Khái niệm hàm số - lý thuyết nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

1. Khái niệm hàm số

* Định nghĩa:Nếu đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.

* Hàm số thường được kí hiệu bởi những chữ \(f, g, h...\), chẳng hạn khi y là một hàm số của biến số x, ta viết \(y = f(x)\) hoặc \(y = g(x),...\)

+) \(f(a)\) là giá trị của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x = a.\)

Khi hàm số y được cho bởi công thức y = f(x), muốn tính giá trị f(a) của hàm số tại x = a, ta thay x = a vào biểu thức f(x) rồi thực hiện các phép tính trong biểu thức.

+) Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là một hàm hằng.

2. Đồ thị của hàm số

Tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị của hàm số \(y = f(x).\)

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc tập số thực R. Với x1, x2 tùy ý thuộc R:

a) Nếu x1< x2 mà f(x1 ) < f(x2 ) thì hàm số y=f(x) được gọi là hàm đồng biến trên \(\mathbb R.\)

b) Nếu x1< x2 mà f(x1 ) > f(x2 ) thì hàm số y=f(x) được gọi là hàm nghịch biến trên\(\mathbb R.\)

Chú ý: Cho hàm số y = ax + b

+ Nếu a > 0 thì hàm số y =ax+ b đồng biến trên R

+ Nếu a < 0 thìhàm số y =ax+ b nghịch biến trên R

+ Nếu a = 0 thì hàm số là hàm hằng y = b

4. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Tính giá trị của hàm số tại một điểm

Để tính giá trị \({y_0}\)của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) ta thay \(x = {x_0}\) vào \(f\left( x \right)\), ta được \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\).

Ví dụ: Giá trị của hàm số\(y = f\left( x \right) = 2x - 3\) tại \(x=2\) là\(f\left( 2 \right) = 2.2 - 3 = 1\)

Dạng 2 : Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.

Bước 2: Giả sử \({x_1} < {x_2}\) và \({x_1},{x_2} \in D\). Xét hiệu \(H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)\).

+ Nếu \(H < 0\) thì hàm số đồng biến trên \(D\)

+ Nếu \(H > 0\) thì hàm số nghịch biến trên \(D\)

Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=f(x)=3x+1\)

Cách giải:

Hàm số xác định với mọi \(x\in \mathbb R\)

Giả sử \({x_1} < {x_2}\) và \({x_1},{x_2} \in \mathbb R\)

Ta có:

\(f\left( {{x_1}} \right) = 3{x_1}+1\)

\(f\left( {{x_2}} \right) = 3{x_2}+1\)

Suy ra \(f(x_1)-f(x_2)=3x_1+1-(3x_2+1)\)\(=3(x_1-x_2)<0\) (vì\(x_{1} < x_{2} \) nên \(x_{1} - x_{2}<0)\)

Hay \(f(x_1)

Vậyvới\(x_{1} < x_{2}\)ta được \(f(x_1) < f(x_2)\)nên hàm số \(y =f(x)= 3x+1\)đồng biến trên \(\mathbb{R}\).