Tìm cực trị của hàm số y = x^2 2x 1 x + 1
|
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: a) y = −2x2 + 7x − 5 b) y = x3 − 3x2 − 24x + 7 c) y = (x + 2)2.(x − 3)3 Lời giải: a) y = −2x2 + 7x − 5. TXĐ: R y′ = −4x + 7, y′ = 0 ⇔ x = 7/4 y′′ = −4 ⇒ y′′(7/4) = −4 < 0 Vậy x = 7/4 là điểm cực đại của hàm số và yCD = 9/8 b) y = x3 − 3x2 − 24x + 7. TXĐ: R y′ = 3x2 − 6x – 24 = 3(x2 − 2x − 8) y′ = 0 ⇔  Vì y′′(−2) = −18 < 0, y′′(4) = 18 > 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -2; đạt cực tiểu tại x = 4 và yCĐ = y(-2) = 35; yCT = y(4) = -73. e) TXĐ: R y′ = 2(x + 2).(x − 3)3 + 3(x + 2)2.(x − 3)2 = 5x(x + 2).(x − 3)2 y′= 0 ⇔ Bảng biến thiên: Từ đó suy ra yCĐ = y(-2) = 0; yCT = y(0) = -108.
Lời giải: a) TXĐ : R y′= 0 ⇔ Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = -4 và yCD = y(2) = 1/4; yCT = y(−4) = −1/8 b) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x ≠ 1. y′=0 ⇔ Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại x = 1 − √2 và đạt cực tiểu tại x = 1 + √2, ta có: yCD = y(1 − √2) = −2√2; yCT = y(1 + √2) = 2√2. c) TXĐ: R\{-1} Hàm số đồng biến trên các khoảng và do đó không có cực trị. d) Vì x2 – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên (−∞; +∞)
y′ = 0 ⇔ Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại x = −1/3, đạt cực tiểu tại x = 4 và yCD = y(−1/3) = 13/4; yCT = y(4) = 0
Lời giải: a) TXĐ: R y′ = 0 ⇔ x = 64 Bảng biến thiên: Vậy ta có yCĐ = y(0) = 0 và yCT = y(64) = -32. b) Hàm số xác định trên khoảng (−∞;+∞). Bảng biến thiên: Vậy yCD = y(−2) = c) Hàm số xác định trên khoảng (−√10;√10). Vì y’ > 0 với mọi (−√10;√10) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị. d) TXĐ: D = (−∞; −√6) ∪ (√6; +∞) Bảng biến thiên: Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = -3 và yCT = y(3) = 9√3; yCD = y(−3) = −9√3 a) y = sin2x b) y = cosx − sinx c) y = sin2x Lời giải: a) y = sin2x Hàm số có chu kỳ T = π Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0;π], ta có: y’ = 2cos2x y’ = 0 ⇔ Bảng biến thiên: Do đó trên đoạn [0;π] , hàm số đạt cực đại tại π/4 , đạt cực tiểu tại 3π/4 và yCD = y(π/4) = 1; yCT = y(3π/4) = −1 Vậy trên R ta có: yCĐ = y(π/4 + kπ) = 1; yCT = y(3π/4 + kπ) = −1, k∈Z b) Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−π;π]. y′ = − sinx – cosx y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ, k∈Z Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π;π] Hàm số đạt cực đại tại x = −π4 + k2π , đạt cực tiểu tại x = 3π4 + k2π (k∈Z) và yCĐ = y(−π4 + k2π) = √2; yCT = y(3π4 + k2π) = −√2 (k∈Z). c) Ta có: Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ π. Ta xét hàm số y trên đoạn [0;π]: y′ = sin2x y′ = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = kπ/2 (k∈Z) Lập bảng biến thiên trên đoạn [0,π] Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = kπ/2 với k chẵn, đạt cực đại tại x = kπ/2 với k lẻ, và yCT = y(2mπ) = 0; yCT = y(2mπ) = 0; yCĐ = y((2m+1)π/2) = 1 (m∈Z) y = x3 + 2mx2 + mx − 1 Lời giải: TXĐ: D = R y’ = 3x2 + 4mx + m Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R. ⇔ 3x2 + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt. ⇔ Δ’ = 4m2 -3m > 0 ⇔ m(4m – 3) > 0 ⇔ Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc m > 3/4. Lời giải: TXĐ: D = R y’ = 3x2 – 4x + m; y’ = 0 ⇔ 3x2 – 4x + m = 0 Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi: ∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ m < 4/3 (∗) Hàm số có cực trị tại x = 1 thì : y’(1) = 3 – 4 + m = 0 ⇒ m = 1 (thỏa mãn điều kiện (∗) ) Mặt khác, vì: y’’ = 6x – 4 ⇒ y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0 cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu. Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1 Lời giải: Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó. Ta có: Xét y’ = 0, ta có: y′ = 3x2 − 2mx + (m – 2/3) Δ’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (∗) Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì y′(1) = 3 − 2m + m – 2/3 = 0 ⇔ m = 7/3, thỏa mãn điều kiện (∗) Với m = 7/3 thì hàm số đã cho trở thành: Ta có: Vì y′′(1) = 6 – (14/3) > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = (16/3). Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó. Lời giải: Hàm số: Không có đạo hàm tại x = 0 vì: Mặt khác, với x < 0 thì với x > 0 thì y’ = -2 < 0 Bảng biến thiên: Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 0. Lời giải: Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R\{m}. Ta có: Xét g(x) = x2 – 2mx – 2m2 + 3 Δ’g = m2 + 2m2 – 3 = 3(m2 – 1) ; Δ’g ≤ 0 khi – 1 ≤ m ≤ 1. Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị. Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ – 1) Các hàm số này không có cực trị. Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 A. m = 3 B. m ∈ [3; +∞] C. m < 3 D. m > 3 A. m > √5 B. m < -√5 C. m = √5 D. -√5 < m < √5 A. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu C. Hàm số chỉ có một cực tiểu D. Hàm số chỉ có một cực đại y = mx3/3 + mx2 + 2(m – 1)x – 2. A. m ≤ 0 hoặc m ≥ 2 B. m ≥ 0 C. m ≤ 0 ≤ 2 D. m ∈ [0; +∞] y = x3 – 3(m – 1)x2 – 3(m + 3)x – 5 A. m ≥ 0 B. m ∈ R C. m < 0 D. m ∈ [-5;5] Khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A. d = 2√5 B. d = √5/4 C. d = √5 D. √5/2 Lời giải: Đáp án và hướng dẫn giải
Hàm số y = (x + 1)3(5 – x) xác định trên R. y’ = -(x + 1)3 + 3(x + 1)2(5 – x) = 2(x + 1)2(7 – 2x) y’ = 0 ⇔ Bảng biến thiên Suy ra hàm số chỉ có một cực trị (là cực đại) Hàm số y = x4 – 5x2 + 4 xác định trên R. y’ = 4x3 – 10x = 2x(2x5 – 5); y’ = 0 khi y” = 12x2 – 10 Vì y”(0) = -10 < 0, nên hàm số chỉ có một cực đại (tại x = 0) Tập xác định: D = R. y’ = 3x2 – 6x + m. Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R ⇔ 3x2 – 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ = 9 – 3m > 0 ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3 Tập xác định: D = R \ {m} Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên D ⇔ x2 – 2mx + 2m2 – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ = -m2 + 5 > 0 ⇔ -√5 < m < √5 Vì a < 0 và y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số y = ax4 + bx2 + c có hai cực đại, một cực tiểu. Ở đây y’ = -4x3 + 8x; y’ = 0 ⇔ -4x(x2 – 2) = 0 ⇔ – Nếu m = 0 thì y = -2x – 2, hàm số không có cực trị. – Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = mx2 + 2mx + 2(m – 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có Δ’ = m2 – 2m(m – 1) = -m2 + 2m ≤ 0 ⇔ Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi y’ = 3x2 – 6(m – 1)x – 3(m + 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ = (m – 1)2 + (m + 3) = m2 – m + 4 > 0 Ta thấy tam thức Δ’ = m2 – m + 4 luôn dương với mọi m vì δ = 1 – 16 = -15 < 0, a = 1 > 0 Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị mới mọi m ∈ R y’ = 3x2 + 3x = 3x(x + 1) = 0 ⇔ Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: |
