Luyện tập hệ thức luongj trong tam giác

Lượng giác là phần lý thuyết khá hấp dẫn nhưng cũng không kém phần phức tạp mà các em sẽ được học ở phần cuối của chương trình Đại số lớp 10. Bài viết dưới đây, Cmath hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về hệ thức lượng trong tam giác. Nắm chắc được những kiến thức này, các em sẽ tự tin làm được các bài tập liên quan.

Hệ thức lượng trong tam giác là gì?

Các hệ thức lượng trong tam giác bao gồm:

Định lý cosin

Tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt là: BC = a, AC = b, AB = c.

Ta có:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC

Hệ quả:

Định lý sin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Ta có:

Độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có mx, mb, mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C.

Ta có:

Giá trị lượng giác của một góc là như thế nào?

Chúng ta cùng tìm hiểu về định nghĩa, tính chất cũng như giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Định nghĩa

Với mỗi góc α thỏa mãn 0o ≤ α ≤ 180o, ta xác định một điểm M nằm trên nửa đường tròn đơn vị, sao cho góc xOM = α và ta giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0).

Khi đó ta có định nghĩa:

• sin của góc α là y0, ta kí hiệu là: sin α = y0
• cosin của góc α là x0, ta kí hiệu là: cos α = x0
• tang của góc α là y0/x0 (x0 ≠ 0), kí hiệu tan α = y0/x0
• cotang của góc α là x0/y0 (y0 ≠ 0), kí hiệu cot α = x0/y0.
  

Tính chất

Trong hình dưới đây, ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu góc xOM = α thì góc xON = 180o – α. 

Ta có: xM = -xN = x0, yM = yN = y0. Do đó:

• sin α = sin(180o – α)
• cos α = -cos(180o – α)
• tan α = -tan(180o – α)
• cot α = -cot(180o – α)
  

Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Trong bảng trên, kí hiệu”||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

Chú ý: Từ bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và tính chất trên, ta có thể dễ dàng suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.

Chẳng hạn:

sin 120o = sin(180o – 60o) = sin 60o = √3/2

cos 135o = cos(180o – 45o) = -cos 45o = -√2/2

Công thức tính diện tích của tam giác bất kỳ

Cho tam giác ABC có:

• ha, hb, hc là lần lượt là độ dài đường cao tương ứng với các cạnh BC, CA, AB.
• Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC kí hiệu là R.
• Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC kí hiệu là r.
• p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi tam giác.
• S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có:

Giải tam giác và những ứng dụng trong thực tế 

Giải tam giác là đi tìm các yếu tố (cạnh, góc) chưa biết của một tam giác khi đã biết một số yếu tố của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm ra mối liên hệ giữa các cạnh, góc đã cho với các góc, cạnh chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lý sin, định lý cosin và các công thức tính diện tích tam giác.

Có 3 bài toán cơ bản về giải tam giác là:

• Giải tam giác khi biết độ dài một cạnh và hai góc.

=> Ta áp dụng định lý sin để tính độ dài hai cạnh còn lại.

• Giải tam giác khi biết số đo hai cạnh và góc xen giữa.

=> Ta sử dụng định lý cosin để tính cạnh thứ ba. Sau đó dùng hệ quả của định lý cosin để tính góc.

• Giải tam giác khi biết số đo ba cạnh.

Đới với bài toán này, ta sử dụng hệ quả của định lý cosin để tính góc.

Chú ý:

• Cần lưu ý là một tam giác chỉ giải được khi ta biết được 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố về góc không được quá 2).
• Việc giải tam giác được ứng dụng rất nhiều vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán về đo đạc.

Lưu ý khi giải bài tập liên quan đến hệ thức lượng

Để làm tốt các bài tập liên quan đến hệ thức lượng, trước tiên các em cần nắm chắc lý thuyết. Ngoài ra, các em cũng cần nắm vững phương pháp giải của một số dạng bài tập tiêu biểu để làm bài tập một cách nhanh chóng và chính xác nhất.

Nhận xét: 

• Ta sử dụng định lý cosin khi biết 2 cạnh và góc xen giữa của 2 cạnh đó.
• Ta sử dụng định lý sin khi biết:
• 1 cạnh và góc đối diện cạnh đó.
• 1 cạnh và 2 góc kề với nó (lúc này ta sẽ tính được góc đối diện cạnh đó)

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có b = 23cm, c = 14cm, góc A = 100o.

a) Tính số đo các cạnh và góc còn lại của tam giác ABC.

b) Hãy cho biết diện tích của tam giác ABC.

c) Tính đường cao ha vẽ từ A của tam giác.

Lời giải:

a) Theo định lý cosin, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A

=> a2 = 232 + 142 – 2.23.14.cos 100o ≈ 836,83.

=> a ≈ 28,9 (cm)

Từ định lý cosin ta cũng có: 

cos B = a2 + c2 – b2/2ac = [(28,9)2 + 142 – 232]/(2.28,9.14) = 0,62

Do đó: Góc B ≈ 51o41’

Khi đó: Góc C ≈ 180o – (100o + 51o41’) = 28o19’

b) Ta có: S = ½.ab.sinC = ½.28,9.23.sin28o19’ ≈ 157,6 (cm2)

c) Ta có: ha = b sinC = 23.sin 28o19’ ≈ 10,9 (cm).

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có a = 12cm, góc B = 70o, góc C = 35o.

Tính số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác.

Lời giải:

 

Ta có: Góc A = 180o – (góc B + góc C)

=> Góc A = 180o – (70o + 35o) = 75o

Theo định lý sin, ta có:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

=> b = a.sinB/sinA = (12.sin70o)/sin75o ≈ 11,7 (cm)

=> c = a.sinC/sinA = (12.sin35o)/sin75o ≈ 7,1 (cm).

Tham khảo thêm:

Toán 9 – Tất tần tật về phương trình bậc hai một ẩn

Số thập phân – Kiến thức hay Toán 6

Toán 8 – Khái niệm, tính chất về hình lăng trụ đứng và bài luyện tập

Tạm kết

Hy vọng những kiến thức bài viết trên cung cấp sẽ giúp các em làm tốt các dạng bài tập liên quan đến