Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là bài toán các bạn học sinh sẽ gặp trong các đề thi THPT Quốc gia. Để giúp học sinh ôn luyện thật tốt, Vuihoc mang đến cho bạn bài viết có đầy đủ lý thuyết và công thức về mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cùng các dạng bài tập ví dụ.
Khối đa diện đều có 6 mặt đều là các hình vuông bằng nhau, 12 cạnh bằng nhau và có 8 đỉnh, 3 cạnh gặp nhau tại 1 đỉnh và 4 đường chéo cắt nhau tại 1 điểm được gọi là hình lập phương.
Hình lập phương là hình có:
+ Đỉnh A, đỉnh C, đỉnh B, đỉnh E, đỉnh D, đỉnh F, đỉnh G, đỉnh H.
+ 6 mặt là hình vuông.
+ 12 cạnh bằng nhau: BD = AB = DC = CH = CA = AE = DG = BF = FG = FE = EH = HG.
Hình lập phương là hình có các tính chất sau:
-
Có 6 mặt phẳng đối xứng bằng nhau.
-
Có 12 cạnh bằng nhau.
-
Đường chéo các mặt bên đều bằng nhau.
-
Đường chéo khối lập phương bằng nhau.
2. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương
Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ta xác định như sau: Tâm mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng AC’ [là tâm đối xứng của hình lập phương].
3. Công thức tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương
Bán kính mặt cầu được tính là:
Bán kính R của mặt cầu = 1/2 độ dài đường chéo của hình lập phương/ hình hộp chữ nhật = $\frac{AC'}{2}$
Khi hình được cho là hình lập phương thì R = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
4. Công thức tính thể tích V khối cầu, diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương
Công thức mặt cầu ngoại tiếp gồm có tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu, được quy định như sau:
S = $4\pi R^{2}$
V=$\frac{4}{3}\pi a^{3}$
5. Công thức tính đường chéo của hình lập phương
Đường chéo hình lập phương tạo với các đường cao h thành 1 tam giác vuông.
Áp dụng định lý Pytago công thức tính đường chéo D là:
D =$\sqrt{d^{2}+a^{2}}$
Trong đó:
D: độ dài đường chéo
d: độ dài đường chéo 1 mặt
a: độ dài cạnh hình lập phương
6. Một số bài tập về mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương [kèm lời giải chi tiết]
Bài 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a có diện tích bằng bao nhiêu?
Giải
Bán kính R:
IA =$\frac{1}{2}\sqrt{AA'^{2}+A'D'^{2}+A'B'^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Diện tích S: S =$4\pi R^{2}=3\pi a^{2}$
Bài 2: Hình lập phương có cạnh bằng a. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp?
Giải:
Hình lập phương cạnh a có đường chéo bằng $a\sqrt{3}$.
Bán kính R =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Bài 3: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương biết hình lập phương có cạnh bằng a?
Giải:
Trung điểm của đường chéo AC’ có tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ và R = IA =$\frac{A'C'}{a\sqrt{2}}$
Khối lập phương có cạnh a nên AA’ = a, A’C’=$a\sqrt{2}$.
=> AC'=$\sqrt{AA'^{2}+A'C'^{2}}=\sqrt{a^{2}+[a\sqrt{2}]^{2}}=a\sqrt{3}$
Suy ra R =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy thể tích V =$\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}\pi $
Bài 4: Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA=$a\sqrt{3}$, SA ⊥ [ABCD].
Giải:
Bán kính R hình vuông ABCD là: R =$\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$
Do SA$\perp $[ABCD] nên SA $\perp $AB => tam giác SAB vuông tại A.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông SAB:
SB =$\sqrt{SA^{2}+AB^{2}}=2a$
Ta có SA $\perp $[ABCD] nên SA là đường cao h của hình chóp.
Áp dụng công thức tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD:
R =$\sqrt{\frac{h^{2}}{4}+r^{2}}=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}}=a$
S = $4\pi R^{2}=4\pi a^{2}$
Bài 5: Cho hình lập phương có cạnh bằng 2a. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp đó bằng bao nhiêu?
Giải:
Gọi l và Q lần lượt là tâm của hình lập phương và hình vuông ABCD.
AI là bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp.
Ta có: AO =$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=a\sqrt{2}.OI=a$
=> AI=$\sqrt{AO^{2}+OI^{2}}=a\sqrt{3}$
=> R=$\sqrt{3}a$
Trên đây bài viết đã tổng hợp đầy đủ toàn bộ kiến thức về mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương. Hy vọng rằng các em học sinh, đặc biệt là các bạn sĩ tử sẽ ôn tập và trang bị đầy đủ kiến thức hơn để ôn thi thật tốt. Truy cập nền tảng học online Vuihoc.vn và đăng ký các lớp ôn thi cấp tốc nhé!
>> Xem thêm: Toán 12: Lý thuyết phương trình mặt cầu và các dạng bài tập
Toán 12 | Ôn thi THPTQG môn Toán
180 clip bài giảng theo từng chủ đề, hơn 6700 bài tập bám sát chương trình ôn thi THPT QG, 20 đề ôn tập có video chữa cụ thể, 30 đề tự luyện, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi.
1.500.000₫
Chỉ còn 900.000 ₫
Chỉ còn 2 ngày
Phương pháp chung:
- Bước 1: Xác định tâm của đáy từ đó dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.
- Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực [P] của cạnh bên bất kì.
- Bước 3: Tâm của mặt cầu là giao điểm của d và [P].
Dạng 1: Hình chóp đều.
Gọi h là chiều cao của hình chóp, a là độ dài cạnh bên của hình chóp. Ta có $$R=\frac{a^{2}}{2h}.$$ |
Giải: Gọi O là tâm của tam giác ABC, suy ra $SO=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.
Tam giác SOA vuông tại O nên $SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a}{2}$.
Áp dụng công thức $R=\frac{7a}{12}$.
Bài tập áp dụng
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
=> Hướng dẫn giải
Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Gọi h, r là chiều cao và bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Ta có $$R=\sqrt{[\frac{h}{2}]^{2}+r^{2}}.$$ |
Giải: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
$r=AG=\frac{2}{3} AM= \frac{a \sqrt{3}}{3}$, h=SA=a.
Áp dụng công thức, ta có $R=\sqrt{[\frac{a}{2}]^{2}+[\frac{a \sqrt{3}}{3}]^{2}}=\frac{a \sqrt{21} }{6} $.
Bài tập áp dụng
Câu 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=2a, OC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=a và $\widehat{BAC}=120^{0}$. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy [ABC]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
=> Hướng dẫn giải
Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Gọi $R_{b}, R_{d}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy, GT là độ dài giao tuyến mặt bên đó và đáy. Ta có $$ R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}.$$ |
Giải: Giao tuyến của [SAB] với [ABCD] là AB.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=\frac{a \sqrt{2}}{2}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên $R=SG=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.
Áp dụng công thức $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}=\frac{a \sqrt{21}}{6}$.
Bài tập áp dụng:
Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=$a \sqrt{2}$. Cạnh bên $SA=a \sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc với mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Câu 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Mặt phẳng [SAB] vuông góc với đáy, SA=SB=2a, $\widehat{ASB}=120^{0}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
=> Hướng dẫn giải
Page 2
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra $SO \perp [ABCD]$.
$AO= \frac{AC}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}$
Xét tam giác SAO vuông tại O ta có $SO= \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a \sqrt{34}}{2}.$
Áp dụng công thức $R=\frac{SA^{2}}{2. SO}=\frac{9a \sqrt{34}}{34}$.