Table of Contents
Quan sát hình sau:
• Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
• Điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
• Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
• Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
[SGK, trang 57]
II. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Nhận xét:
Qua một điểm nằm bên ngoài đường thẳng ta chỉ vẽ đường duy nhất một đường vuông góc nhưng vẽ được vô số đường xiên đến đường thẳng d
Định lí 1:
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. [SGK, trang 58]
Chú ý: Độ dài đường vuông góc AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. [SGK, trang 58]
III. Các đường xiên và hình chiếu của chúng
Định lí 2:
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
a] Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn ;
b] Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn ;
c] Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. [SGK, trang 59]
+ Nếu HB = HC thì AB = AC và ngược lại nếu AB = AC thì HB = HC.
IV. Bài tập luyện tập quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu của trường Nguyễn Khuyến
Bài 1. Cho tam giác MIN có MI > MN. Lấy điểm E trên đường cao MH của tam giác MIN. Hãy so sánh:
a] và
b] HI và HN
c] và
ĐÁP ÁNa] Tam giác MIN có MI > MN [giả thiết]
Vậy > [quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác]b] Ta có:HI là hình chiếu của đường xiên MI trên cạnh IN.HN là hình chiếu của đường xiên MN trên cạnh IN. Mà: MI > MN [chứng minh câu a] Vậy HI > HN [quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu]c] Ta có:HI là hình chiếu của đường xiên IE trên cạnh IN.HN là hình chiếu của đường xiên EN trên cạnh IN. Mà: HI > HN [chứng minh câu b] Suy ra: IE > EN [quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu] Xét tam giác IEN có : IE > EN [chứng minh trên]
Do đó: [quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác]
Bài 2. Tam giác DEF vuông tại D. Gọi B là trung điểm DE; A và C lần lượt là hình chiếu của E và D trên đường thẳng CB. Chứng minh:
a] AE = CD
b]
c]
ĐÁP ÁNa] Xét ABE và CBD có:BE = BD [B là trung điểm của DE]
[hai góc đối đỉnh]
[ch – gn]
AE = CD [hai cạnh tương ứng]
b] Ta có: [do ]
Mà: [cùng phụ với ]
c] Ta có: AB = BC [vì ] FC + FA = FB – BC + FB + AB = 2 FB [1]Mặt khác ta có: FB là cạnh huyền của vuông tại D FB > DF [2]
Từ [1] và [2] suy ra: 2DF < FC + FA.
Biên soạn: PHẠM NGỌC DIỆU [Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến BD]
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
1. Khái niệm đường thẳng vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên
Từ điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó:
• Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
• Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
• Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Ví dụ: AH ⊥ a ⇒ AH < AC, AH < AD, AH < AB
3. Các đường xiên và hình chiếu của chúng
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
AH ⊥ a, HD > HC ⇒ AD > AC
• Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
AH ⊥ a, AD > AC ⇒ HD > HC
• Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
AB = AC ⇔ HB = HC
4. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm B' trên cạnh AB, lấy điểm C' trên cạnh AC. So sánh B'C' với BC
Hướng dẫn giải:
Do B’ và C’ lần lượt nằm trên các cạnh AB và AC nên
Ta có: AC' < AC ⇒ B'C^' < B'C
[quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu]
Lại có: AB' < AB ⇒ B'C < BC
[quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu]
Khi đó ta có: B'C' < BC
Ví dụ 2:Cho tam giác ABC vuông tại A và tia phân giác CP. Chứng minh:
a] PA < CA
b] CP < CB
Hướng dẫn giải:
Bài 1: Cho ΔABC, kẻ AH ⊥ BC tại H, Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:
a] Ta có:
AH là đường vuông góc
AB, AC là các đường xiên
Nên ta có:
Hay
b] Chứng minh tương tự như câu a], ta được BK, CL là đường cao hạ từ đỉnh B và C
Ta có:
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC . Trên cạnh huyền BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AH.
Chứng minh rằng DE ⊥ AC ⇒ BC + AH > AC + AB .
Hướng dẫn giải:
Xem thêm các phần lý thuyết, các dạng bài tập Toán lớp 7 có đáp án chi tiết hay khác:
Đã có lời giải bài tập lớp 7 sách mới:
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 7 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k9: fb.com/groups/hoctap2k9/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 7 có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 7 và Hình học 7.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.