- LG a
- LG b
Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :
LG a
\[\eqalign{ & \;\;d:{{x - 2} \over 2} = {{y - 3} \over 3} = {{z + 4} \over { - 5}},\cr&\;\;\;\;\;d':{{x + 1} \over 3} = {{y - 4} \over { - 2}} = {{z - 4} \over { - 1}}\cr} \]
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Ta có \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {2;3; - 5} \right],\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left[ {3; - 2; - 1} \right].\]
Khi đó vì \[\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left[ { - 13; - 13; - 13} \right]\] nên đường vuông góc chung \[\Delta \] có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left[ {1;1;1} \right].\]
Gọi \[\left[ \alpha \right]\] là mặt phẳng chứadvà \[\Delta \] thì \[\left[ \alpha \right]\] đi qua \[{M_o}[2;3; - 4]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow u } \right] = \left[ {8, - 7, - 1} \right].\]
Có phương trình của mp\[\left[ \alpha \right]\] là: \[8\left[ {x - 2} \right] - 7\left[ {y - 3} \right] - 1\left[ {z + 4} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow 8x - 7y - z + 1 = 0.\]
Gọi \[\left[ \beta \right]\] là mặt phẳng chứa \[d'\] và \[\Delta \] thì \[\left[ \beta \right]\] đi qua điểm \[M_o'\left[ { - 1;4;4} \right]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left[ {1;4; - 5} \right].\]
Phương trình của mp\[\left[ \beta \right]\] là :\[1\left[ {x + 1} \right] + 4\left[ {y - 4} \right] - 5\left[ {z - 4} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow x + 4y - 5z + 5 = 0.\]
Vậy đường vuông góc chung \[\Delta \] của \[d\] và \[d'\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] và \[\left[ \beta \right]\] . Nó có phương trình tham số là:
\[\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\]
Cách 2:Điểm \[M \in d\] có toa độ là \[M = \left[ {2 + 2t;3 + 3t; - 4 - 5t} \right].\]
Điểm \[N \in d'\] có toa độ là \[N = \left[ { - 1 + 3t';4 - 2t';4 - t'} \right]\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left[ { - 3 + 3t' - 2t;1 - 2t' - 3t;8 - t' + 5t} \right].\]
MNlà đường vuông góc chung của \[d\] và \[d'\] khi và chỉ khi
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0 \hfill \cr} \right.\]
Suy ra \[M = \left[ {0;0;1} \right],N = \left[ {2;2;3} \right] \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left[ {2;2;2} \right].\]
Vậy phương trình chính tắc của đường vuông góc chung \[\Delta \] là
\[{x \over 1} = {y \over 1} = {{z - 1} \over 1}.\]
LG b
\[\eqalign{ & \;\;d:\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = 1 - t \hfill \cr z = 2t \hfill \cr} \right.,d':\left\{ \matrix{ x = 2 - 2t'. \hfill \cr y = 3 \hfill \cr z = t'. \hfill \cr} \right. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
\[{{x - 2} \over 1} = {{y - 3} \over 5} = {z \over 2}.\]