Bài tập Toán lớp 8
Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những dạng toán khá quan trọng nằm trong chương trình Toán 8.
Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bao gồm lý thuyết, các phương pháp và các bài luyện tập chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. Hi vọng với tài liệu này sẽ giúp các bạn có thêm nhiều tài liệu ôn tập giải toán lớp 8, củng cố và nâng cao các kiến thức đã học. Mời các bạn cùng tham khảo.
Phân tích đa thức thành nhân tử
1. Định nghĩa:
Phân tích đa thức thành nhân tử [hay thừa số] là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Ví dụ:
a] 2x2+ 5x - 3 = [2x - 1].[x + 3]
b] x - 2
= [- 2y] + 5[- 2y]
= [- 2y][ + 5]
II. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
a] Phương pháp đặt nhân tử chung:
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.
Công thức:
AB + AC = A[B + C]
Ví dụ:
1. 5x[y + 1] – 2[y + 1] = [y + 1][5x - 2]
2. 3x + 12 y = 3 [ + 4y]
b] Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.
*Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
[A + B]2 = A2 + 2AB + B2
[A - B]2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = [A + B][A - B]
[A+B]3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
[A - B]3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3
A3 + B3 = [A+B] [A2 - AB + B2]
A3 - B3 = [A - B][A2 + AB + B2]
c] Phương pháp nhóm hạng tử:
Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ:
1. x2 – 2xy + 5x – 10y = [x2– 2xy] + [5x – 10y] = x[x – 2y] + 5[x – 2y]
= [x – 2y][x + 5]
2. x - 3+ y – 3y = [x - 3] + [y – 3y]
= [ - 3] + y[ - 3]= [- 3][ + y]
d. Phương pháp tách một hạng tử:[trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm]
Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c [] nếu
Ví dụ:
a] 2x2-3x + 1
= 2x2 - 2x - x +1
= 2x[x - 1] - [x - 1]
= [x - 1][2x - 1]
e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Ví dụ:
a] y4+ 64 = y4+ 16y2 + 64 - 16y2
= [y2 + 8]2 - [4y]2
= [y2 + 8 - 4y][y2 + 8 + 4y]
b] x2+ 4 = x2+ 4x + 4 - 4x = [x + 2]2 - 4x
= [x + 2]2 - =
f. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:
Ví dụ:
a] a3-a2b - ab2 + b3 = a2[a - b] - b2[a - b]
=[a - b] [a2 - b2]
= [a - b] [a - b] [a + b]
= [a - b]2[a + b]
III. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a] 14x2– 21xy2+ 28x2y2 = 7x[2x - 3y2 + 4xy2]
b] 2[x + 3] – x[x + 3] = [x+3][2-x]
c] x2+ 4x – y2+ 4 = [x + 2]2 - y2 = [x + 2 - y][x + 2 + y]
Bài 2: Giải phương trình sau :
2[x + 3] – x[x + 3] = 0
Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a]8x3+ 4x2 - y3 - y2 = [8x3 - y3] + [4x2 - y2]
b] x2+ 5x -6 = x2 + 6x - x - 6
= x[x + 6] - [x + 6]
= [x + 6][x - 1]
c. a4 + 16 = a4+ 8a2 + 16 - 8a2
= [a2 + 4]2 - [a]2
= [a2 + 4 +a][ a2 + 4 - a]
Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:
a] [x5+ x3+ x2 + 1]:[x3 + 1]
b] [x2-5x + 6]:[x - 3]
Giải:
a] Vì x5+ x3+ x2 + 1
= x3[x2 + 1] + x2 + 1
= [x2 + 1][x3 + 1]
nên [x5 + x3 + x2 + 1]:[x3 + 1]
= [x2 + 1][x3 + 1]:[x3 + 1]
= [x2 + 1]
b]Vì x2 - 5x + 6
= x2 - 3x - 2x + 6
= x[x - 3] - 2[x - 3]
= [x - 3][x - 2]
nên [x2 - 5x + 6]:[x - 3]
= [x - 3][x - 2]: [x - 3]
= [x - 2]
IV. Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a] x2- y2 - 2x + 2y
b] 2x + 2y - x2 - xy
c] 3a2- 6ab + 3b2 - 12c2
d] x2 - 25 + y2 + 2xy
e] a2+ 2ab + b2 - ac - bc
f] x2 - 2x - 4y2 - 4y
g] x2y - x3- 9y + 9x
h] x2[x -1] + 16[1- x]
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1] 4x2 – 25 + [2x + 7][5 – 2x]
2] 3[x+ 4] – x2 – 4x
3] 5x2 – 5y2 – 10x + 10y
4] x2 – xy + x – y
5] ax – bx – a2 + 2ab – b2 \
6] x2 + 4x – y2 + 4
7] x3 – x2 – x + 1
8] x4 + 6x2y + 9y2 - 1
9] x3 + x2y – 4x – 4y
10] x3 – 3x2 + 1 – 3x
11] 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2
12] x2 – 2x – 15
13] 2x2 + 3x – 5
14] 2x2 – 18
15] x2 – 7xy + 10y2
16] x3 – 2x2 + x – xy2
Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. x2+ 2xy – 8y2+ 2xz + 14yz – 3z2
2. 3x2– 22xy – 4x + 8y + 7y2+ 1
3. 12x2+ 5x – 12y2+ 12y – 10xy – 3
4. 2x2– 7xy + 3y2+ 5xz – 5yz + 2z2
5. x2+ 3xy + 2y2+ 3xz + 5yz + 2z2
6. x2– 8xy + 15y2+ 2x – 4y – 3
7. x4– 13x2+ 36
8. x4+ 3x2– 2x + 3
9. x4+ 2x3+ 3x2 + 2x + 1
Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1. [a – b]3+ [b – c]3+ [c – a]3
2. [a – x]y3– [a – y]x3– [x – y]a3
3. x[y2– z2] + y[z2– x2] + z[x2 – y2]
4. [x + y + z]3– x3– y3 – z3
5. 3x5– 10x4– 8x3 – 3x2 + 10x + 8
6. 5x4+ 24x3– 15x2 – 118x + 24
7. 15x3+ 29x2– 8x – 12
8. x4– 6x3+ 7x2 + 6x – 8
9. x3+ 9x2+ 26x + 24
Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. a[b + c][b2– c2] + b[a + c][a2– c2] + c[a + b][a2 – b2]
2. ab[a – b] + bc[b – c] + ca[c – a]
3. a[b2– c2] – b[a2– c2] + c[a2 – b2]
4. [x – y]5+ [y – z]5+ [z – x]5
5. [x + y]7– x7– y7
6. ab[a + b] + bc[b + c] + ca[c + a] + abc
7. [x + y + z]5– x5– y5 – z5
8. a[b2+ c2] + b[c2+ a2] + c[a2 + b2] + 2abc
9. a3[b – c] + b3[c – a] + c3[a – b]
10. abc – [ab + bc + ac] + [a + b + c] – 1
.......................
Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết
Cập nhật: 24/06/2021
1. a] Điền vào chỗ trống để viết 3x$^{2}$ - 6x thành một tích của những đa thức:
3x$^{2}$ - 6x = 3x .......... - 3x.2 = 3x[x - ............].
Trả lời:
3x$^{2}$ - 6x = 3x.x - 3x.2 = 3x[x - 2].
b] Đọc kĩ nội dung sau
- Phân tích đa thức thành nhân tử [hay thừa số] là biến đổi đa thức đó thành một tich của những đa thức.
c] Thực hiện các yêu cầu sau:
- Phân tích các đa thức thành nhân tử:
2x$^{3}$ - x; 3x$^{2}$y$^{2}$ + 12x$^{2}$y - 15xy$^{2}$;
5x$^{2}$[x - 1] - 15x[x - 1]; 3x[x - 2y] + 6y[2y - x].
Trả lời:
2x$^{3}$ - x = x[2x$^{2}$ - 1];
3x$^{2}$y$^{2}$ + 12x$^{2}$y - 15xy$^{2}$ = 3xy[xy + 4x - 5y];
5x$^{2}$[x - 1] - 15x[x - 1] = [x - 1][5x$^{2}$ - 15x] = 5x[x - 3][x - 1];
3x[x - 2y] + 6y[2y - x] = 3x[x - 2y] - 6y[x - 2y] = 3[x - 2y][x - 2y] = 3[x - 2y]$^{2}$
- Tìm x sao cho 2x$^{2}$ - 6x = 0.
Trả lời:
2x$^{2}$ - 6x = 0 $\Leftrightarrow$ 2x[x - 3] = 0 $\Leftrightarrow$ 2x = 0 hoặc x - 3 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 3.
Vậy x = 0 hoặc x = 3.
d] Chú ý:
- Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử. Lưu ý đên các tính chất: A = - [-A] và A - B = - [B - A]
2. a] Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x$^{2}$ - 6x + 9; 4x$^{2}$ - 36; 8 - x$^{3}$.
Trả lời:
x$^{2}$ - 6x + 9 = x$^{2}$ - 2.x.3 + 3$^{2}$ = [x - 3]$^{2}$;
4x$^{2}$ - 36 = [2x]$^{2}$ - 6$^{2}$ = [2x - 6][2x + 6];
8 - x$^{3}$ = 2$^{3}$ - x$^{3}$ = [2 - x][4 - 2x + x$^{2}$].
b] Đọc kĩ nội dung sau
- Trong nhiều trường hợp, ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản.
- Ta gọi cách làm đó là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
c] Phân tích đa thức A = [2n + 3]$^{2}$ - 9 thành nhân tử. Từ đó chứng tỏ rằng A chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.
Trả lời:
A = [2n + 3]$^{2}$ - 9 = 4n$^{2}$ + 12n + 9 - 9 = 4n[n + 3] luôn chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 19 toán VNEN 8 tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a] 5x - 15y; b] $\frac{3}{5}$x$^{2}$ + 5x$^{4}$ - x$^{2}$y;
c] 14x$^{2}$y$^{2}$ - 21xy$^{2}$ + 28x$^{2}$y; d] $\frac{2}{7}$x[3y - 1] - $\frac{2}{7}$y[3y - 1];
e] x$^{3}$ - 3x$^{2}$ + 3x - 1; f] [x + y]$^{2}$ - 4x$^{2}$;
g] 27x$^{3}$ + $\frac{1}{8}$; h] [ x + y]$^{3}$ - [x - y]$^{3}$.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 19 toán VNEN 8 tập 1
Tìm x, biết:
a] x$^{2}$[x + 1] + 2x[x + 1] = 0; b] x[3x - 2] - 5[2 - 3x] = 0;
c] $\frac{4}{9}$ - 25x$^{2}$ = 0; d] x$^{2}$ - x + $\frac{1}{4}$ = 0.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 19 toán VNEN 8 tập 1
Tính nhanh giá trị của các biểu thức sau:
a] 17.91,5 + 170.0,85; b] 2016$^{2}$ - 16$^{2}$;
c] x[x - 1] - y[1 - x] tại x = 2001 và y = 2999.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 19 toán VNEN 8 tập 1
Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
a] [x + 2]$^{2}$ - 2[x + 2][x - 8] + [x - 8]$^{2}$; b] [x + y - z - t]$^{2}$ - [z + t - x - y]$^{2}$.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 19 toán VNEN 8 tập 1
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có n$^{3}$ - n luôn chia hết cho 6.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 19 toán VNEN 8 tập 1
Tìm các cặp số nguyên [x; y] sao cho: x + 3y = xy + 3.
=> Xem hướng dẫn giải
Từ khóa tìm kiếm: Giải bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức, Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức trang 17 vnen toán 8, bài 6 sách vnen toán 8 tập 1, giải sách vnen toán 8 tập 1 chi tiết dễ hiểu.