Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng hình học không gian

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Để tính khoảng cách giữa (P) và (Q) ta thực hiện các bước:

+ Bước 1: Chọn một điểm A trên (P) sao cho khoảng cách từ A đến (Q) có thể được xác định dễ nhất.

+ Bước 2: Kết luận: d((P); (Q)) = d(A; (Q)).

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, AD. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng(MNP) và (ACC).

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD nên MN là đường trung bình của tam giác ADC.

MN // AC(1)

+ Do M; P lần lượt là trung điểm của AD và AD nên MP // AA // DD'

Lại có: CC // AA nên MP // CC(2)

Từ (1) và (2) suy ra: ( MNP) // (ACC)

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do ABCD.ABCD là hình lăng trụ tứ giác đều nên D'O (AA'C'C) và d(D; (ACC)) = DO.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60°, đáy ABC là tam giác đều và A cách đều A, B; C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

Hướng dẫn giải

Chọn A

+ Vì tam giác ABC đều và AA = BA = CA (giả thiết) nên A.ABC là hình chóp đều.

Gọi AH là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm tam giác ABC

Lăng trụ ABC.ABC có các cạnh bên hợp với đáy góc 60° nên A'AH = 60°.

+ Xét tam giác AHA có: A'H = AH.tan60° = ((a3)/3).3 = a

+ lại có; (ABC) // (ABC) ( định nghĩa hình lăng trụ) nên d((ABC), (ABC)) = d( A, (ABC)) = AH = a

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60°. Hình chiếu vuông góc của Alên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC AH (ABC). Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy là 60° nên A'AH = 60°

+ Xét tam giác AHA vuông tại H ta có: AH = AA.sin60° = (a3)/2.

+ Do (ABC) // ( ABC) (định nghĩa hình lăng trụ) nên d((ABC); (ABC)) = d(A; (ABC)) = AH = (a3)/2

Chọn đáp án A

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (ABC) thuộc đường thẳng BC. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là:

Hướng dẫn giải

+ Do hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a nên AB = AC.

tam giác ABC là tam giác cân có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến (do AH (A'B'C')

HB = HC và AH = AC.sin60° = (a3)/2

+ Do góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° và có AH (ABC) nên AA'H = 30°

Xét tam giác AAH vuông tại H có:

AH = AH.tan(AA'H) = (a3)/2.tan30° = a/2

Chọn đáp án C

Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D; cạnh a. Khoảng cách giữa (ABC) và (ADC) bằng :

Hướng dẫn giải

+ Xét hai mp(ABC) và (ADC) có:

+ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Gọi I là hình chiếu của D trên OD suy ra I là hình chiếu của D trên (ADC)

ta có: BD = a2 và OD = (1/2)B'D' = (a2)/2

+ xét tam giác ODD vuông tại D có:

Vậy d((ABC) ; (ADC)) = (a3)/3

Chọn đáp án D

Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và AD. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC)

Hiển thị lời giải

Nhận xét (ACC') (ACC'A')

Gọi O = AC BD, I = MN BD

+ Ta có M và N lần lượt là trung điểm của AD và DC nên MN là đường trung bình của tam giác ADC và MN // AC (1)

+ Tương tự: M, P lần lượt là trung điểm của AD và AD nên MP là đường trung bình của hình thang ADDA

MP // AA // PP(2) .

Từ (1) và (2) suy ra: (MNP) // (ACC)

Mà O thuộc mp( ACC) nên d((MNP); (ACC) ) = d(O; (ACC))

+ Ta có: OI AC và OI AA (vì AA (ABCD) và OI (ABCD))

OI (ACCA) nên d(O; (ACC)) = OI

Suy ra

Chọn đáp án B

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (CBD) và (BDA) bằng

Hiển thị lời giải

+ Ta có: BD // BD và AD // BC

(A'BD) // (B'CD') nên ta có:

d((ABD); (CBD)) = d(B; (ABD)) = d(A; (ABD))

+ Vì AB = AD = AA = a và A'B = A'D = BD = a2

Hình chóp A.ABD là hình chóp tam giác đều.

+ Gọi I là trung điểm AB và G là trọng tâm tam giác ABD.

AG (ABD)

Khi đó ta có: d(A ; (ABD)) = AG

+ Vì tam giác ABD đều cạnh a2 nên

Theo tính chất trọng tâm ta có:

Trong tam giác vuông AGD có:

Chọn B

Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB) và (DAC) bằng

Hiển thị lời giải

+ Ta có : AC // AC và BC // AD

=> (ACB') // (DA'C')

Lại có: D mp(DA'C') nên d((ACB'), (DA'C')) = d(D, (ACB')) = d(B, (ACB'))

+ Vì BA = BB = BC = a và nên hình chóp B.ACB là hình chóp tam giác đều

+ Gọi I là trung điểm AC và G là trọng tâm tam giác ACB.

BG (ACB)

Khi đó ta có: d(B, (ACB')) = BG

+ Vì tam giác ACB đều cạnh a2 nên

Theo tính chất trọng tâm ta có:

Trong tam giác vuông BGB có:

Chọn C

Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 4; AD = 3. Mặt phẳng (ACD) tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.

Hiển thị lời giải

+ Gọi O là hình chiếu của D lên AC.

+ Khoảng cách giữa hai mặt đáy là:

Chọn đáp án B

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và DC. Gọi J là trung điểm SA và H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc (ABCD), SH = a3. Khoảng cách từ (MDJ) đến mặt phẳng (SBP) tính theo a bằng

Hiển thị lời giải

+ Ta có: MJ // SB (vì MJ là đường trung bình của tam giác SAB). Và MD // BP

(DMJ) //( SBP)

d((DMJ); (SBP)) = d(H, (SBP)).

+ Ta chứng minh: NC MD

Chọn C

Giới thiệu kênh Youtube Tôi