Đề bài
Cho tứ diện \[ABCD\] và điểm \[M\] thuộc miền trong của tam giác \[ACD\]. Gọi \[I\] và \[J\] tương ứng là hai điểm trên cạnh \[BC\] và \[BD\] sao cho \[IJ\] không song song với \[CD\].
a] Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \[[IJM]\] và \[[ACD]\].
b] Lấy \[N\] là điểm thuộc miền trong của tam giác \[ABD\] sao cho \[JN\]cắt đoạn \[AB\] tại \[L\]. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[[MNJ]\]và \[[ABC]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
- Xác định điểm chung thứ nhất dễ nhận thấy.
- Tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và chúng cắt nhau.
- Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó ta được giao điểm thứ hai của hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a] Nhận xét:Do IJ không song song với CD và chúng cùng nằm trong mặt phẳng [BCD] nên khi kéo dài chúng gặp nhau tại một điểm.
Trong \[[BCD]\], gọi \[K = IJ \cap CD\].
Ta có: \[M\] là điểm chung thứ nhất của \[[ACD]\] và \[[IJM]\];
\[\left\{ \matrix{
K \in IJ \hfill \cr
IJ \subset \left[ {MIJ} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left[ {MIJ} \right]\] và \[\left\{ \matrix{K \in CD \hfill \cr C{\rm{D}} \subset \left[ {AC{\rm{D}}} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left[ {AC{\rm{D}}} \right]\]
Vậy \[\left[ {MIJ} \right] \cap \left[ {ACD} \right] = MK\]
b] Với \[L = JN \cap AB\]ta có:
\[\left\{ \matrix{
L \in JN \hfill \cr
JN \subset \left[ {MNJ} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left[ {MNJ} \right]\]
\[\left\{ \matrix{
L \in AB \hfill \cr
AB \subset \left[ {ABC} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left[ {ABC} \right]\]
Như vậy \[L \] là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \[[MNJ] \] và \[[ABC]\]
Gọi \[P = JL \cap A{\rm{D}},Q = PM \cap AC\]
Ta có:
\[\left\{ \matrix{
Q \in PM \hfill \cr
PM \subset \left[ {MNP} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left[ {MNJ} \right]\]
Và \[\left\{ \matrix{Q \in AC \hfill \cr AC \subset \left[ {ABC} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left[ {ABC} \right]\]
Nên \[Q\] là điểm chung thứ hai của \[[MNJ]\] và \[[ABC]\]
Vậy \[LQ = \left[ {ABC} \right] \cap \left[ {MNJ} \right]\].