- LG a
- LG b
- LG c
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
LG a
\[y = \left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\sin 2x + \cos 2x\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]^2} + {1^2} = 4 - 4\sqrt 3 + 3 + 1\\
= 8 - 4\sqrt 3 = 4\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\\
\Rightarrow y = 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \left[ {\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\sin 2x + \frac{1}{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\cos 2x} \right]\\
= 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \sin \left[ {2x + \alpha } \right]
\end{array}\]
với \[\alpha \] thỏa mãn
\[\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\\
\sin \alpha = \frac{1}{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}
\end{array} \right.\]
Do đó\[ - 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \le y \le 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \]
Vậy giá trị lớn nhất là \[2\sqrt {2 - \sqrt 3 } ,\] giá trị nhỏ nhất là \[ - 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } .\]
LG b
\[y = {\left[ {\sin x - \cos x} \right]^2} + 2\cos 2x + 3\sin x\cos x\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[y = {\left[ {\sin x - \cos x} \right]^2} + 2\cos 2x + 3\sin x\cos x \]
\[\begin{array}{l}
= {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x + 2\cos 2x + \frac{3}{2}.2\sin x\cos x\\
= 1 - \sin 2x + 2\cos 2x + \frac{3}{2}\sin 2x
\end{array}\]
\[= 1 + {1 \over 2}\sin 2x + 2\cos 2x.\]
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x\\
= \frac{{\sqrt {17} }}{2}\left[ {\frac{1}{{\sqrt {17} }}\sin 2x + \frac{4}{{\sqrt {17} }}\cos 2x} \right]\\
= \frac{{\sqrt {17} }}{2}\sin \left[ {2x + \alpha } \right]
\end{array}\]
với \[\alpha\] thỏa mãn
\[{\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\\
\sin \alpha = \frac{4}{{\sqrt {17} }}
\end{array} \right.}\]
Mà\[ - 1 \le \sin \left[ {2x + \alpha } \right] \le 1\] nên\[ - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\sin \left[ {2x + \alpha } \right] \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\]
Do đó:
\[\begin{array}{l}
- \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le 1 + \frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le 1 + \frac{{\sqrt {17} }}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le y \le 1 + \frac{{\sqrt {17} }}{2}
\end{array}\]
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \[1 + {{\sqrt {17} } \over 2}\] và \[1 - {{\sqrt {17} } \over 2}\].
LG c
\[y = \left[ {\sin x + 2\cos x} \right]\left[ {2\sin x + \cos x} \right] - 1\]
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\eqalign{
& y = \left[ {\sin x - 2\cos x} \right]\left[ {2\sin x + \cos x} \right] - 1 \cr&= 2\left[ {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right] - 3\sin x\cos x - 1 \cr
& = - 1 - {3 \over 2}\sin 2x - 2\cos 2x \cr} \]
\[ = - 1 - \left[ {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right]\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x\\
= \frac{5}{2}\left[ {\frac{3}{5}\sin 2x + \frac{4}{5}\cos 2x} \right]\\
= \frac{5}{2}\sin \left[ {2x + \alpha } \right]
\end{array}\]
với \[\alpha \] thỏa mãn \[{\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{3}{5}\\
\sin \alpha = \frac{4}{5}
\end{array} \right.}\]
Mà
\[\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left[ {2x + \alpha } \right] \le 1\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{5}{2}\sin \left[ {2x + \alpha } \right] \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - 1 + \frac{5}{2} \ge - 1 - \left[ {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right] \ge - 1 - \frac{5}{2}\\
\Rightarrow \frac{3}{2} \ge y \ge - \frac{7}{2}
\end{array}\]
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \[{3 \over 2}\] và \[ - {7 \over 2}\]