Phương trình hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng p

Trong bài này, HocThatGioi sẽ hướng dẫn các bạn chi tiết cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm, đường thẳng lên mặt phẳng. Gồm có 3 dạng sau: Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng, hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng và hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng. Cùng theo dõi ngay nhé!

Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm M[x_M,y_M,z_M] lên đường thẳng d: \left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{matrix}\right. trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi điểm M' là hình chiếu của M lên d

\Rightarrow M' \in d \Rightarrow M'[x_0+at, y_0+bt, z_0+ct]

Bước 2: Vì M' là hình chiếu vuông góc của M lên d

\Rightarrow MM' \perp d \Rightarrow \vec {MM'} .\vec u_d=0.

Bước 3: Từ dữ kiện \vec {MM'} .\vec u_d=0 , ta sẽ giải và tìm được t, từ t ta có thể dễ dàng suy ra điểm M' rồi. [Xem hình vẽ bên dưới để dễ hình dung hơn]

Hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Xem ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn nhé!

Tìm hình chiếu của điểm M[1,1,3] lên đường thẳng d: \left\{\begin{matrix} x=1-t\\ y=2+2t\\ z=-1-t \end{matrix}\right.

Gọi điểm M’ là hình chiếu của M lên d \Rightarrow M'[1-t,,2+2t,-1-t.
Ta có MM’ \perp d \Rightarrow \vec {MM’} . \vec u_d =0 [1]
Mà \vec {MM’}=[-t,1+2t,-4-t] và \vec u_d=[-1,2,-1]
[1] \Leftrightarrow [-t].[-1]+[1+2t].2 +[-4-t].[-1]=0 \Leftrightarrow t=-1
Thay t=-1 \Rightarrow M'[2,0,0] là hình chiếu của M lên d

Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trong không gian Oxyz, ta có thể giải theo kiểu tự luận tức là trình bày chi tiết các bước thực hiện hoặc giải bằng công thức nhanh [phù hợp với trắc nghiệm]. HocThatGioi nghĩ rằng bạn nên hiểu cả 2 cách này để vừa có thể áp dụng công thức tính nhanh, vừa có thể hiểu bản chất để lỡ có quên công thức thì còn có cái mà dùng.

Giả sử cần tìm hình chiếu vuông góc của điểm M[x_M,y_M,z_M] lên mặt phẳng [P]: Ax+By+Cz+d=0

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với [P]. Vì d vuông góc với [P] nên VTPT của [P] chính là VTCP của d. Khi đó, phương trình của d:\left\{\begin{matrix} x=x_M+At\\ y=y_M+Bt\\ z=z+M=Ct \end{matrix}\right.

Bước 2: Tìm giao điểm M' của đường thẳng d và [P]. Đây cũng chính là hình chiếu của M lên [P] và tọa độ của nó sẽ là nghiệm của hệ phương trình sau: \left\{\begin{matrix} x_{M'}=x_M+At\\ y_{M'}=y_M+Bt\\ z_{M'}=z_M+Ct\\ Ax+By+Cz+D=0 \end{matrix}\right..

Bước 3: Giải hệ phương trình trên là có thể tìm được điểm M' là hình chiếu của M lên [P] rồi. [Xem hình ảnh bên dưới].

Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

Công thức tính nhanh hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng đơn giản chỉ là rút ra từ cách giải theo bản chất ở trên. Công thức cụ thể như sau:

Công thức tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

\left\{\begin{matrix} x_{M’}=x_M+Ak\\ y_{M’}=y_M+Bk\\ z_{M’}=z_M+Ck \end{matrix}\right.

Trong đó::
k=-\frac{Ax_M+By_M+Cz_M+D}{A^2+B^2+C^2}
Mặt phẳng [P]: Ax+By+Cz+D=0.
Điểm M[x_M,y_M,z_M]

Xem ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn về 2 phương pháp mà HocThatGioi vừa giới thiệu ở trên nhé!

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M[1,2,3] lên mặt phẳng [P]: 2x+3y-z+9=0

*Cách tự luận
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với [P]
\Rightarrow d có VTCP chính là VTPT của [P] \Rightarrow \vec u_d=\vec n_P =[2,3,-1]
\Rightarrow d: \left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+3t\\ z=3-t \end{matrix}\right. .
Giao điểm M’ của d và [P] có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+3t\\ z=3-t\\ 2x+3y-z+9=0 \end{matrix}\right.
\Rightarrow M'[-1.-1.4] là tọa độ hình chiếu của M lên [P] *Cách trắc nghiệm

Đầu tiên ta tìm k=-\frac{Ax_M+By_M+Cz_M+D}{A^2+B^2+C^2}=-\frac{2.1+3.2-1.3+9}{2^2+3^2+[-1]^2}=-1

\Rightarrow tọa độ của M’ : \left\{\begin{matrix} x=1+2[-1]\\ y=2+3[-1]\\ z=3-1.[-1] \end{matrix}\right.
Vậy M[-1,-1,4] là hình chiếu của M lên [P]

Nếu bạn đã hiểu rõ phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng mà HocThatGioi vừa giới thiệu ở trên thì việc tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng sẽ không có gì khó nữa.

Đối với đường thẳng song song với mặt phẳng: Ta sẽ tìm một điểm bất kì thuộc đường thẳng đó, lấy hình chiếu của điểm đó lên mặt phẳng. Khi đó ta sẽ viết được phương trình đường thẳng hình chiếu với điểm hình chiếu vừa tìm và VTCP cũng chính là VTCP của đường thẳng ban đầu

Đối với đường thẳng cắt mặt phẳng: Ta sẽ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đó, sau đó lấy một điểm bất kì trên đường thẳng đó, lấy hình chiếu của điểm đó lên mặt phẳng. Khi đó, ta sẽ viết được phương trình đường thẳng hình chiếu với 2 điểm vừa tìm được, chính là giao điểm và điểm hình chiếu.

Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng

Xem ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn nhé!

Tìm hình chiếu của đường thẳng d: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+2}{1} lên mặt phẳng [P]:x+y-3z-3=0

Gọi M là giao điểm của d và [P] \Rightarrow M[1+2t,-3t,-2+t]
Mà M \in [P] \Rightarrow 1.[1+2t]+1.[-3t]-3[-2+t]-3=0 \Rightarrow t=1
\Rightarrow M[3,-3,1]
Gọi 1 điểm H bất kì thuộc d, sau đó tìm H’ là hình chiếu của H lên [P] như HocThatGioi vừa hướng dẫn ở trên. Cuối cùng viết phương trình d’ là hình chiếu của d lên [P] từ 2 điểm M và H‘ vừa tìm được là xong.

Hi vọng sau bài viết này của HocThatGioi sẽ giúp các bạn hiểu và vận dụng thành thạo cách tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng lên măt phẳng. Nếu thấy bài viết này của HocThatGioi hay và bổ ích thì hãy chia sẻ nó đến bạn bè của mình nhé! Chúc các bạn học tốt

Bài viết khác liên quan đến phương pháp toạ độ trong không gian

Dạng 3: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng [d] lên mặt phẳng [P].

Bài làm:

I.Phương pháp giải

• Viết phương trình mặt phẳng [Q] chứa d và vuông góc với [P]
• Hình chiếu cần tìm là giao điểm của hai mặt phẳng [P] và [Q].

Chú ý: Nếu d vuông góc với [P] thì hình chiếu của d lên [P] là điểm H chính là giao điểm của d với [P].

Ta viết phương trình đường thẳng

khi biết VTPT và một điểm thuộc nó.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Trong không gian toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

trên mặt phẳng [P]: x - 2y + z + 5 = 0.

Bài giải:

Ta tìm mặt phẳng [Q] đi qua d có dạng: m.[x-2z] + n[3x-2y+z-3] = 0.

[m+3n]x - 2ny + [-2m + n]z - 3n = 0.

[Q] vuông góc với [P]

1.[m+3n] -2n[-2n] + 1.[-2m + n] = 0 -m + 8n = 0.

Chọn m = 8 thì n= 1 ta được phương trình mặ phẳng [Q] là: 11x - 2y - 15z - 3 = 0.

Vậy hình chiếu của d lên [P] có phương trình :

Bài tập 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

lên mặt phẳng [P]: x -3y + z - 4 = 0.

Bài giải:

Gọi [Q] là mặt phẳng chứa đường thẳng [d] và vuông góc với [P].

Khi đó vecto pháp tuyến của [Q] là

Ta có B[4;1;3] thuộc d nên B thuộc [Q]. Ta có phương trình mặt phẳng [Q] là : -4x + y + 7z - 6 = 0.

Hình chiếu của d lên [P] là đường thẳng

là giao của [P] và [Q].

Có: u_{\Delta }=[\vec{n_{P}},\vec{n_{Q}}]=[22;11;11]=11[2;1;1].

Mà C[0;\frac{1}{2};\frac{11}{2}] thuộc giao của [P] và [Q] do đó C thuộc

.

Vậy phương trình đường thẳng

là : $\frac{x-2}{2}=\frac{y-\frac{1}{2}}{1}=\frac{z-\frac{11}{2}}{1}$

Cập nhật: 07/09/2021