Cho $A[1;1;1]; B[2;3;-1]; C[1;4;4]$. Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đi qua 3 điểm $A,B,C$ tại $A$.
ta dược phương trinh đường thẳng qua A[1;1;1] và có vectơ pháp tuyến là $\vec AI \ $.
firmitebg.com: Qua bài Phương trình đường tròn cùng tìm hiểu các kiến thức về phương trình đường tròn, các dạng bài tập thường gặp và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.
Bạn đang xem: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
Liên Hệ Cung Và Dây Chu Vi Hình Tròn Diện Tích Hình Tròn Độ Dài Cung Tròn Tiếp Tuyến Của Đường Tròn Góc Có Đỉnh Ở Bên Trong Đường Tròn. Góc Có Đỉnh Ở Bên Ngoài Đường Tròn Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Tròn
Phương Trình Đường Tròn Ngoại Tiếp Tam Giác Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn Phương Trình Đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác
Xét đường tròn tâm I[a, b] có bán kính R, ta có phương trình đường tròn là:
[x - a]² + [y - b]² = R²Xét phương trình tổng quát của đường tròn tâm I[a, b] có bán kính R là:
II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Xét đường tròn tâm I[a, b], cho điểm \[ M_o[x_o; y_o]\] thuộc đường tròn [I], gọi ∆ là tiếp tuyến với [I] tại Mo, ta có phương trình tiếp tuyến ∆:
[∆]: \[ [x_o-a].[x-x_o]+[y_o-b].[y-y_o]=0\]III. CÁCH DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn.
Cách 1:
Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: [C] [x - a]² + [y - b]² = m.
Bước 2: Xét m:
Nếu m Nếu m > 0 ⇒ [C] là phương trình đường tròn tâm I[a, b] có bán kính \[ R= \sqrt{m}\].Cách 2:
Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: [C] x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Bước 2: Xét m = a² + b² - c:
Nếu m ≤ 0 ⇒ [C] không phải là phương trình đường tròn.Nếu m > 0 ⇒ [C] là phương trình đường tròn tâm I[a, b] có bán kính \[ R= \sqrt{a^2+b^2-c}\].Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trước
Cách 1:
Bước 1: Tìm tọa độ tâm I[a; b] của đường tròn [C] đi qua 2 điểm A, B cho trước ⇔ IA² = IB² = R².
Bước 2: Dựa vào tọa độ tâm I tìm được bán kính R đường tròn [C]: IA² = IB² = R².
Bước 3: Viết phương trình [C] có dạng: [x – a]² + [y – b]² = R².
Cách 2:
Bước 1: Ta có phương trình tổng quát đường tròn [C] cần tìm là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Bước 2: Từ điều kiện của bài toán đã cho thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c.
Bước 3: Giải hệ phương trình tìm a, b, c thay vào phương trình đường tròn [C]: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Dạng 3:Viết phương trình đường tròn khi tiếp xúc với đường thẳng cho trước.
Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến đường tròn:
Đường tròn [C] tiếp xúc với đường thẳng [Δ] d[I,Δ] = R.Đường tròn [C] tiếp xúc với đường thẳng [Δ] tại điểm A ⇔ d [I,Δ] = IA = R.Đường tròn [C] tiếp xúc với 2 đường thẳng [Δ1] và [Δ2] ⇔ d [I,Δ1] = d [I,Δ2] = R.Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết phương trình đường tròn cho trước.
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến [∆] của đường tròn tại điểm \[ M_o[x_o; y_o]\] thuộc đường tròn [C] cho trước:
Bước 1: Tìm tọa độ tâm I[a; b] của đường tròn [C] cho trước.
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến với [C] tại \[ M_o[x_o; y_o]\] có dạng: \[ [x_o-a].[x-x_o]+[y_o-b].[y-y_o]=0\]
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến [∆] của đường tròn khi chưa biết tiếp điểm:
Dựa vào tính chất của tiếp tuyến đường tròn [C] tâm I, bán kính R ⇔ d [I, ∆] = R.
Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC
Ví dụ: Phương trình đường tròn [C] đi qua 3 điểm A[4;-1], B[0;3], C[4;7]. Lập phương trình tiếp tuyến [∆] tại điểm A.
Xem thêm: Bài Thu Hoạch Nghị Quyết Đại Hội Đại Biểu Toàn Quốc Lần Thứ Xii Của Đảng
Lời giải tham khảo:
Ta có phương trình tổng quát đường tròn [C] có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Vì [C] đi qua 3 điểm A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào phương trình đường tròn [C] ta có hệ sau:
\[\left\{\begin{matrix} 4^2 + [-1]^2 – 2a.4 – 2b.[-1] + c = 0\\ 0^2 + 3^2 – 2a.0 – 2b.3 + c = 0\\ 4^2 + 7^2 – 2a.4 – 2b.7 + c = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -8a+2b+c=-17\\ -2b+c=-9\\ -8a-14b+c=-65 \end{matrix}\right. \]
Phương trình đường tròn có hai dạng là: Dạng chính tắc và dạng tổng quát. Việc lựa chọn phương trình dạng nào phụ thuộc vào điều kiện bài toán cho. Với bài toán lập phương trình đường tròn khi biết tâm I và tiếp xúc với một đường thẳng d cho trước như dưới đây, thầy sẽ hướng dẫn các bạn trình bày theo hai cách:
Cách 1: Sử dụng sự tương giao của đường tròn [C] và đường thẳng [d] ta lập một phương trình bậc 2. Điều kiện tiếp xúc là phương trình bậc 2 này phải có nghiệm kép => R=?
Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của [d] và [C] nên khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng [d] bằng bán kính => R=?
Xem thêm bài giảng:
Bài toán:
Lập phương trình đường tròn [C] có tâm $I[5;6]$ và tiếp xúc với đường thẳng d có phương trình là: $\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y}{3}$
Ta có thể giải bài toán này theo hai cách:
Cách 1: Chuyển phương trình đường thẳng [d] về dạng tham số ta được:
$\left\{\begin{array}{ll}x=2+4t\\y=3t\end{array}\right.[t\in R]$
Đường tròn [C] có tâm I[5 ;6] và bán kính R có phương trình chính tắc là:
$[x-5]^2+[y-6]^2=R^2$ [1]
Thay x và y từ phương trình tham số của [d] vào [C] ta được :
$[2+4t-5]^2+[3t-6]^2=R^2$
$[4t-3]^2+[3t-6]^2=R^2$
$25t^2-60t+45-R^2=0$ [2]
Đường tròn [C] tiếp xúc với đường thẳng [d] khi và chỉ khi phương trình [2] có nghiệm kép.
$\Delta’=0$
$30^2-25[45-R^2]=0$
$25R^2=225$
$R^2=9$
$R=3$
Thay R=3 vào phương trình [1] ta có phương trình đường tròn [C] là :
$[x-5]^2+[y-6]^2=9$
Cách 2 : Chuyển phương trình của đường thẳng [d] về dạng tổng quát, ta được :
[d] : $3x-4y-6=0$
Gọi R là bán kính của đường tròn [C]. [C] tiếp xúc với [d] khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của đường tròn tới đường thẳng [d] bằng bán kính R.
Ta có : $R=d[I,d]=\dfrac{|3.5-4.6-6|}{\sqrt{9+16}}=3$
Vậy phương trình của đường tròn [C] là : $[x-5]^2+[y-6]^2=9$
Bài giảng này thầy đã hướng dẫn các bạn tiếp cận bài toán lập phương trình đường tròn khi biết tâm và tiếp xúc với đường thẳng d cho trước theo hai hướng như trên. Nếu bạn nào có thêm hướng giải khác thì hãy comment ngay dưới khung bình luận, thầy và các bạn sẽ cùng nhau thảo luận thêm.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ