Đề bài
Hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], có \[SA\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\] và có \[SA = a, AB = b, AC = c\]. Mặt cầu đi qua các đỉnh \[A, B, C, S\] có bán kính \[r\] bằng:
[A] \[{{2[a + b + c]} \over 3}\]; [B] 2\[\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \]
[C] \[{1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \]; [D] \[\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.
Bước 1: Xác định trục d của mặt đáy [trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy].
Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực [P] của một cạnh bên.
Bước 3: Xác định\[I = \left[ P \right] \cap d\], khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Lời giải chi tiết
Tâm \[I\] của mặt cầu đi qua \[A,B,C,S\] là giao của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] và mặt phẳng trung trực của \[SA\]
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên trục đường tròn \[Mx\] với \[M\] là trung điểm của \[BC\].
Bán kính mặt cầu \[R=IA\]
\[MI={1 \over 2} SA = {a\over 2}\], \[AM={1\over 2} BC={1\over 2}\sqrt{b^2+c^2}\]
Xét tam giác vuông \[IAM\] có:\[R = IA = \sqrt {I{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \]
Chọn [C].