Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] và một điểm \[O\] bất kì. Chứng minh rằng với mọi điểm \[M\] ta luôn luôn tìm được ba số \[\alpha \,,\beta \,,\gamma \] sao cho \[\alpha + \beta + \gamma = 1\] và \[\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} + \gamma \overrightarrow {OC} \]. Nếu điểm \[M\] trùng với trọng tâm tam giác \[ABC\] thì các số \[\alpha \,,\beta \,,\gamma \] bằng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết
Vì hai vec tơ \[\overrightarrow {CA} \,,\,\,\overrightarrow {CB} \] không cùng phương nên ta có các số \[\alpha \,,\,\,\beta \] sao cho \[\overrightarrow {CM} = \alpha \overrightarrow {CA} + \beta \overrightarrow {CB} \], hay là
\[\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OC} = \alpha [\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} ] + \beta [\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} ].\]
Vậy \[\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} + [1 - \alpha - \beta ]\overrightarrow {OC} .\]
Đặt \[\gamma = 1 - \alpha - \beta \] thì \[\alpha + \beta + \gamma = 1\] và \[\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} + \gamma \overrightarrow {OC} \].
Nếu M trùng G thì ta có \[\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} ].\]
Vậy \[\alpha = \beta = \gamma = \dfrac{1}{3}\].