- LG a
- LG b
Từ một điểm \[M\] nằm nằm bên ngoài mặt cầu \[S[ O; r]\] ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại \[A, B\] và \[C, D\].
LG a
a] Chứng minh rằng \[MA.MB = MC.MD\].
Phương pháp giải:
+] Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh các tỉ lệ giữa các cạnh. Từ đó suy ra tích cần chứng minh.
+] Sử dụng định lý Pi-ta-go và tỉ lệ vừa chứng minh ở câu a để tính đại lượng cần tính.
Lời giải chi tiết:
Gọi \[[P]\] là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng\[[P]\] cắt mặt cầu \[S[O;r]\] theo một đường tròn tâm \[I\], là hình chiếu vuông góc của \[O\] lên mặt phẳng \[[P]\].
Xét hai tam giác \[MAD\] và \[MCB\] có:
+] \[\widehat B = \widehat D\] [Hai góc cùng chắn một cung]
+] \[\widehat M\] chung
\[ \Rightarrow \Delta MAD\] đồng dạng với \[\Delta MCB.\]
\[\Rightarrow{{MA} \over {MC}} = {{MD} \over {MB}}\] [các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ].
\[\Rightarrow MA.MB=MC.MD \, \, \, [dpcm]\]
LG b
b] Gọi \[MO = d\]. Tính \[MA.MB\] theo \[r\] và \[d\].
Phương pháp giải:
+] Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh các tỉ lệ giữa các cạnh. Từ đó suy ra tích cần chứng minh.
+] Sử dụng định lý Pi-ta-go và tỉ lệ vừa chứng minh ở câu a để tính đại lượng cần tính.
Lời giải chi tiết:
b] Đặt \[MO = d\], ta có \[OI\] vuông góc với \[[P]\] và ta có:
\[O{M^2} = M{I^2} = O{I^2};O{A^2} = O{I^2} + I{A^2}\]
Hạ \[IH\] vuông góc \[AB\], ta có \[H\] là trung điểm của \[AB\].
Ta có \[MA = MH - HA\]; \[MB = MH + HB = MH + HA\].
\[MA.MB = M{H^2} - H{A^2}\] \[= [M{H^2} + H{I^2}] - [H{A^2} + I{H^2}]\] \[=M{I^2} - I{A^2} \] \[= [M{I^2} + O{I^2}] - [I{A^2} + O{I^2}]\] \[= O{M^2} - O{A^2}\] \[= {d^2} - {r^2}\]
Vậy \[MA.MB = {d^2} - {r^2}\].