Đề bài
Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước, tìm hình chóp có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Kí hiệu cạnh đáy của hình chóp làa, chiều cao làh, thể tích khối chóp làV, diện tích toàn phần là Stpthì \[r = {{3V} \over {{S_{tp}}}}\], tức là \[{S_{tp}} = {{3V} \over r}\]. Vậy Stpnhỏ nhất khi và chỉ khiVnhỏ nhất.
Mặt khác, cũng từ hệ thức \[{S_{tp}} = {{3V} \over r}\], ta có hệ thức liên hệ giữaa, hvàrlà
\[\eqalign{ & r = {{ah} \over {a + \sqrt {{a^2} + 12{h^2}} }}\;\;\;\;[1] \cr & \left[ {V = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.h = {{\sqrt 3 } \over {12}}{a^2}.h} \right]. \cr} \]
GọiMlà trung diểm củaBCvà đặt \[\widehat {SMH}\] =\[\varphi \] [đó là góc giữamp[SBC]vàmp[ABC],cũng là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp]. Khi ấy
\[h = {{a\sqrt 3 } \over 6}\tan \varphi \;\;\;\;[2]\]
Thay [2] vào [1], ta có \[a = {{6r[\cos \varphi + 1]} \over {\sqrt 3 \sin \varphi }},\] từ đó thay vào [2], ta có \[h = {{r[\cos \varphi + 1]} \over {\cos \varphi }}\]
Suy ra \[{a^2} = 12{r^2}{{1 + \cos \varphi } \over {1 - \cos \varphi }},\]
Vậy
\[\eqalign{ V& = {{\sqrt 3 } \over {12}}.12{r^2}.{{1 + \cos \varphi } \over {1 - \cos \varphi }}.r.{{1 + \cos \varphi } \over {\cos \varphi }} \cr & = \sqrt 3 .{r^3}{{{{[1 + \cos \varphi ]}^2}} \over {{\rm{cos}}\varphi {\rm{[1 - cos}}\varphi {\rm{]}}}} = \sqrt 3 .{r^3}{{{{[1 + t]}^2}} \over {t[1 - t]}} \cr} \]
với \[0