Vị trí tương đối của hai đường tròn
Vị trí tương đối của hai đường tròn
1. Cho hai đường tròn \[\left[ O;R \right]\] và \[\left[ O;R \right]\] khi đó dựa vào khoảng cách \[OO\] và \[R;R\]ta có các khả năng sau:
2. Nếu \[OO=\text{ }R-R\] với \[R>R\] thì hai đường tròn này tiếp xúc trong.
3. Nếu \[OO=\text{ }R+R\] thì hai đường tròn có một điểm chung và điểm này là giao điểm của \[OO\] và hai đường tròn. Ta gọi hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
4. Nếu \[OO
5. Nếu \[OO>R+R\] thì hai đường tròn không cắt nhau và ngoài nhau.
6. \[OO
7. Hai đường tròn đồng tâm là hai đường tròn có cùng tâm.
8.
Nếu có hai đường tròn thì tiếp tuyến chung của chúng và đường nối tâm \[OO\] đồng quy. – Nếu đồng quy bên trong đoạn \[OO\] thì gọi là tiếp tuyến chung trong. – Nếu đồng quy bên ngoài đoạn \[OO\] thì gọi là tiếp tuyến chung ngoài.
– Điếm đồng quy này chia \[OO\] theo tỉ lệ bằng tỉ lệ hai bán kính.
Bài tập:
1. Hãy điền vào bảng sau vị trí giữa \[\left[ O;R \right]\] và \[\left[ O;R \right]\] biết:
2. Cho hai đường tròn \[\left[ A;\text{ }{{R}_{1}} \right];\text{ }\left[ B;\text{ }{{R}_{2}} \right]\] và \[\left[ C;{{R}_{3}} \right]\] đôi một tiếp xúc ngoài nhau.
Tính \[{{R}_{1}}\text{; }{{R}_{2}}\] và \[{{R}_{3}}\] biết \[AB=5cm;\text{ }AC=6cm\] và \[BC=7cm.\]
3. Cho hai đường tròn \[\left[ O;5cm \right]\] và \[\left[ O;5cm \right]\] cắt nhau tại \[A\] và \[B.\]Tính độ dài
dây cung chung \[AB\] biết \[OO=\text{ }8cm.\]
4. Cho \[\left[ O;R \right]\] và đường tròn \[\left[ O;R \right]\] cắt nhau tại \[A\] và \[B\] với \[R>R.\] Vẽ các
đường kính \[AOC\] và \[AOD.\] Chứng minh ba diêm B; C và D thẳng hàng.
5. Cho hai đường tròn \[\left[ O \right]\] và \[\left[ O \right]\] cắt nhau tại \[A\] và \[B\] ; vẽ cát tuyến chung \[MAN~~\] sao cho \[MA=AN.\] Đường vuông góc với \[MN\] tại A căt \[OO\] tại I. Chứng minh I là
trung điểm của \[OO\].
6. Cho hai đường tròn \[\left[ O;R \right]\] và \[\left[ O;R \right]\] tiếp xúc ngoài nhau tại A. Gọi \[M\] là giao điểm
một trong hai tiếp tuyến chung ngoài \[BC\] và tiếp tuyến chung trong, chứng minh \[BC\] là tiếp tuyến cùa đường tròn đường kính \[\text{OO }\!\!'\!\!\text{ }\] tại \[M\].
7. Hai đường tròn \[\left[ O;R \right]\] và \[\left[ O;R \right]\] bằng nhau và tiếp xúc ngoài tại \[M\]. Đường
tròn \[\left[ O \right]\] và \[\left[ O \right]\] cùng tiêp xúc trong với đường tròn lớn \[\left[ O;R \right]\] lần lượt tại \[E\]
và \[F.\] Tính bán kính \[R\] biết chu vi tam giác \[OOO\] là 20cm.
8. Cho đường tròn \[\left[ O;9cm \right];\] vẽ 6 hình tròn bằng nhau bản kính \[R\] đều tiếp xúc
trong với \[\left[ O \right]\] và mỗi đường tròn đều tiếp xúc với hai đường khác bên cạnh nó.
Tính bán kính \[R.\]
9. Cho hai đường tròn đồng tâm; trong đường tròn lớn vẽ hai dây cung \[AB=CD\]
và cùng tiếp xúc với đường tròn nhò tại \[M\] và \[N\] sao cho \[AB\bot CD\] tại \[I.\] Tính
bán kính đường tròn nhỏ biết \[IA=3cm\] và \[IB=9cm.\]
Bài viết gợi ý:
ConKec xin gửi tới các bạn bài học Cách giải bài toán dạng: Hai đường tròn tiếp xúc nhau, cắt nhau lớp 9. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải dạng toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình.
- [O, R] và [O', R'] cắt nhau [O] và [O'] có hai điểm chung |R - R'| < d < R + R'
- [O, R] và [O', R'] tiếp xúc nhau [O] và [O'] có một điểm chung d = |R - R'| hoặc d = R + R'
- [O, R] và [O', R'] không giao nhau [O] và [O'] không có điểm chung d > R + R' hoặc d < |R - R'|
- Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn.
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp diểm nằm trên đường nối tâm.
- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
- Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
- Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.
Ví dụ 1: Cho [O] tiếp xúc trong với [O'] tại A [[O] nằm bên trong [O']]. Qua A kẻ một cát tuyến bất kì cắt [O] tại B và [O'] tại C. Chứng minh rằng OB // O'C.
Hướng dẫn:
Đường tròn [O] tiếp xúc trong với đường tròn [O'] tại A nên A nằm trên OO'.
=> Góc A là góc chung của hai tam giác O'AC và OAB.
Vì O'A = O'C [cùng bằng bán kính [O']] => Tam giác O'AC cân tại O' => $\widehat{A}=\widehat{C}$ [1]
OA = OB [bán kính [O]] => Tam giác OAB cân tại O => $\widehat{A}=\widehat{B}$ [2]
Từ [1] và [2] => $\widehat{B}=\widehat{C}$
Vậy OB // O'C [vì có cặp góc đồng vị bằng nhau]
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn [O1] và [O2] cắt nhau tại A và B. Gọi I là trung điểm của O1O2. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IA, cắt [O1] tại C và [O2] ở D [khác A]. Chứng minh rằng CA = AD.
Hướng dẫn:
Kẻ O1H $\perp $ CD, O2H $\perp $ CD thì O1H // IA // O2K [1]
O1H vuông góc với dây CA của [O1] nên CH = HA = $\frac{CA}{2}$
O2K vuông góc với dây AD của [O2] nên AK = KD = $\frac{AD}{2}$
Lại có O1I = IO2 [theo giả thiết] [2]
Từ [1] và [2] suy ra O1H, IA, O2K là ba đường thẳng song song cách đều nên AH = AK CA = AD
Trong chương trình lớp 9, các em sẽ gặp một bài học về vị trí tương đối của hai đường tròn. Bài học này vô cùng quan trọng không chỉ ở trong chương học của lớp 9 mà còn trong các bài thi chuyển cấp. Chính vì thế, hôm nay Toppy sẽ giới thiệu cho các em lý thuyết và một số dạng bài tập thường gặp, hướng dẫn cách làm qua đó giúp các em qua môn và vượt cấp dễ dàng hơn nhé.
Đường nối tâm
Trước tiên, chúng ta sẽ xem đường nối tâm là đường như thế nào. Cùng xét hai đường tròn có tâm không trùng nhau, trong đó O là tâm của hình tròn số 1 và O’ là tâm của đường tròn số 2. Đường nối tâm chính là đường thẳng giữa tâm O và tâm O’. Và đoạn nối tâm chính là đoạn OO’.
Hơn thế nữa, đường kính là trục đối xứng của mỗi đường tròn nên đường nối tâm cũng chính là trục đối xứng của hình gồm hai đường tròn đó
Ba vị trí tương đối của hai đường tròn
Khi xét vị trí tương đối của hai đường tròn [O;R] và [O’, r] R>r; chúng ta tìm thấy ba vị trí tương đối như sau:
Hai đường tròn cắt nhau
Đây là vị trí đầu tiên được nhắc đến khi nói về vị trí tương đối của 2 hình tròn.
Hình ảnh hai đường tròn cắt nhau
Hai đường tròn cắt nhau khi có hai điểm chung. Trong trường hợp này A và B là hai giao điểm, đoạn thẳng AB là dây chung, O1, O2 là đường nối tâm, đoạn thẳng O1O2 là đoạn nối tâm. Khi đặt O1A = R; O2A = r khi đó: |R – r| < O1O2 < R + r.
Cũng theo tính chất của vị trí tương đối nêu ở trên, đường nối tâm là đường trung trục của dây chung.
Hai đường tròn tiếp xúc nhau
Một vị trí tương đối khác chính là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Trong trường hợp này, có thể vẽ thành 2 trường hợp. Một trường hợp chính là hai đường tròn không thuộc nhau và có tiếp xúc tại 1 điểm. Trường hợp thứ hai chính là đường tròn [O2,r] thuộc đường tròn [O1,R] và có tiếp xúc tại 1 điểm A.
Hình ảnh về hai đường tròn tiếp xúc nhau
Như vậy, hai đường tròn tiếp xúc nhau khi nó có 1 điểm chung duy nhất. Khi đó, A được gọi là tiếp điểm. Và hai trường hợp ở trên được gọi như sau: trường hợp 1 là tiếp xúc ngoài tại A: O1O2 = R + r và tiếp xúc trong tại A: O1O2 = |R – r|.
Hai đường tròn không giao nhau
Hình ảnh hai đường tròn không giao nhau trong vị trí tương đối của hai đường tròn
Vị trí tương đối thứ ba có thể gặp chính là hai đường tròn không hề giao nhau, tức là không có bất kỳ một điểm chung nào.
Có 3 trường hợp xảy ra, hoặc là hai đường tròn ngoài nhau: O1O2 > R + r; hoặc là hai đường tròn đựng nhau: O1O2 < |R – r|; hoặc là hai đường tròn đồng tâm O1O2 = 0.
Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Tương tự như vị trí tương đối của hai đường tròn, toán 9 vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn cũng có 3 vị trí như sau:
- Đường thẳng và đường tròn cắt nhau: Xảy ra khi đường thẳng có 2 điểm chung với đường tròn. Lúc này, đường thẳng cắt đường tròn ở 2 vị điểm phân biệt
Hình ảnh đường tròn và đường thẳng cắt nhau
- Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau: xảy ra khi đường thẳng có một điểm chung với đường tròn.
- Đường thẳng và đường tròn không giao nhau: lúc này, đường thẳng và đường tròn không có điểm chung. Khi đó OH>R.
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Một nội dung tiếp theo trong bài học vị trí tương đối của hai đường tròn chính là hiểu về định nghĩa của tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Ở đây có thể hiểu là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm. Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
Số tiếp tuyến chung của hai đường tròn ở một số vị trí tương đối như sau:
- Hai đường tròn cắt nhau: 2 tiếp tuyến chung ngoài.
- Hai đường tròn tiếp xúc ngoài: 2 tiếp tuyến chung ngoài và 1 tiếp tuyến chung trong.
- Hai đường tròn tiếp xúc trong: 1 tiếp tuyến chung.
- Hai đường tròn ở ngoài nhau: 2 tiếp tuyến chung ngoài và 2 tiếp tuyến chung trong.
- Hai đường tròn chứa nhau và hai đường tròn đồng tâm: không có tiếp tuyến chung.
Các dạng bài tập phổ biến
Với bài học này, có 4 dạng bài phổ biến như sau:
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Với dạng bài 1, phương pháp giải chính là xác định độ dài đoạn nối tâm, sau đó xác định hệ thức liên hệ giữa độ lớn các bán kính và độ dài đoạn nối tâm
Dạng 2: Bài toán với hai đường tròn tiếp xúc nhau
Bài toán vẽ hình cũng khá phổ biến trong các bài tập liên quan. Để làm được bài toán này, các em cần vẽ đường nối tâm, sử dụng tính chất của tiếp điểm trên đường nối tâm; đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn, sử dụng hệ thức là độ dài đoạn nối tâm.
Trong trường hợp cần thiết, các em cũng có thể vẽ tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để sử dụng tính chất đặc trưng của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Dạng 3: Bài toán với hai đường tròn cắt nhau
Để giải được các bài toán dạng này, các em vẽ dây chung, vẽ đường nối tâm. Sau đó, chỉ cần sử dụng tính chất của đường nối tâm là trung trực của dây chung là ra đáp án. Bài toán này các em chỉ cần nắm vững kiến thức lý thuyết là có thể giải được.
Dạng 4: Chứng minh các quan hệ hình học [song song, vuông góc, thẳng hàng…]
Đây là dạng bài tương đối phổ biến và các em thường gặp. Lúc này, hãy xác định vị trí tương đối của hai hình tròn xem nó thuộc vị trí nào. Sau đóm hãy vận dụng các tính chất chung của tiếp tuyến, tiếp tuyến chung, dây vuông góc… để giải.
Như vậy, kiến thức của vị trí tương đối của hai đường tròn khá dài, mỗi vị trí lại có định nghĩa, đặc trưng riêng. Vì thế các em đừng nhầm lẫn các vị trí với nhau nhé.
Xem thêm:
Giải pháp toàn diện giúp con đạt điểm 9-10 dễ dàng cùng Toppy
Với mục tiêu lấy học sinh làm trung tâm, Toppy chú trọng việc xây dựng cho học sinh một lộ trình học tập cá nhân, giúp học sinh nắm vững căn bản và tiếp cận kiến thức nâng cao nhờ hệ thống nhắc học, thư viện bài tập và đề thi chuẩn khung năng lực từ 9 lên 10.
Kho học liệu khổng lồ
Kho video bài giảng, nội dung minh hoạ sinh động, dễ hiểu, gắn kết học sinh vào hoạt động tự học. Thư viên bài tập, đề thi phong phú, bài tập tự luyện phân cấp nhiều trình độ.Tự luyện – tự chữa bài giúp tăng hiệu quả và rút ngắn thời gian học. Kết hợp phòng thi ảo [Mock Test] có giám thị thật để chuẩn bị sẵn sàng và tháo gỡ nỗi lo về bài thi IELTS.
Học online cùng Toppy
Nền tảng học tập thông minh, không giới hạn, cam kết hiệu quả
Chỉ cần điện thoại hoặc máy tính/laptop là bạn có thể học bất cứ lúc nào, bất cứ nơi đâu. 100% học viên trải nghiệm tự học cùng TOPPY đều đạt kết quả như mong muốn. Các kỹ năng cần tập trung đều được cải thiện đạt hiệu quả cao. Học lại miễn phí tới khi đạt!
Tự động thiết lập lộ trình học tập tối ưu nhất
Lộ trình học tập cá nhân hóa cho mỗi học viên dựa trên bài kiểm tra đầu vào, hành vi học tập, kết quả luyện tập [tốc độ, điểm số] trên từng đơn vị kiến thức; từ đó tập trung vào các kỹ năng còn yếu và những phần kiến thức học viên chưa nắm vững.
Trợ lý ảo và Cố vấn học tập Online đồng hành hỗ trợ xuyên suốt quá trình học tập
Kết hợp với ứng dụng AI nhắc học, đánh giá học tập thông minh, chi tiết và đội ngũ hỗ trợ thắc mắc 24/7, giúp kèm cặp và động viên học sinh trong suốt quá trình học, tạo sự yên tâm giao phó cho phụ huynh.