Trang 1/16 CHỦ ĐỀ 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 8. ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN CUÛA ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ Đồ thị ax b y cx d có tiệm cận đứng d x c , tiệm cận ngang a y c . Đồ thị 2 ax bx c r y mx n px q px r có tiệm cận đứng q x p , tiệm cận xiên y mx n . Đồ thị 2 y mxn ax bxc có các đường cận là . 2 b y mx n a x a A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Đồ thị hàm số 23 1 x y x − = − có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: A. 1 x = và 3 y = − . B. 2 x = và 1 y = . C. 1 x = và 2 y = . D. 1 x = − và 2 y = . Câu 2. Đồ thị hàm số 13 2 x y x − = + có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: A. 2 x = − và 3 y = − . B. 2 x = − và 1 y = . C. 2 x = − và 3 y = . D. 2 x = và 1 y = . Câu 3. Đồ thị hàm số 2 23 32 x y xx − = −+ có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: A. 1, 2 xx = = và 0 y = . B. 1, 2 xx = = và 2 y = . C. 1 x = và 0 y = . D. 1, 2 xx = = và 3 y = − . Câu 4. Đồ thị hàm số 2 2 13 69 − = −+ x y xx có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: A. 3 x = và 3 y = − . B. 3 x = và 0 y = . C. 3 x = và 1 y = . D. 3 y = và 3 x = − . Câu 5. Đồ thị hàm số 2 3 32 8 xx y x ++ = − có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: A. 2 y = và 0 x = . B. 2 x = và 0 y = . C. 2 x = và 3 y = . D. 2 y = và 3 x = . Câu 6. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1 32 x y x − = + là: A. 4. B. 1. C. 0. D. 2. Câu 7. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1 32 y x = + là: A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Câu 8. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 1 4 x y x + = − là: A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Câu 9. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 34 x yx xx = + −− là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 5. Câu 10. Cho hàm số 2 3 + = − x y x khẳng định nào sau đây là sai: A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 3 x = . B. Hàm số nghịch biến trên { } \3 . C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 1 y = . Trang 2/16 D. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là [3;1] I . Câu 11. Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận ? A. 12 1 x y x − = + . B. 2 1 4 y x = − . C. 3 51 x y x + = − . D. 2 9 x y xx = −+ . Câu 12. Cho hàm số [ ] 4 2 2 9 33 xx y x − = − . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang 3 y = − . C. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang 1 y = − . D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, có tiệm cận ngang. Câu 13. Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng: A. 2 31 1 x y x − = + . B. 1 y x − = . C. 3 2 x y x + = + . D. 2 1 2 1 y xx = −+ . Câu 14. Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang: A. 23 1 x y x − = + . B. 4 2 3 7 21 xx y x ++ = − . C. 2 3 1 y x = − . D. 3 1 2 y x = + − . Câu 15. Đồ thị như hình vẽ là của hàm số nào sau đây : A. 1 1 x y x − = + . B. 3 1 x y x − = − . C. 2 1 x y x + = − . D. 2 1 x y x − = − . Câu 16. Đồ thị hàm số 31 32 x y x − = + có đường tiệm cận ngang là A. 3 x = . B. 1 x = . C. 3 y = . D. 1 y = . Câu 17. Đồ thị hàm số 21 2 x y x − = + có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 18. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 21 32 x y xx − = −+ là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 19. Cho hàm số 9 mx y x m + = + có đồ thị [ ] C . Kết luận nào sau đây đúng ? A. Khi 3 m = thì [ ] C không có đường tiệm cận đứng. B. Khi 3 m = − thì [ ] C không có đường tiệm cận đứng. C. Khi 3 m ≠± thì [ ] C có tiệm cận đứng , xm = − tiệm cận ngang y m = . D. Khi 0 m = thì [ ] C không có tiệm cận ngang. Câu 20. Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 3 1 x y x + = + A. 1 y = ± . B. 1 x = . C. 1 y = . D. 1 y = − . Trang 3/16 Câu 21. Với giá trị nào của m thì đồ thị [C]: 1 2 mx y x m − = + có tiệm cận đứng đi qua điểm 2 [] 1; M − ? A. 2 2 m = . B. 0 m = . C. 1 2 m = . D. 2 m = . Câu 22. Cho hàm số 1 mx n y x + = − có đồ thị [C]. Biết tiệm cận ngang của [C] đi qua điểm [ 1;2] A − đồng thời điểm [2;1] I thuộc [C]. Khi đó giá trị của mn + là A. 1 mn +=− . B. 1 mn += . C. 3 mn +=− . D. 3 mn +=. Câu 23. Số tiệm cận của hàm số 2 2 1 94 x x y x +− = −− là A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Câu 24. Giá trị của m để đồ thị hàm số 1 xm y mx − = − không có tiệm cận đứng là A. 0; 1 mm = = ± . B. 1 m = − . C. 1 m = ± . D. 1 m = . Câu 25. Số tiệm cận của hàm số 3 2 32 1 31 1 x x x y x ++ + + = − là A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Câu 26. Đồ thị hàm số 2 22 2 x x mx y x + +− = + có hai đường tiệm cận ngang với A. m ∀∈ . B. 1 m = . C. 0; 1 mm = = . D. 0 m = . Câu 27. Đồ thị hàm số 2 1 1 x x mx y x − ++ = − có đường tiệm cận đứng khi A. 0 m ≠ . B. mR ∀∈ . C. 1 m ≠− . D. 1 m ≠ . Câu 28. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 2 4 34 x y xx − = −− là: A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Câu 29. Số tiệm cận của đồ thị hàm số 2 1 1 2 1 1 x x x y x x x + ≥ = < − neáu neáu . A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 30. Xác định m để đồ thị hàm số [ ] [ ] 2 23 2 1 2 x mx m y x − ++ − = − không có tiệm cận đứng. A. 2 m = − . B. 2 m = . C. 3 m = . D. 1 m = . Câu 31. Xác định m để đồ thị hàm số [ ] 2 2 3 4 22 3 1 y x m x m = + + + − có đúng hai tiệm cận đứng. A. 13 12 m − . D. 13 12 m >− . Câu 32. Xác định m để đồ thị hàm số [ ] 22 1 21 2 x y x m x m − = + − + − có đúng hai tiệm cận đứng. A. 3 ; 1; 3 2 m mm < ≠ ≠− . B. 3 ;1 2 mm >− ≠ . C. 3 2 m >− . D. 3 2 m < . Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 1 y x mx =++ có tiệm cận ngang. Trang 4/16 A. 01 m . D. 1 m = . Câu 34. Cho hàm số 2 32 3 2 1 22 xx x y x xx −+ − + = − −+ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng 1 tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang. Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 2 1 1 x y mx + = + có hai tiệm cận ngang. A. 0 m < . B. 0 m > . C. 0 m = . D. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 1 x y xm − = − có tiệm cận đứng. A. 1 m > . B. 1 m = . C. 1 m ≤ . D. Không có m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 32 1 3 x y x xm + = −− có đúng một tiệm cận đứng. A. m ∈ . B. 0 4 m m > ≤− . D. 0 4 m m ≥ ≤− . Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 2 2 2 2 x mx m y x − − = − có tiệm cận đứng. A. Không có m thỏa mãn yêu đều đề bài.. B. 2 1 m m ≠− ≠ . C. m ∈ . D. 2 1 m m ≠− ≠ Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 2 53 21 x y x mx − = −+ không có tiệm cận đứng. A. 1 1 m m > ⇔ + − − > 13 12 13 12 mm ⇔ >− ⇔ >− . Câu 32. Chọn A Đồ thị hàm số [ ] 22 1 21 2 x y x m x m − = + − + − có đúng hai tiệm cận đứng ⇔ phương trình [ ] [ ] 22 2 1 20 f x x m x m = + − + − = có 2 nghiệm phân biệt khác 1. [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 1 20 ' 0 10 1 2 1 2 0 mm f mm − − −> ∆> ⇔⇔ ≠ + − + − ≠ 2 3 2 2 30 1 2 30 3 m m m mm m < − +> ⇔ ⇔≠ + −≠ ≠− . Câu 33. Chọn D - Nếu 0 m = thì 1 yx = + . Suy ra, đồ thị của nó không có tiệm cận ngang. - Nếu 0 m < thì hàm số xác định 2 11 10 mx x mm − ⇔ +≥ ⇔ ≤ ≤ − − . Do đó, lim x y → ±∞ không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. - Với 01 m thì 2 1 lim lim 1 x x y xm x → +∞ → +∞ = + + = +∞ 2 1 lim lim 1 x x y xm x → −∞ → −∞ = − + = +∞ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Câu 34. Chọn B Điều kiện: 2 32 11 3 0 22 2 10 2 2 11 2 20 xx xx x xx xx x xx ≥− ≥− − +≥ +≥ ⇔≠ ⇔≠ ≠± ≠ − −+ ≠ . Với điều kiện trên ta có, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 3 2 1 3 2 1 3 2 1 xx x y x x x xx x −+ − + = − + + −+ + + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 2 32 1 3 2 1 3 2 1 1 3 2 1 xx x x x xx x x xx x −+ = = − + + −+ + + + −+ + + . Ta có [ ] 1 lim x y + →− ; [ ] 1 lim x y − →− nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Mặt khác 2 22 1 lim lim 0 1 1 3 21 11 x x y x x x x x x → +∞ → +∞ = = + −+ + + nên đường thẳng 0 y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → +∞. lim x y → −∞ không tồn tại. Câu 35. Chọn B Điều kiện: 2 10 mx +> . - Nếu 0 m = thì hàm số trở thành 1 yx = + không có tiệm cận ngang. - Nếu 0 m < thì hàm số xác định 11 x mm − − ⇔ thì hàm số xác định với mọi x ∈ . 2 2 1 1 11 lim lim lim 1 1 x x x x x y m mx m x → +∞ → +∞ → +∞ + + = = = + + . Suy ra đường thẳng 1 y m = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → +∞. 2 2 1 1 11 lim lim lim 1 1 x x x x x y m mx m x → −∞ → −∞ → +∞ + + = = = − + −+ . Suy ra đường thẳng 1 y m = − là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → −∞. Vậy 0 m > thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 36. Chọn C Điều kiện: 1 x x m ≤ ≠ . Trang 13/16 Nếu 1 m > thì lim x m y + → ; lim x m y − → không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Nếu 1 m = thì hàm số trở thành 1 1 x y x − = − 11 1 11 lim lim lim 1 1 xx x x y x x − − − →→ → − − = = = −∞ − − Suy ra đường thẳng 1 x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi 1 x − → . 1 lim x y + → không tồn tại. Do đó, 1 m = thỏa mãn. - Nếu 1 m < thì 1 lim lim x m x m x y xm + + →→ − = = +∞ − ; 1 lim lim x m x m x y xm −− →→ − = = −∞ − . Suy ra đường thẳng xm = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi xm + → và xm − → . Vậy 1 m ≤ thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 37. Chọn C TH1 : Phương trình 32 30 x xm − −= có một nghiệm đơn 1 x = − và một nghiệm kép. Phương trình 32 30 x xm − −= có nghiệm 1 x = − nên [ ] [ ] 32 1 31 0 4 mm − −− − =⇔ = − . Với 4 m = − phương trình trở thành 32 1 3 40 2 x xx x = − − += ⇔ = [thỏa mãn vì 2 x là nghiệm kép]. TH2: Phương trình 32 30 x xm − −= có đúng một nghiệm khác 1 − 32 3 x xm ⇔− = có một nghiệm khác 1 − [ ] [ ] 32 4 4 4 0 0 0 4 1 3. 1 m m m m m m m m ⇔ ⇔⇔ > > ≠− −− − ≠ . Vậy với 0 4 m m > ≤− thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 38. Chọn D Đồ thị của hàm số 2 2 2 2 − − = − x mx m y x có tiệm cận đứng 2 ⇔ không là nghiệm của [ ] 22 2 = −− f x x mx m [ ] 2 2 42 2 0 ⇔ =−− ≠ f mm 1 2 ≠ ⇔ ≠− m m . Câu 39. Chọn B Đồ thị của hàm số 2 53 21 x y x mx − = −+ không có tiệm cận đứng 2 2 10 x mx ⇔ − += vô nghiệm 2 ' 0 10 1 1 mm ⇔∆ < ⇔ − < ⇔− < < . Câu 40. Chọn C Tập xác định { } \1 D = . Đạo hàm [ ] 2 3 ' ,1 1 yx x − = ∀≠ − . [ ] C có tiệm cận đứng [ ] 1 1 xd = và tiệm cận ngang [ ] 2 2 y d = nên [ ] 1;2 I . Gọi [ ] 0 00 0 21 ; ,1 1 x M x C x x + ∈≠ − . Tiếp tuyến ∆ của [ ] C tại M có phương trình [ ] [ ] [ ] 0 0 0 ' y f x x x f x = −+ Trang 14/16 [ ] [ ] 0 0 2 0 0 21 3 1 1 x y xx x x + − ⇔= − + − − ∆ cắt 1 d tại 0 0 22 1; 1 x A x + − và cắt 2 d tại [ ] 0 2 1;2 Bx − . Ta có 0 00 22 4 2 11 x IA xx + = −= −− ; [ ] 00 2 11 2 1 IB x x = − − = − . Do đó, 0 0 1 14 . . .2 1 4 2 21 S IA IB x x = = − = − . Câu 41. Chọn A Tập xác định D = Ta có 2 2 3 1 3 lim lim 1 1 1 1 xx x x x x → +∞ → +∞ + + = = + + ; 2 2 3 1 3 lim lim 1 1 1 1 xx x x x x → −∞ → −∞ + + = = − + −+ Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là 1 y = và 1 y = − . Câu 42. Chọn A Tập xác định [ ] 1;1 D = − Nên không tồn tại giới hạn 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 lim ; lim ; lim ; lim 2 2 2 2 xx x x x x x x x x x x +− → +∞ → −∞ → → − − − − − − − − . Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận. Câu 43. Chọn A Tập xác định D = Ta có [ ] 2 2 2 2 4 42 lim 4 2 lim lim 2 42 42 11 x xx x x xx x x x x x x → +∞ → +∞ → +∞ − − − −+ = = = + −+ + −+ [ ] 2 2 42 lim 4 2 lim 1 1 xx xx x x x x → −∞ → −∞ − − + = + − + = −∞ vì lim x x → −∞ = −∞ và 2 42 lim 1 1 2 0 x x x → −∞ + −+ = > Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là 2 y = . Câu 44. Chọn C Do M thuộc đồ thị hàm số 2 1 1 x y x + = − nên 0 0 0 21 ; 1 x M x x + − với 0 1 x ≠ Phương trình tiệm cận đứng là [ ] 10 x d −= . Giải phương trình [ ] [ ] 0 0 0 0 0 0 21 ,, 1 4 1 x x dM d dM Ox x x x = + = ⇔ − = ⇔ = − . Câu 45. Chọn A Tập xác định { } \2 D = − Trên TXĐ của hàm số, biến đổi được 1 yx = − . Do đó đồ thị không có tiệm cận Câu 46. Chọn C Tập xác định { } \2 D = − Trang 15/16 Trên TXĐ của hàm số, biến đổi được 1 2 x y x − = + . Ta có 11 lim lim 1 22 xx xx xx → +∞ → −∞ −− = = ++ ; 22 11 lim ; lim 22 xx xx xx + − → − → − −− = −∞ = +∞ ++ Do đó đồ thị có 2 tiệm cận Câu 47. Chọn D Tập xác định [ ] ; 2 2; D = −∞ − ∪ +∞ Ta có 2 2 2 1 2 lim lim 1 1 1 1 x x x x x x → +∞ → +∞ − − = = − − ; 2 2 2 1 2 lim lim 1 1 1 1 x x x x x x → −∞ → −∞ −− − = = − − − Do tập xác định [ ] ; 2 2; D = −∞ − ∪ +∞ nên không tồn tại 22 11 22 lim ; lim 11 xx xx xx +− →→ −− −− Do đó đồ thị có 2 tiệm cận ngang là 1 y = và 1 y = − . Câu 48. Chọn C Tọa độ điểm M có dạng 0 0 0 2 ; 3 x M x x + − Phương trình đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt là [ ] [ ] 12 3 0 , 10 x dy d − = −= . Giải phương trình [ ] [ ] 12 5 , ,d dM d dM = tìm 0 x Chọn A. Câu 49. Chọn D Ta có đường tiệm cận đứng là 3 x = − và đường tiệm cận ngang là 1 3 y = Nên 1 3, 3 ab = −= Do đó 8 2 3 m ab m m ≥+ ⇔ ≥−⇒ =− Câu 50. Chọn D Tọa độ điểm M có dạng 0 0 0 23 ; 2 x M x x − − với 0 2 x ≠ Phương trình tiệm cận đứng, ngang lần lượt là [ ] [ ] 1 2 20 , 20 x dy d − = − = . Ta có [ ] [ ] 1 20 0 1 ,, 2 2 2 d d Md d Md x x = + = − + ≥ − Câu 51. Chọn A Tọa độ điểm M bất kì thuộc đồ thị có dạng 0 0 0 23 ; 2 x M x x − − với 0 2 x ≠ Do đó phương trình tiếp tuyến tại M là [ ] [ ] 00 2 0 0 23 2 2 xx x y x x −− = − +∆ − − . Tính [ ] ,2 dM ∆≤ . Câu 52. Chọn A Tọa độ điểm M bất kì thuộc đồ thị có dạng 0 0 0 23 ; 2 x M x x − − với 0 2 x ≠ Do đó phương trình tiếp tuyến tại M là [ ] [ ] 00 2 0 0 23 2 2 xx x y d x x −− = −+ − − . Trang 16/16 Tìm tọa độ giao của tiệm cận và tiếp tuyến [ ] 0 0 0 22 2; , 2 2;2 2 x A Bx x − − − Từ đó đánh giá 4 AB ≥ .