Công thức simpson tính thể tích

1. Hình lăng trụ

Định nghĩa:Hình lăng trụ là một đa diện gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song hoặc bằng nhau

Tính chất:Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

Thể tích:thể tích hình lăng trụ bằng diện tích của mặt đáy và khoảng cách giữa hai mặt đáy hoặc là chiều cao.

V = B.h

Trong đó:

B: diện tích mặt đáy của hình lăng trụ

H: chiều cao của của hình lăng trụ

V: thể tích hình lăng trụ

* Hình lăng trụ đứng

- Định nghĩa:Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

- Tính chất:

+ Hình lăng trụ đứng có tất cả cạnh bên vuông góc với hai đáy

+ Hình lăng trụ đứng có tất cả mặt bên là các hình chữ nhật.

2. Công thức tính nhanh tỉ số thể tích khối lăng trụ

Công thức 1: Khối lăng trụ tam giác

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ lấy lần lượt các điểm M, N, P. Khi đó ta có tỉ số sau:

Công thức 2: Khối lăng trụ đáy là hình bình hành [khối hộp]

Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho M, N. P, Q đồng phẳng. Khi đó ta có tỉ số sau:

3. Một số dạng lăng trụ đứng đặc biệt

a. Hình hộp đứng

- Định nghĩa:Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

- Tính chất:Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh là 4 hình chữ nhật.

b. Hình hộp chữ nhật

- Định nghĩa:Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

- Tính chất:Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.

+ Hình chữ nhật có 12 cạnh, 8 đỉnh và 6 mặt.

+ Các đường chéo có hai đầu mút là 2 đỉnh đối nhau của hình hộp chữ nhật đồng quy tại một điểm

+ Diện tích của hai mặt đối diện trong hình hộp chữ nhật bằng nhau

+ Chu vi của hai mặt đối diện trong hình hộp chữ nhật bằng nhau

Thể tích khối hộp chữ nhật: V =a.b.h

c. Hình lập phương

- Định nghĩa:Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là hình vuông.

- Tính chất:Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông.

+ Khối lập phương là hình đa diện đều loại {4; 3}. Các mặt là hình vuông, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt.

+ Khối lập phương có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.

Thể tích khối lập phương:V = a3

3. Hình lăng trụ đều

- Định nghĩa:Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

- Tính chất:

+ Hai đáy là hai đa giác đều bằng nhau do đó các cạnh đáy bằng nhau.

+ Cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

+ Các mặt bên là các hình chữ nhật.

- Ví dụ:Các lăng trụ đều thường gặp như là lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều, lăng trụ ngũ giác đều, hình lăng trụ lục giác đều, …

4. Lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều, lăng trụ ngũ giác đều, lăng trụ lục giác đều

Định nghĩa:

- Hình lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ có hai đáy là 2 hình tam giác đều.

- Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lăng trụ đều có đáy là hình vuông.

- Hình lăng trụ ngũ giác đều là hình lăng trụ đều có đáy là hình ngũ giác.

- Hình lăng trụ lục giác đều là hình lăng trụ đều có đáy là lục giác.

Hình lăng trụ tứ giác đềuHình lăng trụ ngũ giác đềuHình lăng trụ lục giác đều

Chú thích ${{V}_{1}}=$Thể tích cũ, ${{V}_{2}}=$Thể tích mới [dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy].

Kỹ thuật đổi đỉnh [đáy không đổi]

${{V}_{1}}={{V}_{2}}=\frac{1}{3}Bh.$

$\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{\frac{1}{3}.d\left[ A;\left[ P \right] \right].{{S}_{}}}{\frac{1}{3}.d\left[ B;\left[ P \right] \right].{{S}_{}}}=\frac{d\left[ A;\left[ P \right] \right]}{d\left[ B;\left[ P \right] \right]}=\frac{IB}{IA}.$

 Kỹ thuật chuyển đáy [đường cao không đổi]

$$;với ${{S}_{1}}$ là diện tích đáy cũ; ${{S}_{2}}$ là diện tích đáy mới

Chú ý:

1. Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng [thường thì đáy cũ chứa đáy mới]. Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy cũ và đáy mới.
2. Nếu tăng [hoặc giảm] mỗi cạnh của đa giác [tam giác, tứ giác], k lần thì diện tích đa giác sẽ tăng [hoặc giảm] ${{k}^{2}}$ lần.
3. Tỉ số đa giác hay gặp là tỉ số diện tích của hai tam giác.

$\frac{{{S}_{\Delta AMN}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{\frac{1}{2}.AM.AN.\sin A}{\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AC}.$

Tỉ số thể tích của khối chóp

1. Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác 

Công thức: $$

Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên trong nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.

 Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác

• Trường hợp đặc biệt: Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ [hoặc đa giác bất kỳ], mặt phẳng $\left[ P \right]$ song song với đáy cắt các cạnh bên $SA,SB,SC,SD$lần lượt tại ${A}',{B}',{C}',{D}'$.

Khi đó $$; với $\frac{S{A}'}{SA}.\frac{S{B}'}{SB}.\frac{S{C}'}{SC}=\frac{S{D}'}{SD}=k$.

Chú ý: Công thức trên đúng với đáy n giác. 

 Trường hợp đáy là hình bình hành [hay gặp]

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng $\left[ P \right]$ cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$lần lượt tại ${A}',{B}',{C}',{D}'$sao cho $\frac{S{A}'}{SA}=x;\frac{S{B}'}{SB}=y;\frac{S{C}'}{SC}=z;\frac{S{D}'}{SD}=t.$

Khi đó $$ và $$

Tỉ số thể tích của khối lăng trụ

þ  Kết quả 1:

Gọi V là thể tích khối lăng trụ, ${{V}_{1}}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, ${{V}_{2}}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: $$

Bài tập: Hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'\xrightarrow{{}}{{V}_{{A}'{B}'BC}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}};{{V}_{{A}'{B}'ABC}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$

 

þ   Kết quả 2:

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$. Mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$cắt các đường thẳng $A{A}',B{B}',C{C}'$lần lượt tại $M,N,P$ [tham khảo hình vẽ bên]. Tính tỉ số $\frac{{{V}_{ABC.MNP}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}$.

HD: Ta có ${{V}_{ABC.MNP}}={{V}_{M.ABC}}+{{V}_{A.BNPC}}$

Lại có ${{V}_{M.ABC}}=\frac{1}{3}.d\left[ M;\left[ ABC \right] \right].{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{AM}{A{A}'}.d\left[ {A}';\left[ ABC \right] \right].{{S}_{\Delta ABC}}$

$=\frac{1}{3}.\frac{AM}{A{A}'}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\xrightarrow[{}]{}{{V}_{M.ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{AM}{A{A}'}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$

Và ${{S}_{BNPC}}=\frac{h}{2}.\left[ BN+CP \right];$${{S}_{BC{C}'{B}'}}=\frac{h}{2}.\left[ B{B}'+C{C}' \right]=h.B{B}'$

$\Rightarrow \frac{{{S}_{BNPC}}}{{{S}_{BC{C}'{B}'}}}=\frac{\frac{h}{2}.\left[ BN+CP \right]}{h.B{B}'}=\frac{1}{2}\left[ \frac{BN+CP}{B{B}'} \right]=\frac{1}{2}\left[ \frac{BN}{B{B}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right].$

Suy ra ${{V}_{A.BNPC}}=\frac{1}{3}.d\left[ A;\left[ BC{C}'{B}' \right] \right].{{S}_{BNPC}}$

$=\frac{1}{3}.d\left[ A;\left[ BC{C}'{B}' \right] \right].\frac{1}{2}\left[ \frac{BN}{B{B}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right].{{S}_{BC{C}'{B}'}}=\frac{1}{2}\left[ \frac{BN}{B{B}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right].{{V}_{A.BC{C}'{B}'}}$

Mà ${{V}_{A.BC{C}'{B}'}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow {{V}_{A.BNPC}}=\frac{1}{3}.\left[ \frac{BN}{B{B}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right].{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$

Vậy ${{V}_{ABC.MNP}}=\frac{1}{3}.\frac{AM}{A{A}'}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}+\frac{1}{3}.\left[ \frac{BN}{B{B}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right].{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow \frac{{{V}_{ABC.MNP}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\frac{1}{3}\left[ \frac{AM}{A{A}'}+\frac{BN}{B{B}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right]$

Công thức tính nhanh $$ 

þ  Kết quả 1:

Gọi V là thể tích khối hộp, ${{V}_{1}}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp gồm hai đường chéo của hai mặt song song, ${{V}_{2}}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp ở các trường hợp còn lại. Khi đó: $$

Bài tập: Hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\xrightarrow{{}}{{V}_{{A}'C'BD}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}};{{V}_{{A}'{C}'{D}'D}}=\frac{1}{6}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$

 þ  Kết quả 2:

Cho hình lăng trụ tam giác $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$. Mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$cắt các đường thẳng $A{A}',B{B}',C{C}',D{D}'$lần lượt tại $M,N,P,Q$ [tham khảo hình vẽ bên].

Chứng minh rằng $\frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'}=\frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'}$

và $\frac{{{V}_{ABCD.MNPQ}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}=\frac{1}{2}\left[ \frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right]=\frac{1}{2}\left[ \frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'} \right]$

• Chứng minh $\frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'}=\frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'}$

Gọi I là tâm hình vuông ABCD; ${I}'$ là tâm hình vuông ${A}'{B}'{C}'{D}'$.

Ta có: $\frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'}=\frac{AM+PC}{A{A}'}=\frac{2OI}{A{A}'};$

$\frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'}=\frac{BN+DQ}{B{B}'}=\frac{2O{I}'}{B{B}'}\Rightarrow \frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'}=\frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'}.$

• Chứng minh $\frac{{{V}_{ABCD.MNPQ}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}=\frac{1}{2}\left[ \frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right]=\frac{1}{2}\left[ \frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'} \right]$

Chia khối đa diện $ABCD.MNPQ$thành hai khối đa diện $ABC.MNP$ và $ACD.MPQ$;

Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác;

Cộng thể tích hai khối đa diện $\Rightarrow \frac{{{V}_{ABC.MNP}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\frac{1}{4}\left[ \frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'}+\frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'} \right]$

Mà $\frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'}=\frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'}\Rightarrow \frac{{{V}_{ABCD.MNPQ}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}=\frac{1}{2}\left[ \frac{AM}{A{A}'}+\frac{CP}{C{C}'} \right]=\frac{1}{2}\left[ \frac{BN}{B{B}'}+\frac{DQ}{D{D}'} \right]$

Công thức tính nhanh

$$