của 10 đặc biệt đơn giản—chỉ cần đếm số chữ số 0

Ví dụ

aTest 726 về tính chia hết cho 6, 12 và 18.
bTest 6875 chia hết cho 55 và 275.

Dung dịch

aTính tổng ba ước số, 6 = 2 × 3, 12 = 4 × 3 và 18 = 2 × 9. Bằng cách nhìn vào chữ số cuối cùng và hai chữ số cuối cùng, 726 chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho 4

Tổng các chữ số là 15 nên 726 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Do đó 726 chia hết cho 6 nhưng không chia hết cho 12 hoặc 18.

bFactoring the two divisors, 55 = 5 × 11 and 275 = 25 × 11. By looking at the last digit and the last two digits, 6875 is divisible by 5 and by 25.
cThe alternating sum of the digits is 5 − 7 + 8 − 6 = 0, so 6875 is divisible by 11.
Hence 6875 is divisible by 55 and by 275.

bảng cửu chương

Bảng cửu chương là một trong những đối tượng nổi tiếng nhất trong số học. Nó được hình thành bằng cách viết ra mười hai bội số khác không đầu tiên của mỗi số từ 1 đến 12 trong mười hai hàng liên tiếp. [Hoặc có lẽ chúng được viết thành mười hai cột liên tiếp. ]

Mặc dù cấu trúc đơn giản, nhưng nó thực sự là một đối tượng rất mạnh mẽ và chứng minh rõ ràng khuyến nghị học thuộc lòng nó. Dưới đây là một số thuộc tính của nó — sinh viên thường xuyên tìm thấy nhiều thuộc tính khác

Tất cả các sản phẩm từ 1×1 đến 12×12 đều có trong bảng. Đáp án của 9 × 7 là 63, nằm ở mục nhập ở hàng thứ 7 và cột thứ 9 [hoặc hàng thứ 9 và cột thứ 7]
Có thể tìm thấy LCM của hai số bất kỳ lên đến 12 từ bảng. LCM của 8 và 10 là 40, đây là mục chung đầu tiên trong hàng thứ 8 và thứ 10 [hoặc trong cột thứ 8 và thứ 10]
Các số trên đường chéo chính từ 1 ở trên cùng bên trái đến 144 ở dưới cùng bên phải là các ô vuông 1, 4, 9, 16,…
Toàn bộ bảng đối xứng qua đường chéo chính. Điều này minh họa thực tế là phép nhân có tính chất giao hoán, ví dụ, 7 × 9 = 9 × 7
Mô hình được hình thành bằng cách tô bóng tất cả các số chẵn là gì? . Ở trên, chúng ta đã thấy tất cả các bội số của các số chẵn đều bằng nhau như thế nào và các số lẻ và số chẵn xen kẽ nhau trong bội số của một số lẻ
Mô hình được hình thành bằng cách tô bóng tất cả các bội số của 3 là gì?

Học viên thường xuyên xem thêm nhiều mẫu trong bảng này. Bài tập sau đây đưa ra một số tính chất ít rõ ràng hơn, nhưng phần chứng minh được bỏ qua, vì chúng yêu cầu khá nghiêm túc về đại số. Một khi các dãy và dãy đang được nghiên cứu, có lẽ ở Lớp 11, bảng này rất đáng để xem lại vì nó có thể mang lại những hiểu biết sâu sắc về dãy và việc sử dụng đại số

bài tập 19

aDạng nào được tạo thành bằng cách tô đậm các số là bội số của 4?
bDạng nào được tạo thành bởi sự khác biệt giữa các số hạng liên tiếp
trên bất kỳ đường chéo nào . Những số nào sẽ xuất hiện khi chúng ta lấy 49 trừ từng số?
cNow take the opposite diagonal passing through the square 49 from top right
to bottom left. What numbers arise when we subtract each from 49?
Điều gì xảy ra với các đường chéo song song qua các hình vuông khác?

Luật chỉ số

Có năm luật hữu ích, được gọi chung là luật chỉ số, giúp chúng ta vận dụng quyền hạn. Ở giai đoạn này, chúng được thiết lập tốt nhất bằng các ví dụ và học bằng lời nói

Tuy nhiên, sau khi đại số đã được giới thiệu, chúng có thể được trình bày dưới dạng
công thức đại số quen thuộc hơn. Để tham khảo sau này, chúng được tóm tắt ở đây bằng lời nói
và bằng đại số.

Để nhân các lũy thừa cùng cơ số, hãy cộng các chỉ số.
am × an = am + n
Để chia lũy thừa cùng cơ số, hãy trừ các chỉ số.
am ÷ an = am − n
Để nâng lũy thừa thành lũy thừa, hãy nhân các chỉ số.
[am]n = amn
Lũy thừa của một tích là tích của các lũy thừa.
[ab]n = anbn
Lũy thừa của một thương là thương của các lũy thừa.
n =

Nhân lũy thừa cùng cơ số

Nếu chúng ta viết các lũy thừa dưới dạng các tích liên tục, chúng ta có thể nhanh chóng thấy điều gì đang xảy ra khi chúng ta nhân các lũy thừa có cùng cơ số

75 × 73 = [7 × 7 × 7 × 7 × 7] × [7 × 7 × 7] = 78

Có 5 + 3 = 8 thừa số 7 trong tích nên tích là 78

Để nhân các lũy thừa cùng cơ số, hãy cộng các chỉ số. Ví dụ:
75 × 73 = 78

Chia lũy thừa cùng cơ số

Chúng ta có thể sử dụng cách tiếp cận tương tự với chia lũy thừa có cùng cơ số

75 ÷ 73 = [7 × 7 × 7 × 7 × ] ÷ [7 × 7 × 7] = 72

Có 5 − 3 = 2 thừa số của 7 trong thương nên thương là 72

Để chia lũy thừa cùng cơ số, hãy trừ các chỉ số. Ví dụ:
75 ÷ 73 = 72

VÍ DỤ

Rút gọn từng biểu thức, để lại đáp án dưới dạng lũy thừa

a32 × 35b57 ÷ 53c109 ÷ 103d129 × 125 ÷ 122

Dung dịch

a32 × 35 = 37b57 ÷ 53 = 54c109 ÷ 103 = 106d129 × 125 ÷ 122 = 1212

Các ví dụ trên đã cẩn thận tránh các câu hỏi như 73 ÷ 75, trong đó số chia là lũy thừa cao hơn số bị chia. Những câu hỏi như vậy được viết tốt hơn dưới dạng phân số,

hoặc

= 7-2

Hình thức đầu tiên có thể được bảo hiểm sau khi các phân số đã được giới thiệu. Dạng thứ hai yêu cầu các chỉ số âm, thường được coi là hơi quá phức tạp đối với Lớp 7−8

Nâng cao quyền lực thành quyền lực

Chúng ta thường cần xử lý các biểu thức như [73]4 trong đó lũy thừa được nâng lên thành lũy thừa. Chỉ viết ra sức mạnh bên ngoài cho phép chúng tôi áp dụng pháp luật trước đó

[73]4= 73 × 73 × 73 × 73= 712

Có 3 × 4 thừa số của 7 trong biểu thức, vì vậy nó rút gọn thành 712

Để nâng lũy thừa thành lũy thừa, hãy nhân các chỉ số. Ví dụ,

[73]4 = 712

VÍ DỤ

Rút gọn từng biểu thức, để lại đáp án dưới dạng lũy thừa

a[65]7b[103]5c[42]3 × [43]2d[115]4 ÷ [116]3

Dung dịch

[65]7 = 635

[103]5 = 1015

[42]3 × [43]2 = 46 × 46 = 412

[115]4 ÷ [116]3 = 1120 ÷ 1118 = 112

Sức mạnh của một sản phẩm

Định luật thứ tư đề cập đến sức mạnh của một sản phẩm. Một lần nữa, chúng ta có thể viết ra sức mạnh

[2 × 3]4= [2 × 3] × [2 × 3] × [2 × 3] × [2 × 3]= [2 × 2 × 2 × 2] × [3 × 3 × 3 × 3]

Các bước này chủ yếu dựa vào thuộc tính bất kỳ thứ tự của phép nhân để tập hợp lại
4 thừa số của 2 và 4 thừa số của 3.

Lũy thừa của một tích là tích của các lũy thừa. Ví dụ,

[2 × 3]4 = 24 × 34

Ví dụ

Viết mỗi biểu thức không có dấu ngoặc, để lại câu trả lời trong ký hiệu chỉ mục

a [3 × 7]4b [8 × 12]6c [3 × 5]4 × [3 × 7]3d [5 × 7 × 9]6 ÷ [55]2

Dung dịch

a[3 × 7]4 = 34 × 74b[8 × 12]6 = 86 × 126c[3 × 5]4 × [3 × 7]3= 34 × 54 × 33 × 73d[5 × 7 × 9]16

Sức mạnh của một thương số

Luật chỉ số cuối cùng liên quan đến sức mạnh của một thương số. Thật vụng về khi xây dựng định luật này bằng cách sử dụng dấu chia, vì vậy ký hiệu phân số cho phép chia chỉ được sử dụng trong mô-đun này

Quá trình tương tự có thể được thực hiện với sức mạnh của bất kỳ phân số nào, đưa ra kết quả chung,

Lũy thừa của một thương là thương của các lũy thừa. Ví dụ,

VÍ DỤ

Đơn giản hóa từng biểu thức, đánh giá các sức mạnh kết quả

Dung dịch

Luật chỉ số và tính nhẩm

'Lũy thừa của một tích là tích của các lũy thừa' rất hữu ích trong tính nhẩm, cả xuôi và ngược. Ví dụ,

204= [2 × 10]432 × 125 = 25 × 53= 24 × 104= 22 × [2 × 5]3= 16 × 10 000và= 22 × 103= 160 000= 4 × 1000= 4000

Bởi vì hệ thống chữ số của chúng ta có cơ số 10, nên việc cô lập các lũy thừa của 10 luôn là một phương pháp hay. Trong ví dụ đầu tiên, chúng tôi phân tích 20 là 20 = 2 × 10. Trong ví dụ thứ hai, chúng tôi kết hợp thừa số 2 và thừa số 5 để tạo thành thừa số 10

bài tập 20

Chỉ ra cách tính toán các biểu thức này bằng cách sử dụng luật chỉ số để làm việc với lũy thừa 10

a30004b4 000 0003c625 × 8000d40003 × 503

Liên kết chuyển tiếp

HCF và LCM rất cần thiết cho việc nghiên cứu phân số, được giới thiệu trong học phần Phân số. Để biểu thị một phân số ở dạng đơn giản nhất, chúng tôi hủy bỏ HCF của tử số và mẫu số, đồng thời để cộng và trừ các phân số, chúng tôi thường sử dụng LCM của mẫu số của chúng làm mẫu số chung,

và

HCF của hai biểu thức đại số rất quan trọng trong phân tích. Bước đầu tiên trong việc phân tích thành nhân tử có hệ thống của một biểu thức là loại bỏ HCF của các số hạng

3ax2 − 6a2x = 3ax[x − 2a]

Thừa số bằng cách loại bỏ HCF lần đầu tiên được xem xét trong mô-đun Biểu thức đại số và được phát triển thêm trong mô-đun, Phủ định và Luật chỉ số

Số nguyên tố là khối xây dựng của tất cả các số nguyên khi chúng ta tách chúng ra bằng cách phân tích. Ví dụ: chúng ta có thể viết 60 dưới dạng tích của các số nguyên tố,

60 = 22 × 3 × 5

Mọi hợp số đều có một và chỉ một thừa số nguyên tố. Thừa số nguyên tố là mối quan tâm chính của mô-đun Primes và Prime Factorisation. Mô-đun này cũng cho thấy cách phân tích thừa số nguyên tố mang lại các cách tiếp cận có hệ thống hơn đối với các tính toán của HCF và LCM

Năm luật chỉ số đã được giới thiệu trong mô-đun hiện tại trong ngữ cảnh của các số nguyên, mặc dù nó đã được đề cập rằng luật thứ năm và một phát biểu rõ ràng hơn về luật thứ hai, yêu cầu các phân số. Các mô-đun, Phủ định và Luật chỉ số và Mở rộng đặc biệt và Phân số đại số mở rộng chúng thành các số hữu tỷ và cũng cung cấp cho chúng một công thức đại số, mặc dù các chỉ số vẫn chỉ là các số nguyên khác không. Mô-đun sau Luật chỉ số mở rộng các chỉ số thành bất kỳ số hữu tỷ nào

Việc trình bày trong học phần này được thực hiện theo phương pháp số học và hoàn toàn trong phạm vi số nguyên. Chưa có đại số hay phân số ngoại trừ thỉnh thoảng nhận xét và bài tập mong nội dung sau. Các mảng, chứ không phải các vùng, đã được sử dụng để biểu diễn các sản phẩm, do đó có thể nhấn mạnh khía cạnh số nguyên của các ý tưởng. Điều quan trọng là trong những năm sau này, khi đại số đã được sử dụng để khái quát hóa nội dung, không làm mất đi trực giác số học của mô-đun hiện tại

Môn lịch sử

Tất cả các tài liệu hiện tại đã được giải thích bởi các nhà toán học Hy Lạp cổ đại. Ý tưởng biểu diễn các số bằng mảng được phát triển đặc biệt bởi Pythagoras và trường học của ông, những người đã phát triển các lý thuyết về cái mà ngày nay chúng ta gọi là 'số tượng hình'. Chúng bao gồm các số tam giác được thảo luận trong mô-đun này, các số ngũ giác và tứ diện

ĐÁP ÁN BÀI TẬP

Bài tập 2

Đây là 'lẻ trừ lẻ bằng chẵn'. Các trường hợp khác cũng tương tự như vậy

−

bài tập 3

Thương của một số chẵn và một số chẵn có thể là số chẵn hoặc số lẻ.
Ví dụ: 12 ÷ 6 = 2 và 12 ÷ 4 = 3.
Thương của một số chẵn và một số lẻ luôn là số chẵn.
Ví dụ: 12 ÷ 3 = 4.
c[Khi chia số lẻ cho số chẵn thì số dư không bao giờ bằng 0. ]
Thương của một số lẻ và một số lẻ luôn là số lẻ. Ví dụ:
35 ÷ 5 = 7.

Bài tập 4

Ngoài ra,

2a + 2b= 2[a + b][2a + 1] + 2b= 2[a + b] + 1[2a + 1] + [2b + 1]= 2[a + b + 1]

Để nhân,

[2a] × [2b]= 2 × 2ab[2a] × [2b + 1]= 2 × a[2b + 1][2a + 1] × [2b + 1]= 4ab + 2a + 2b + 1= 2

bài tập 5

tất cả các số đều có một mảng tầm thường.
Số 1 và các số nguyên tố 2, 3, 5, 7 và 11 mỗi số chỉ có một mảng tầm thường.
Các hợp số 4, 6, 8, 9, 12 có ít nhất một dãy khác.
Các số chẵn 2, 4, 6, 8, 10, 12 là các số có mảng 2 hàng.
Ô vuông 4 và 9 cũng có một mảng vuông.
Mỗi số 6 và 10 chỉ có một mảng hình chữ nhật không tầm thường.
Số 8 có mảng 3 chiều và mảng 2×4.
Số 12 có ba mảng hai chiều vì 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4 và cũng có mảng ba chiều 2 × 2 × 3.
b15 số nguyên tố nhỏ hơn 50 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
cCó 5 mảng hai chiều 36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6.
Có ba mảng ba chiều 36 = 2 × 2 × 9 = 2 × 3 × 6 = 3 × 3 × 4.
dCó 4 mảng 16 = 1 × 16 = 2 × 8 = 4 × 4 = 2 × 2 × 4. Nếu chúng ta có bốn chiều tùy ý, chúng ta có thể vẽ mảng tương ứng với 16 = 2 × 2 × 2 × 2.
Các câu trả lời khác nhau
Số nhỏ nhất lớn hơn 1 vừa là số chính phương vừa là số lập phương là 64 = 8 × 8 = 4 × 4 × 4.
Nếu sử dụng sáu chiều, chúng ta có thể vẽ mảng 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.
Có rất nhiều cách để sắp xếp 30 đối tượng theo mẫu hình chữ nhật hoặc khối ba chiều mà không lãng phí không gian. Các số 29 và 31 là số nguyên tố nên ngoại trừ việc đóng gói tất cả các mặt hàng thành một hàng, bất kỳ đóng gói thành một khối sẽ có các khoảng trống.

Bài tập 6

aCác chấm ở tam giác phía dưới bên trái của mảng hình vuông là hình phản chiếu của các chấm ở tam giác phía trên bên phải.
bNgay sau phần a, sự khác biệt là chẵn. Ngoài ra, bình phương của một số chẵn là số chẵn và bình phương của một số lẻ là số lẻ, và hiệu của hai số chẵn hoặc hai số lẻ là số chẵn.

Bài tập 7

aNếu mỗi cạnh của hình vuông có 7 chấm chẳng hạn, thì tổng số chấm là
6 + 6 + 6 + 6 = 4 × 6.
bLấy mảng lớn hơn trong hai mảng và tiếp tục loại bỏ lớp bên ngoài của nó cho đến khi trở thành mảng nhỏ hơn. Ở mỗi bước, độ dài cạnh của mảng giảm đi 2 và số chấm bị loại bỏ là bội số của 4.

Bài tập 8

aSự khác biệt tăng thêm 1 mỗi lần, bởi vì mỗi hàng mới có thêm một dấu chấm.
b1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210,… . Tuy nhiên, khi một số chẵn được thêm vào, tổng sẽ là số chẵn hoặc số lẻ.
cTwo odds, then two evens, then two odds, then two evens,…
Every time an odd number is added, the sum changes from even to odd or from odd to even. When an even number is added, however, the sum either stays even or stays odd.

Bài tập 9

Biểu đồ cho thấy số tam giác thứ 4 là [4 × 5] ÷ 2 = 10

Tương tự, số tam giác thứ 100 là [100 × 101] ÷ 2 = 5050

bài tập 10

tất cả các số trừ số cuối cùng trong hàng có cùng một thương số. Ví dụ: các mục ở hàng thứ 5 có thương số 4 khi chia cho 7.
bTất cả các số trong, ví dụ, cột thứ 5 có dư 5 khi chia cho 7.

Bài tập 11

Số dư khi 22 và 41 chia cho 6 là 4 và 5 có tổng bằng 9.
Nhưng 9 = 6 + 3 nên khi chia 63 cho 6 thì dư 3.

bài tập 12

Các thừa số của 72 là 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Các thừa số của 160 là 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32 40, 80, 160

bài tập 13

aCác số 12 và 20 có HCF 4 và LCM 60, và 4 × 60 = 12 × 20.
bKhi 12 và 20 được chia cho HCF của chúng, tức là 4, các số kết quả là
3 và 5, và các số 3 và 5 có HCF 1.
cKhi LCM, là 60, chia cho 12 và 20, các số kết quả là
5 và 3, và các số 5 và 3 có HCF .

[Lưu ý rằng các số kết quả trong phần b và c giống nhau. ]

bài tập 14

a0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225,…
b0, 1

Exercise 15

a25 = 52 + 02 = 32 + 42.
b50 = 52 + 52 = 72 + 12.
c65 = 82 + 12 = 72 + 42.
d1729 = 123 + 13 = 103 + 93.

Bài tập 16

bài tập 18

201 = 128 + 64 + 8 + 1 = 27 + 26 + 23 + 1, vì vậy trong cơ số 2, 201 = 11 001 001

bài tập 19

Mọi hàng thứ tư và mọi cột thứ tư đều được tô bóng, cùng với các số ở chính giữa của các ô vuông còn lại.
bSự khác biệt dọc theo mỗi đường chéo song song với đường chéo chính tăng thêm 2
mỗi lần.
cSự khác biệt so với 49 là.

12 khi cách 1 bước, 22 khi cách 2 bước, 32 khi cách 3 bước,…

Ví dụ, mô hình khác biệt tương tự xảy ra dọc theo mỗi đường chéo song song qua một hình vuông,

4 × 6 = 52 − 12, 3 × 7 = 52 − 22, 2 × 8 = 52 − 32, 1 × 9 = 52 − 42

bài tập 20

a30004= 34 × [103]4= 81 × 1012= 81 000 000 000 000b4 000 0003= 43 × [106]3= 64 × 1018= 64 000 000 000 000 000 000c625 × 800023= 5
= 200 0003
= 8 000 000 000 000 000

Dự án Cải thiện Giáo dục Toán học trong Trường học [TIMES] 2009-2011 được tài trợ bởi Bộ Giáo dục, Việc làm và Quan hệ Nơi làm việc của Chính phủ Úc

Các quan điểm thể hiện ở đây là của tác giả và không nhất thiết đại diện cho quan điểm của Bộ Giáo dục, Việc làm và Quan hệ Nơi làm việc của Chính phủ Úc

Bội chung của 3 và 5 là bội nào?

Bội chung của 3 và 5 lên đến 100 là gì?

bội số chung của 3 & 5 là gì?

Các bội số của 3 lên đến 100 là gì?

Bài Viết Liên Quan

Toplist mới

Bài mới nhất

Chủ Đề