Trang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên \[a\left[ a\ge 2 \right]\] sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn \[{{\left[ {{a}^{\log x}}+2 \right]}^{\log a}}=x-2?\]
Lời giải tham khảo:
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử TN THPT QG năm 2021 môn TOÁN
Đáp án đúng: A
Ta có: \[{{\left[ {{a}^{\log x}}+2 \right]}^{\log a}}=x-2\Leftrightarrow {{\left[ {{x}^{\log a}}+2 \right]}^{\log a}}=x-2\]
Đặt \[b=\log a\Leftrightarrow a={{10}^{b}}.\] Vì \[a\ge 2\Rightarrow b\ge \log 2>0.\]
Phương trình đã cho trở thành:
\[{{\left[ {{x}^{b}}+2 \right]}^{b}}=x-2\Leftrightarrow {{\left[ {{x}^{b}}+2 \right]}^{b}}+\left[ {{x}^{b}}+2 \right]={{x}^{b}}+x\left[ * \right].\]
Xét hàm số \[f\left[ t \right]={{t}^{b}}+t\] ta có \[f’\left[ t \right]=b{{t}^{b-1}}+1>0\Rightarrow \] Hàm số \[y=f\left[ t \right]\] đồng biến trên \[\mathbb{R}.\]
Do đó \[\left[ * \right]\Leftrightarrow {{x}^{b}}+2=x\Leftrightarrow {{x}^{\log a}}=x-2\left[ ** \right].\]
Với \[\log a\ge 1\] ta có đồ thị hàm số như sau:
⇒ Phương trình \[\left[ ** \right]\] vô nghiệm.
Với \[\log a
⇒ Phương trình \[\left[ ** \right]\] có nghiệm ⇒ Thỏa mãn.
\[\Rightarrow \log a
Vậy có 8 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
Có bao nhiêu số nguyên a [a≥ 2] sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn: [alog[x] + 2]log[a] = x - 2 ?
Các câu hỏi tương tự
- Toán lớp 12
- Ngữ văn lớp 12
- Tiếng Anh lớp 12
Chọn câu A
Điều kiện $x>0.$ Đặt $y={{a}^{\log x}}+2>0$ thì ${{y}^{\log a}}=x-2\Leftrightarrow {{a}^{\log y}}+2=x$.
Từ đó ta có hệ $\left\{ \begin{align} & y={{a}^{\log x}}+2 \\ & x={{a}^{\log y}}+2 \\ \end{align} \right.$ Do $a\ge 2$ nên hàm số $f[t]={{a}^{t}}+2$ là đồng biến trên $\mathbb{R}.$ Giả sử $x\ge y$ thì $f[ y ]\ge f[x]$ sẽ kéo theo $y\ge x,$ tức là phải có $x=y.$ Tương tự nếu $x\le y.$
Vì thế,ta đưa về xét phương trình $x={{a}^{\log x}}+2$ với $x>0$ hay $x-{{x}^{\log a}}=2$
Ta phải có $x>2$ và $x>{{x}^{\log a}}\Leftrightarrow 1>\log a\Leftrightarrow a