Hướng dẫn
Cố gắng tìm trung tâm Trọng lực bằng phẳng số liệu bằng kinh nghiệm. Lấy một cây bút chì mới chưa gọt vỏ, đặt nó thẳng đứng. Đặt một hình phẳng lên trên nó. Đánh dấu điểm trên hình mà nó được giữ chắc chắn trên bút chì. Đây sẽ là trung tâm Trọng lực của bạn số liệu. Thay vì dùng bút chì, bạn chỉ cần sử dụng ngón trỏ kéo dài lên trên. Nhưng điều này, sau cùng, cần phải đảm bảo rằng ngón tay đứng thẳng, không lắc lư hoặc run rẩy.
Để chứng minh rằng điểm thu được là khối tâm, hãy tạo một lỗ trên đó bằng một chiếc kim. Luồn sợi chỉ qua lỗ, thắt nút ở một đầu - để sợi chỉ không bị bung ra. Giữ chặt đầu còn lại của sợi chỉ, treo phần thân lên đó. Nếu trung tâm Trọng lựcđúng, hình sẽ nằm chính xác, song song với sàn nhà. Các bên của cô ấy sẽ không lắc lư.
Tìm một trung tâm Trọng lực số liệu theo một cách hình học. Nếu bạn có một hình tam giác, hãy xây dựng trong đó. Các đoạn này nối các đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Điểm sẽ trở thành trung tâm khối lượng của tam giác. Bạn thậm chí có thể gấp hình làm đôi để tìm điểm giữa của một cạnh, nhưng hãy nhớ rằng điều này sẽ phá vỡ sự đồng nhất số liệu.
So sánh kết quả thu được về mặt hình học và thực nghiệm. Nói về tiến trình của thử nghiệm. Những sai sót nhỏ được coi là bình thường. Chúng được giải thích bởi sự không hoàn hảo số liệu, tính không chính xác của dụng cụ, yếu tố con người [sai sót nhỏ trong công việc, sự không hoàn hảo của mắt người, v.v.].
Nguồn:
- Tính tọa độ trọng tâm của hình phẳng
Tâm của hình có thể được tìm thấy theo nhiều cách, tùy thuộc vào dữ liệu về nó đã được biết. Điều đáng xem xét là tìm tâm của một đường tròn, là tập hợp các điểm nằm cách tâm một khoảng bằng nhau, vì hình này là một trong những hình phổ biến nhất.
Bạn sẽ cần
Hướng dẫn
Cách dễ nhất để tìm tâm của một hình tròn là uốn cong mảnh giấy được vẽ trên đó, đảm bảo rằng khi nhìn vào ánh sáng, nó được gấp chính xác làm đôi. Sau đó gấp tờ giấy vuông góc với nếp gấp đầu tiên. Vì vậy, bạn sẽ có được các đường kính, giao điểm của chúng là tâm của hình.
P1 = m1 * g, P2 = m2 * g;
Trọng tâm nằm giữa hai khối lượng. Và nếu toàn bộ cơ thể được treo ở t.O, giá trị của sự cân bằng sẽ đến, nghĩa là chúng sẽ không còn lớn hơn nhau.
Một loạt các hình dạng hình học có tính chất vật lý và tính toán về trọng tâm. Mỗi người có cách tiếp cận và phương pháp riêng.
Xem xét đĩa, chúng ta làm rõ rằng trọng tâm nằm bên trong nó, chính xác hơn là các đường kính [như thể hiện trong hình ở điểm C - giao điểm của các đường kính]. Theo cách tương tự, các tâm của một quả cầu song song hoặc một quả cầu đồng chất cũng được tìm thấy.
Đĩa đã trình bày và hai vật có khối lượng m1 và m2 có khối lượng đồng đều và hình dạng đều. Ở đây có thể lưu ý rằng trọng tâm mà chúng ta đang tìm kiếm nằm bên trong những vật thể này. Tuy nhiên, trong các vật thể có khối lượng không đồng nhất và hình dạng bất thường, trung tâm có thể nằm ở phía ngoài. Bản thân bạn cảm thấy rằng nhiệm vụ đã trở nên khó khăn hơn.
Thời trang dành cho “phụ nữ trông giống con trai” đã trôi qua từ lâu, nhưng nhiều người trong giới tính công bằng hơn vẫn muốn có một chiến lợi phẩm phẳng phiu. Mặc dù ngày nay nó là "thời trang" để thể hiện tất cả các tính dục nảy nở, một cơ thể hài hòa, đẹp và được đào tạo. Thật vậy, trong trường hợp này, một cặp mông đẹp là thành phần không thể thiếu của không chỉ phái đẹp mà cả vẻ đẹp nam giới.
Hướng dẫn
Để đít phẳng, bạn phải làm như sau. 1 bài tập "Nâng cao chân". Bài tập này có thể được thực hiện nhiều phiên bản. Đứng bằng bốn chân - về vị trí bắt đầu, sau đó luân phiên nhấc từng chân lên sao cho đùi song song với sàn. Khóa chân ở vị trí ép và thực hiện các chuyển động hướng lên trên. Đồng thời, chú ý cố định chân ở khớp cổ chân và khớp gối, cố gắng không thay đổi tư thế này.
Bài tập 2 "Nâng cao khung xương chậu" Nằm trên, đặt hai cánh tay của bạn song song với cơ thể và uốn cong đầu gối. Sau đó, nâng xương chậu lên khỏi sàn, gồng mạnh phần mông. Đồng thời, phần trên và tay không được chạm khỏi sàn, ở vị trí cũ, thực hiện các động tác hướng lên trên.
Bài tập 3 "Nâng người": Đứng thẳng, đặt hai bàn chân rộng bằng vai. Luân phiên nâng và hạ một đầu gối càng cao càng tốt. Khi nâng cao đầu gối, cố gắng giữ nguyên càng lâu càng tốt mà không di chuyển bằng một chân.
Bài tập 4 “Ngồi xổm với thu gọn xương chậu.” Đứng sao cho hai chân rộng hơn vai và hai bàn chân song song với nhau. Trong trường hợp này, chân trái nên hơi về phía sau bên phải. Sau đó ngồi xuống, dựa vào chân trái của bạn và thu hồi xương chậu của bạn về phía sau. Đồng thời duỗi thẳng tay trước mũi chân trái, giữ thẳng lưng. Sau đó đứng dậy, truyền toàn bộ trọng lượng sang chân phải, thu người về phía sau và nâng cao tay qua đầu, lặp lại bài tập này 10 lần, sau đó đổi chân.
Bài tập 5 "Lunge with a wheel" - Lao về phía trước, bắt đầu bằng chân trái, hơi xoay bàn chân theo chiều kim đồng hồ. Sau đó nghiêng người về phía trước từ hông. Đồng thời, dang rộng hai tay như thể bạn muốn làm một bánh xe. Giữ trong vài giây ở vị trí này, sau đó đứng lên, giữ nguyên vị trí của chân phải. Với bên trái của bạn, thực hiện một bước sang trái và xoay ngón chân ra ngoài. Ngồi xổm và nghiêng người sang trái.
Các video liên quan
Nguồn:
Theo nghĩa thông thường, trọng tâm được coi là điểm mà kết quả của tất cả các lực tác dụng lên cơ thể. Ví dụ đơn giản nhất là một chiếc xích đu dành cho trẻ em dưới dạng một tấm ván thông thường. Nếu không có bất kỳ tính toán nào, bất kỳ đứa trẻ nào cũng sẽ nhận sự hỗ trợ của tấm ván sao cho cân bằng [hoặc có thể nặng hơn] một người đàn ông nặng trên xích đu. Trong trường hợp các cơ quan và mặt cắt phức tạp, các tính toán chính xác và các công thức tương ứng là không thể thiếu. Ngay cả khi có được những biểu thức rườm rà, điều chính yếu là đừng sợ chúng, mà hãy nhớ rằng ban đầu chúng ta đang nói về một nhiệm vụ gần như cơ bản.
Hướng dẫn
Coi đòn bẩy đơn giản nhất [xem Hình 1] ở vị trí cân bằng. Đặt trên trục hoành x₁₂ với abscissa và đặt các điểm vật chất có khối lượng m₁ và m₂ trên các cạnh. Xét tọa độ của chúng dọc theo trục 0x đã biết và bằng x₁ và x₂. Đòn bẩy ở vị trí cân bằng nếu mômen của các lực Р₁ = m₁g và P₂ = m₂g bằng nhau. Mômen bằng tích của lực và vai của nó, có thể coi là chiều dài của vật thả vuông góc từ điểm tác dụng đến phương thẳng đứng x = x₁₂. Do đó, theo Hình 1, m₁gℓ₁ = m₂gℓ₂, ℓ₁ = x₁₂-x₁, ℓ₂ = x₂-x₁₂. Khi đó m₁ [х₁₂-х₁] = m₂ [х₂-х₁₂]. Giải phương trình này ta được x₁₂ = [m₁x₁ + m₂x₂] / [m₁ + m₂].
Để tìm tung độ y₁₂, sử dụng các phép tính và suy luận tương tự như trong bước 1. Tiếp tục theo dõi minh họa trong Hình 1, trong đó m₁gh₁ = m₂gh₂, h₁ = y₁₂-y₁, h₂ = y₂-y₁₂. Khi đó m₁ [y₁₂-y₁] = m₂ [y₂-y₁₂]. Kết quả là y₁₂ = [m₁y₁ + m₂y₂] / [m₁ + m₂]. Hơn nữa, hãy coi rằng thay vì một hệ hai điểm, có một điểm M₁₂ [x12, y12] có tổng khối lượng [m₁ + m₂].
Đối với hệ hai chất điểm, thêm một khối lượng khác [m₃] có tọa độ [x₃, y₃]. Khi tính toán, bạn vẫn nên xem xét rằng bạn đang xử lý hai điểm, trong đó điểm thứ hai của chúng có khối lượng [m₁ + m₂] và tọa độ [x12, y12]. Lặp lại tất cả các bước 1 và 2 cho hai điểm này, bạn sẽ đến tâm của ba điểm x₁₂₃ = [m₁x₁ + m₂x₂ + m₃x₃] / [m₁ + m₂ + m₃], + m₃]. Tiếp theo, thêm điểm thứ tư, thứ năm, v.v. Sau khi lặp lại quy trình tương tự nhiều lần, hãy đảm bảo rằng đối với một hệ gồm n điểm, tọa độ của trọng tâm được tính bằng công thức [xem Hình 2]. Hãy lưu ý cho bản thân rằng trong quá trình làm việc, gia tốc trọng trường g đã giảm đi. Do đó, tọa độ của khối tâm và trọng lực trùng nhau.
Hãy tưởng tượng rằng trong phần được xem xét có một số khu vực D, mật độ bề mặt của nó là ρ = 1. Từ trên xuống dưới hình được giới hạn bởi đồ thị của các đường cong y = φ [x] và y = ψ [x], x є [a, b]. Chia khu vực D với các phương thẳng đứng x = x₍i-1₎, x = x₍i₎ [i = 1,2,…, n] thành các dải mỏng, sao cho chúng có thể được coi là gần như hình chữ nhật với các đáy là ∆хi [xem Hình. 3]. Trong trường hợp này, coi giữa đoạn ∆хi trùng với hoành độ của khối tâm ξi = [1/2]. Coi chiều cao của hình chữ nhật xấp xỉ bằng [φ [ξi] -ψ [ξi]]. Khi đó hoành độ của khối tâm của vùng sơ cấp là ηi = [1/2] [φ [ξi] + ψ [ξi]].
Do sự phân bố mật độ đồng đều, hãy coi trọng tâm của dải trùng với tâm hình học của nó. Khối lượng cơ bản tương ứng ∆mi = ρ [φ [ξi] -ψ [ξi]] ∆хi = [φ [ξi] -ψ [ξi]] ∆хi tập trung tại điểm [ξi, ηi]. Đã đến lúc chuyển đổi ngược lại từ khối lượng, được biểu diễn ở dạng rời rạc, sang khối liên tục. Phù hợp với các công thức tính tọa độ [xem Hình 2] của trọng tâm, các tổng tích phân được hình thành, minh họa trong Hình 4a. Chuyển đến giới hạn tại ∆xi → 0 [ξi → xi] từ tổng đến tích phân xác định, bạn sẽ nhận được câu trả lời cuối cùng [Hình 4b]. Không có khối lượng trong câu trả lời. Đẳng thức S = M chỉ nên được hiểu như một định lượng. Các kích thước khác nhau ở đây.
Trong thực tế kỹ thuật, xảy ra trường hợp cần phải tính toán tọa độ trọng tâm của một hình phẳng phức tạp bao gồm các phần tử đơn giản mà vị trí của trọng tâm đã biết. Nhiệm vụ này là một phần của nhiệm vụ xác định ...
Đặc điểm hình học của tiết diện tổ hợp dầm và thanh. Những câu hỏi như vậy thường gặp phải bởi các kỹ sư thiết kế khuôn đột lỗ khi xác định tọa độ của tâm áp lực, người phát triển sơ đồ chất tải cho các loại xe khác nhau khi đặt tải, nhà thiết kế kết cấu kim loại khi lựa chọn mặt cắt của các phần tử và tất nhiên, sinh viên khi học các môn học "Cơ học lý thuyết" và "Sức bền của vật liệu".
Thư viện các số liệu sơ cấp.
Đối với hình phẳng đối xứng, trọng tâm trùng với tâm đối xứng. Nhóm đồ vật cơ bản đối xứng gồm: hình tròn, hình chữ nhật [kể cả hình vuông], hình bình hành [kể cả hình thoi], đa giác đều.
Trong số mười hình thể hiện trong hình trên, chỉ có hai hình là cơ bản. Tức là, bằng cách sử dụng các hình tam giác và các cung của hình tròn, bạn có thể kết hợp hầu hết các hình mà bạn quan tâm. Bất kỳ đường cong tùy ý nào cũng có thể được chia thành các phần và được thay thế bằng các cung tròn.
Tám hình còn lại là phổ biến nhất, đó là lý do tại sao chúng được đưa vào loại thư viện này. Trong phân loại của chúng tôi, những yếu tố này không phải là cơ bản. Một hình chữ nhật, một hình bình hành và một hình thang có thể được tạo thành từ hai hình tam giác. Một hình lục giác là tổng của bốn hình tam giác. Đoạn của hình tròn là hiệu giữa cung của hình tròn và hình tam giác. Cung hình khuyên của hình tròn là sự khác biệt giữa hai cung. Đường tròn là một cung của đường tròn với góc α = 2 * π = 360˚. Hình bán nguyệt lần lượt là một cung của đường tròn một góc α = π = 180˚.
Tính toán tọa độ trọng tâm của một hình ghép trong Excel.
Việc truyền tải và nhận thức thông tin bằng cách xem xét một ví dụ luôn dễ dàng hơn so với việc nghiên cứu vấn đề trên các tính toán lý thuyết thuần túy. Hãy xem xét giải pháp cho vấn đề "Làm thế nào để tìm thấy trọng tâm?" về ví dụ của một hình ghép được hiển thị trong hình bên dưới văn bản này.
Mặt cắt ghép là một hình chữ nhật [với các kích thước một1 = 80 mm, b1 \ u003d 40 mm], trong đó một tam giác cân được thêm vào phía trên bên trái [bằng kích thước của đế một2 = 24 mm và chiều cao h2 \ u003d 42 mm] và từ đó một hình bán nguyệt được cắt từ trên cùng bên phải [căn giữa tại điểm có tọa độ x03 = 50 mm và y03 = 40 mm, bán kính r3 = 26 mm].
Để giúp bạn thực hiện phép tính, chúng tôi sẽ liên quan đến chương trình MS Excel hoặc chương trình Oo Calc . Bất kỳ ai trong số họ sẽ dễ dàng đối phó với nhiệm vụ của chúng tôi!
Trong các ô có màu vàng lấp đầy là có thể làm được sơ bộ phụ trợ tính toán .
Trong các ô có tô màu vàng nhạt, chúng tôi đếm kết quả.
Màu xanh da trời phông chữ là dữ liệu ban đầu .
Đen phông chữ là Trung gian kết quả tính toán .
Màu đỏ phông chữ là cuối cùng kết quả tính toán .
Chúng ta bắt đầu giải quyết vấn đề - chúng ta bắt đầu tìm kiếm tọa độ của trọng tâm của mặt cắt.
Dữ liệu ban đầu:
1. Tên của các hình cơ bản tạo thành phần tổng hợp sẽ được nhập tương ứng
đến ô D3: Hình chữ nhật
đến ô E3: Tam giác
đến ô F3: Hình bán nguyệt
2. Sử dụng "Thư viện các hình sơ cấp" được trình bày trong bài viết này, chúng tôi xác định tọa độ các trọng tâm của các phần tử của mặt cắt tổng hợp xci và yci tính bằng mm so với các trục được chọn tùy ý 0x và 0y và viết
đến ô D4: = 80/2 = 40,000
xc 1 = một 1 /2
đến ô D5: = 40/2 =20,000
y C 1 = b 1 /2
đến ô E4: = 24/2 =12,000
xc 2 = một 2 /2
đến ô E5: = 40 + 42/3 =54,000
y C 2 = b 1 + h 2 /3
đến ô F4: = 50 =50,000
xc 3 = x03
đến ô F5: = 40-4 * 26/3 / PI [] =28,965
y C 3 = y 03 -4* r3 /3/ π
3. Tính diện tích của các phần tử F 1 , F 2 , F3 tính bằng mm2, sử dụng lại các công thức từ phần "Thư viện hình cơ bản"
trong ô D6: = 40 * 80 =3200
F1 = một 1 * b1
trong ô E6: = 24 * 42/2 =504
F2 = a2 * h2 / 2
trong ô F6: = -PI [] / 2 * 26 ^ 2 =-1062
F3 =-π / 2 * r3 ^ 2
Diện tích của phần tử thứ ba - hình bán nguyệt - là âm vì phần cắt này là một không gian trống!
Tính tọa độ của trọng tâm:
4. Xác định tổng diện tích của hình cuối cùng F0 tính bằng mm2
trong ô đã hợp nhất D8E8F8: = D6 + E6 + F6 =2642
F0 = F 1 + F 2 + F3
5. Tính mômen tĩnh của hình tổng hợp Sx và Sy tính bằng mm3 so với các trục đã chọn 0x và 0y
trong ô hợp nhất D9E9F9: = D5 * D6 + E5 * E6 + F5 * F6 =60459
Sx = yc1 * F1 + yc2 * F2 + yc3 * F3
trong ô hợp nhất D10E10F10: = D4 * D6 + E4 * E6 + F4 * F6 =80955
Sy = xc1 * F1 + xc2 * F2 + xc3 * F3
6. Và cuối cùng, ta tính tọa độ trọng tâm của mặt cắt ghép Xc và Y C tính bằng mm trong hệ tọa độ đã chọn 0x - 0y
trong ô đã hợp nhất D11E11F11: = D10 / D8 =30,640
Xc = Sy / F0
trong ô đã hợp nhất D12E12F12: = D9 / D8 =22,883
Yc = Sx / F0
Nhiệm vụ đã được giải quyết, tính toán trong Excel đã hoàn thành - tọa độ trọng tâm của phần, được biên dịch bằng ba yếu tố đơn giản, đã được tìm thấy!
Sự kết luận.
Ví dụ trong bài viết được chọn rất đơn giản để giúp bạn dễ hiểu hơn về phương pháp tính trọng tâm của một mặt cắt phức tạp. Phương pháp này nằm ở chỗ, bất kỳ hình phức tạp nào cũng nên được chia thành các phần tử đơn giản với các vị trí đã biết của trọng tâm và các phép tính cuối cùng phải được thực hiện cho toàn bộ mặt cắt.
Nếu phần được tạo thành từ các biên dạng cuộn - các góc và các kênh, thì không cần phải chia chúng thành các hình chữ nhật và hình vuông với các cung "π / 2" hình tròn được cắt ra. Tọa độ trọng tâm của các cấu hình này được đưa ra trong bảng GOST, tức là cả góc và kênh sẽ là các yếu tố cơ bản cơ bản trong tính toán của bạn về các mặt cắt tổng hợp [không có ý nghĩa gì khi nói về dầm chữ I, đường ống , thanh và hình lục giác - đây là những phần đối xứng trung tâm].
Vị trí của các trục tọa độ trên vị trí của trọng tâm của hình, tất nhiên, không ảnh hưởng! Do đó, hãy chọn một hệ tọa độ để đơn giản hóa các tính toán của bạn. Ví dụ: nếu tôi xoay hệ tọa độ 45˚ theo chiều kim đồng hồ trong ví dụ của chúng tôi, thì việc tính toán tọa độ của trọng tâm của hình chữ nhật, tam giác và hình bán nguyệt sẽ biến thành một bước tính toán riêng biệt và rườm rà khác mà bạn không thể thực hiện được “ trong đầu bạn".
Tệp tính toán Excel sau trong trường hợp này không phải là một chương trình. Đúng hơn, nó là một bản phác thảo của một máy tính, một thuật toán, một khuôn mẫu theo từng trường hợp. tạo chuỗi công thức của riêng bạn cho các ô có màu vàng tươi.
Như vậy, bây giờ bạn đã biết cách tìm trọng tâm của phần nào rồi đấy! Việc tính toán đầy đủ tất cả các đặc điểm hình học của các mặt cắt phức hợp tùy ý sẽ được xem xét trong một trong các bài tiếp theo của tiêu đề "". Theo dõi tin tức trên blog.
Vì nhận thông tin về việc phát hành các bài báo mới va cho tải xuống các tệp chương trình làm việc Tôi yêu cầu bạn đăng ký nhận thông báo trong cửa sổ nằm ở cuối bài viết hoặc trong cửa sổ ở đầu trang.
Sau khi nhập địa chỉ email và bấm vào nút "Nhận thông báo bài viết" ĐỪNG QUÊN XÁC NHẬN ĐĂNG KÝ bằng cách nhấp vào liên kết trong một lá thư sẽ ngay lập tức đến tay bạn theo thư được chỉ định [đôi khi - trong thư mục « RAC » ]!
Vài lời về một cái ly, một đồng xu và hai cái nĩa, được mô tả trên “biểu tượng-minh họa” ở đầu bài viết. Chắc hẳn nhiều bạn đã quen thuộc với "chiêu trò" gợi lên những ánh nhìn ngưỡng mộ từ trẻ nhỏ và cả những người lớn chưa quen. Chủ đề của bài viết này là trọng tâm. Chính anh ấy và điểm tựa, chơi đùa với ý thức và kinh nghiệm của chúng ta, đơn giản chỉ là đánh lừa tâm trí của chúng ta!
Trọng tâm của hệ thống "fork + coin" luôn nằm trên đã sửa khoảng cách dọc xuống từ các cạnh của đồng xu, đến lượt nó là điểm tựa. Đây là một vị trí cân bằng ổn định! Nếu bạn lắc cái dĩa, ngay lập tức sẽ thấy rõ rằng hệ thống đang cố gắng giành lấy vị trí ổn định trước đây của nó! Hãy tưởng tượng một con lắc - điểm neo [= điểm đỡ của đồng xu trên mép kính], trục thanh của con lắc [= trong trường hợp của chúng ta, trục là ảo, vì khối lượng của hai chiếc dĩa là ngăn cách theo các hướng khác nhau của không gian] và trọng lượng ở đáy trục [= trọng tâm của toàn bộ hệ “ngã ba + đồng xu”]. Nếu bạn bắt đầu làm lệch con lắc khỏi phương thẳng đứng theo bất kỳ hướng nào [tiến, lùi, trái, phải] thì chắc chắn nó sẽ trở lại vị trí ban đầu dưới tác dụng của trọng lực. trạng thái cân bằng ổn định[điều tương tự cũng xảy ra với nĩa và xu của chúng tôi]!
Ai chưa hiểu, nhưng muốn hiểu - hãy tự tìm hiểu. Thật thú vị khi tự mình "vươn tới"! Tôi sẽ nói thêm rằng nguyên tắc sử dụng cân bằng ổn định tương tự cũng được thực hiện trong đồ chơi Roly-Get Up. Chỉ có trọng tâm của đồ chơi này nằm ở phía trên điểm tựa, nhưng ở dưới trọng tâm của bán cầu của bề mặt hỗ trợ.
Ý kiến của bạn luôn được chào đón, độc giả thân yêu!
Hỏi, TRÂN TRỌNG tác phẩm của tác giả, tải tập tin SAU KHI ĐĂNG KÝ cho các thông báo bài viết.
Trung tâm của lực hấp dẫn[hoặc trung tâm của khối lượng] của một vật thể nào đó được gọi là một điểm có thuộc tính mà nếu một vật thể bị đình chỉ từ điểm này, thì nó sẽ giữ nguyên vị trí của nó.
Dưới đây chúng tôi xem xét các vấn đề 2D và 3D liên quan đến việc tìm kiếm các khối tâm khác nhau, chủ yếu theo quan điểm của hình học tính toán.
Trong các giải pháp được thảo luận dưới đây, có hai giải pháp chính thực tế. Đầu tiên là khối tâm của một hệ điểm vật chất bằng giá trị trung bình của các tọa độ của chúng, được lấy với hệ số tỷ lệ với khối lượng của chúng. Thực tế thứ hai là nếu chúng ta biết khối lượng tâm của hai hình không giao nhau, thì khối tâm của hợp của chúng sẽ nằm trên đoạn nối hai khối tâm này, và nó sẽ chia nó theo cùng một tỷ lệ với khối lượng của hình thứ hai liên quan đến khối lượng của hình thứ nhất.
Trường hợp hai chiều: đa giác
Trên thực tế, khi nói về khối tâm của một hình hai chiều, một trong ba điều sau có thể được hiểu: nhiệm vụ:
- Khối tâm của hệ điểm - tức là toàn bộ khối lượng chỉ tập trung ở các đỉnh của đa giác.
- Khối lượng tâm của khung - tức là khối lượng của một đa giác tập trung vào chu vi của nó.
- Khối tâm của một hình rắn - tức là khối lượng của đa giác được phân bố trên toàn bộ diện tích của nó.
Mỗi vấn đề trong số này có một giải pháp độc lập và sẽ được xem xét riêng bên dưới.
Khối tâm của hệ chất điểm
Đây là bài toán đơn giản nhất trong ba bài toán, và lời giải của nó là công thức vật lý nổi tiếng cho khối tâm của một hệ điểm vật chất:
đâu là khối lượng của các điểm, là vectơ bán kính của chúng [xác định vị trí của chúng so với gốc tọa độ] và là vectơ bán kính mong muốn của khối tâm.
Đặc biệt, nếu tất cả các điểm có cùng khối lượng thì tọa độ của khối tâm là trung bình tọa độ điểm. Vì Tam giácđiểm này được gọi là Tâm và trùng với giao điểm của các đường trung tuyến:
Vì chứng minh rằng những công thức này, đủ để nhớ lại rằng trạng thái cân bằng đạt được tại một điểm mà tại đó tổng mômen của tất cả các lực bằng không. Trong trường hợp này, điều này trở thành điều kiện để tổng các vectơ bán kính của tất cả các điểm liên quan đến điểm, nhân với khối lượng của các điểm tương ứng, bằng không:
và, thể hiện từ đây, chúng tôi có được công thức cần thiết.
Trọng tâm khung
Nhưng sau đó mỗi cạnh của đa giác có thể được thay thế bằng một điểm - chính giữa của đoạn này [vì khối tâm của một đoạn đồng nhất là giữa đoạn này], có khối lượng bằng độ dài của đoạn này.
Bây giờ chúng tôi đã nhận được bài toán về hệ thống các điểm trọng yếu, và áp dụng giải pháp từ đoạn trước cho nó, chúng tôi thấy:
đâu là trung điểm của cạnh thứ của đa giác, là độ dài của cạnh thứ, là chu vi, tức là tổng độ dài của các cạnh.
Vì Tam giác người ta có thể hiển thị tuyên bố sau: điểm này là giao điểm phân giác tam giác tạo bởi trung điểm các cạnh của tam giác ban đầu. [để hiển thị điều này, bạn cần sử dụng công thức trên, và sau đó chú ý rằng các đường phân giác chia các cạnh của tam giác theo cùng một tỷ lệ với các trọng tâm của các cạnh này].
Khối tâm của một vật rắn
Chúng tôi tin rằng khối lượng được phân bố đồng đều trên hình, tức là mật độ tại mỗi điểm của hình bằng cùng một số.
Trường hợp tam giác
Người ta lập luận rằng đối với một tam giác, câu trả lời vẫn giống nhau Tâm, I E. điểm được tạo thành bởi trung bình cộng của tọa độ các đỉnh:
Trường hợp tam giác: Bằng chứng
Chúng tôi đưa ra ở đây một chứng minh cơ bản không sử dụng lý thuyết về tích phân.
Bằng chứng đầu tiên, thuần túy hình học, được Archimedes đưa ra, nhưng nó rất phức tạp, với một số lượng lớn các cấu trúc hình học. Bằng chứng được đưa ra ở đây được lấy từ bài báo của Apostol, Mnatsakanian "Đi tìm Centroid một cách dễ dàng".
Chứng minh tóm tắt là chứng tỏ rằng khối tâm của tam giác nằm trên một trong các trung tuyến; lặp lại quá trình này hai lần nữa, do đó chúng ta chỉ ra rằng khối tâm nằm ở điểm giao nhau của các trung điểm, đó là tâm khối.
Hãy chia tam giác này thành bốn, nối các trung điểm của các cạnh, như thể hiện trong hình:
Bốn tam giác kết quả tương tự như một tam giác với hệ số.
Các tam giác số 1 và số 2 cùng tạo thành một hình bình hành, khối tâm của chúng nằm tại giao điểm của các đường chéo của nó [vì đây là một hình đối xứng với cả hai đường chéo, có nghĩa là khối tâm của nó phải nằm trên hai đường chéo]. Điểm nằm giữa cạnh chung của tam giác số 1 và số 2 và cũng nằm trên đường trung bình của tam giác:
Bây giờ, hãy đặt vectơ là vectơ được vẽ từ đỉnh đến trọng tâm của tam giác số 1 và đặt vectơ là vectơ được vẽ từ điểm [nhớ lại, là trung điểm của cạnh mà nó nằm] :
Mục tiêu của chúng tôi là chỉ ra rằng các vectơ và thẳng hàng.
Ký hiệu các điểm là trọng tâm của các tam giác số 3 và số 4. Khi đó, hiển nhiên, khối tâm của tổng hợp hai tam giác này sẽ là điểm, là trung điểm của đoạn thẳng. Hơn nữa, vectơ từ điểm đến điểm giống với vectơ.
Khối tâm mong muốn của tam giác nằm ở giữa đoạn nối các điểm và [vì chúng ta đã chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau: Số 1-Số 2 và Số 3-Số 4]:
Do đó, vectơ từ đỉnh đến tâm là. Mặt khác, kể từ khi tam giác số 1 đồng dạng với tam giác có hệ số thì vectơ đồng dạng bằng. Từ đây chúng ta nhận được phương trình:
từ nơi chúng tôi tìm thấy:
Do đó, chúng tôi đã chứng minh rằng các vectơ và thẳng hàng, có nghĩa là tâm mong muốn nằm trên đường trung bình xuất phát từ đỉnh.
Hơn nữa, trong quá trình thực hiện, chúng tôi đã chứng minh rằng trọng tâm chia mỗi trung vị đối với, tính từ trên xuống.
Trường hợp đa giác
Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang trường hợp chung - tức là đến dịp đa giác. Đối với anh ấy, lý luận như vậy không còn áp dụng được nữa, vì vậy chúng tôi giảm vấn đề thành một hình tam giác: cụ thể là, chúng tôi chia đa giác thành các tam giác [tức là chia tam giác], tìm khối tâm của mỗi tam giác, và sau đó tìm tâm của khối lượng của các khối tâm thu được của các tam giác.
Công thức cuối cùng như sau:
đâu là trọng tâm của tam giác -th trong tam giác của đa giác đã cho, là diện tích của tam giác -th của tam giác, là diện tích của toàn bộ đa giác.
Lập tam giác của một đa giác lồi là một công việc nhỏ nhặt: ví dụ, đối với điều này, chúng ta có thể lấy các hình tam giác, ở đâu.
Trường hợp đa giác: cách thay thế
Mặt khác, việc áp dụng công thức trên không thuận tiện cho đa giác không lồi, vì bản thân chúng không phải là một nhiệm vụ dễ dàng. Nhưng đối với những đa giác như vậy, bạn có thể đưa ra một cách tiếp cận đơn giản hơn. Cụ thể, hãy vẽ một phép tương tự với cách bạn có thể tìm diện tích của một đa giác tùy ý: một điểm tùy ý được chọn, và sau đó diện tích dấu của các tam giác được tạo thành bởi điểm này và các điểm của đa giác được tính bằng:. Một kỹ thuật tương tự có thể được sử dụng để tìm khối tâm: chỉ bây giờ chúng ta sẽ tính tổng các khối tâm của các tam giác được lấy với các hệ số tỷ lệ với diện tích của chúng, tức là công thức cuối cùng của khối tâm là:
đâu là một điểm tùy ý, là các điểm của đa giác, là trọng tâm của tam giác, là diện tích dấu của tam giác này, là diện tích dấu hiệu của toàn bộ đa giác [tức là].
Trường hợp 3D: Khối đa diện
Tương tự như trường hợp hai chiều, trong 3D, chúng ta có thể nói về bốn câu lệnh vấn đề có thể xảy ra cùng một lúc:
- Khối tâm của hệ chất điểm - đỉnh của khối đa diện.
- Khối tâm của khung là các cạnh của khối đa diện.
- Khối lượng tâm của bề mặt - tức là khối lượng được phân bố trên diện tích bề mặt của hình đa diện.
- Khối tâm của một khối đa diện - tức là khối lượng được phân phối trên toàn bộ khối đa diện.
Khối tâm của hệ chất điểm
Như trong trường hợp 2D, chúng ta có thể áp dụng công thức vật lý và nhận được kết quả tương tự:
mà, trong trường hợp các khối lượng bằng nhau, biến thành trung bình cộng của tọa độ của tất cả các điểm.
Khối tâm của khung đa diện
Tương tự với trường hợp hai chiều, chúng ta chỉ cần thay thế mỗi cạnh của hình đa diện bằng một điểm vật liệu nằm ở giữa cạnh này và có khối lượng bằng chiều dài của cạnh này. Sau khi nhận được bài toán về điểm vật chất, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy lời giải của nó dưới dạng tổng có trọng số của các tọa độ của những điểm này.
Khối tâm của các mặt của khối đa diện
Mỗi mặt của bề mặt của một hình đa diện là một hình hai chiều, là khối tâm mà chúng ta có thể tìm thấy. Tìm các khối tâm này và thay mỗi mặt bằng khối tâm của nó, chúng ta sẽ có một bài toán về các điểm vật chất, vốn đã dễ giải.
Khối tâm của một khối đa diện
Trường hợp tứ diện
Như trong trường hợp hai chiều, trước tiên chúng ta giải bài toán đơn giản nhất - bài toán cho tứ diện.
Người ta phát biểu rằng trọng tâm của khối tứ diện trùng với giao điểm của các trung trực của nó [đường trung bình của tứ diện là một đoạn được vẽ từ đỉnh của nó đến khối tâm của mặt đối diện; do đó, trung tuyến của tứ diện đi qua đỉnh và qua giao điểm của các đường trung trực của một mặt tam giác].
Tại sao nó như vậy? Các suy luận tương tự như trường hợp hai chiều là đúng ở đây: nếu chúng ta cắt một tứ diện thành hai tứ diện bằng cách sử dụng một mặt phẳng đi qua đỉnh của tứ diện và một số trung tuyến của mặt đối diện, thì cả hai tứ diện tạo thành sẽ có cùng thể tích [vì mặt tam giác sẽ bị trung tuyến chia thành hai tam giác có diện tích bằng nhau và chiều cao của hai tứ diện không thay đổi]. Lặp lại suy luận này nhiều lần, chúng ta nhận được rằng khối tâm nằm tại giao điểm của các đường trung trực của tứ diện.
Điểm này - giao điểm của các đường trung trực của tứ diện - được gọi là Tâm. Có thể chứng minh rằng nó thực sự có tọa độ bằng trung bình cộng của tọa độ các đỉnh của tứ diện:
[điều này có thể được suy ra từ thực tế là centroid chia các trung gian đối với]
Vì vậy, không có sự khác biệt cơ bản giữa các trường hợp của tứ diện và tam giác: một điểm bằng trung bình cộng của các đỉnh là khối tâm trong hai công thức của bài toán cùng một lúc: cả khi khối lượng chỉ ở các đỉnh , và khi khối lượng được phân bố trên toàn bộ diện tích / thể tích. Trên thực tế, kết quả này khái quát thành một thứ nguyên tùy ý: khối tâm của một khối lượng tùy ý simplex[simplex] là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh của nó.
Trường hợp của một khối đa diện tùy ý
Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang trường hợp tổng quát, trường hợp của một khối đa diện tùy ý.
Một lần nữa, như trong trường hợp hai chiều, chúng ta rút gọn bài toán này thành bài toán đã được giải quyết: chúng ta chia khối đa diện thành tứ diện [tức là chúng ta tứ diện hóa nó], tìm khối tâm của mỗi khối và thu được câu trả lời cuối cùng cho bài toán dưới dạng một tổng trọng số của các trung tâm tìm được wt.
Khái niệm về trọng tâm đã xuất hiện từ thời cổ đại; Archimedes đã đóng góp rất nhiều vào sự phát triển của lý thuyết về trọng tâm. Mặc dù thực tế là khái niệm trọng tâm ngày nay được nghiên cứu nhiều hơn trong các bài học vật lý hơn là toán học, nó cũng đóng một vai trò lớn trong hình học. Đặc biệt, khái niệm về trọng tâm giúp Archimedes dễ dàng tìm thấy diện tích của một số hình [ví dụ, một đoạn của parabol], cũng như thể tích của các vật thể không gian khác nhau [cụ thể là một quả bóng].
Trong chuyên luận "Về sự cân bằng của các vật thể, hoặc về trọng tâm của các hình phẳng", Archimedes giải thích lý thuyết về trọng tâm theo tiên đề, giống như Euclid đã đưa ra hình học trong cuốn sách "Sự khởi đầu". Đầu tiên, một số "giả định", tức là các tiên đề, được đưa ra.
Ở đây, "bằng nhau" có nghĩa là bằng nhau về kích thước, trong trường hợp này là có cùng trọng lượng. Ý nghĩa của đề xuất là nếu một số hình, đang được treo, ở trạng thái cân bằng, thì sự cân bằng sẽ không bị xáo trộn khi thay bất kỳ hình nào trong số chúng bằng một hình có trọng lượng bằng nhau.
|
Cơm. 2. Hai hình có khối lượng bằng hình thứ ba thì bằng nhau |
Dựa trên những giả định này, Archimedes đã chứng minh được một số hệ luỵ.
Các chứng minh trong cuốn sách "Cân bằng ..." chủ yếu được thực hiện theo phương pháp "mâu thuẫn". Ví dụ, hãy xem xét Hệ quả 1. Cho các quả nặng đã cho, cân bằng trên cùng một độ dài, không bằng nhau. Sau đó, sau khi trừ đi một vật lớn hơn và thêm vào một vật nhỏ hơn, thì trạng thái cân bằng sẽ bị phá vỡ [theo tiên đề 2 và 3], và điều này mâu thuẫn với thực tế là các vật thể bằng nhau có độ dài bằng nhau là cân bằng [theo tiên đề 1].
|
Để chứng minh điều này, Archimedes xem xét riêng hai trường hợp: các trọng lượng đã cho là tương xứng hoặc không thể giới thiệu được. Trong trường hợp thứ nhất, trọng lượng của cả hai vật là bội của một số trọng lượng P 0: P 1 = n 1 P 0, P 2 = n 2 P 0. Archimedes thay thế một vật có trọng lượng P 1 bằng n 1 vật có trọng lượng P 0, và một vật có trọng lượng P 2 với n 2 vật có trọng lượng P 0 mỗi vật, và sắp xếp tất cả [n 1 + n 2] vật này trên một đường thẳng sao cho các trọng tâm kề nhau nằm cách nhau một khoảng bằng nhau.
Hơn nữa, theo Giả thiết 6, kiểu thay thế này không ảnh hưởng đến vị trí của trọng tâm. Và vì, theo Hệ quả 3, đối với [n 1 + n 2] vật thể này, trọng tâm nằm ở giữa, thì đối với hai vật thể ban đầu nó cũng ở cùng một vị trí. Điều này ngụ ý rằng l 1 / l 2 = P 2 / P 1.
Trong trường hợp trọng lượng không thể giới thiệu được, Archimedes một lần nữa chứng minh bằng mâu thuẫn: ông cho rằng các vật có trọng lượng và bị treo trên các đoạn thỏa mãn điều kiện sẽ không ở trạng thái cân bằng. Điều này có nghĩa là trọng lượng sẽ nhiều hơn hoặc ít hơn mức cần thiết cho trạng thái cân bằng. Nếu nó lớn hơn, thì chúng ta trừ đi một số trọng lượng sao cho trọng lượng còn lại, một mặt, vẫn nhiều hơn mức cần thiết cho trạng thái cân bằng, và mặt khác, để nó tương xứng với Khi đó, một mặt, [vì nhiều hơn mức cần thiết cho trạng thái cân bằng], nhưng mặt khác, [bởi vì Nó tạo ra mâu thuẫn, điều đó có nghĩa là không thể có nhiều hơn mức cần thiết cho trạng thái cân bằng. Nếu ít hơn mức cần thiết cho trạng thái cân bằng, thì nhiều hơn và tương đối, tất cả cùng một lý luận có thể được thực hiện. Vì vậy, định luật đòn bẩy được chứng minh.
[Được biết, đòn bẩy đã chiếm một vị trí lớn trong các hoạt động của Archimedes - không chỉ là một thợ cơ khí lý thuyết, mà còn là nhà thiết kế các thiết bị cơ khí đã được sử dụng thực tế; Những câu nói của Archimedes thường được trích dẫn "Hãy cho tôi một điểm tựa, và tôi sẽ chuyển động Trái đất ”].
|
Đường trung tuyến của tam giác là đường kính chia đôi các hợp âm song song với đáy, do đó trọng tâm [n ° 217] của diện tích tam giác nằm trên đó. Do đó, ba trung tuyến của một tam giác, cắt nhau, xác định trọng tâm của thiết diện của tam giác.
Các xét sơ đẳng cho thấy rằng các trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại điểm cách đỉnh tương ứng bằng hai phần ba chiều dài của mỗi tam giác. Do đó, trọng tâm của diện tích một tam giác nằm trên bất kỳ trung tuyến nào của nó cách đỉnh bằng hai phần ba chiều dài.
219. Hình tứ giác.
Trọng tâm của diện tích hình tứ giác được xác định bởi giao điểm của hai đường thẳng, chúng ta thu được bằng cách áp dụng tính chất phân bố của trọng tâm [n ° 213].
Đầu tiên, chúng ta chia tứ giác theo đường chéo thành hai tam giác. Trọng tâm của một tứ giác nằm trên đường thẳng nối các trọng tâm của các tam giác này. Dòng này là dòng đầu tiên trong hai dòng bắt buộc.
Ta thu được đường thẳng thứ hai theo cách tương tự, chia tứ giác thành hai tam giác [khác với các hình trước] bằng một đường chéo khác.
220. Đa giác.
Chúng ta biết cách tìm trọng tâm của diện tích tam giác và tứ giác. Để xác định trọng tâm của diện tích của một đa giác với một số cạnh tùy ý, giả sử rằng chúng ta có thể tìm được trọng tâm của diện tích của một đa giác có ít cạnh hơn.
Sau đó, bạn có thể làm tương tự như trong trường hợp của một tứ giác. Diện tích của một đa giác đã cho được chia thành hai phần bằng hai cách vẽ đường chéo khác nhau. Trong mỗi trường hợp, trọng tâm trực tiếp của các bộ phận riêng lẻ được kết nối với nhau. Hai đường này cắt nhau tại trọng tâm mong muốn.
221. Cung của một đường tròn.
Để yêu cầu xác định trọng tâm của một cung tròn AB có độ dài s. Ta quy về đường tròn có hai đường kính vuông góc nhau OX và OY, trong đó đường tròn thứ nhất đi qua trung điểm C của dây cung AB. Trọng tâm nằm trên trục OX, là trục đối xứng. Do đó, nó đủ để xác định 5. Để làm điều này, chúng ta có công thức:
Giả sử có: a - bán kính của đường tròn, c - độ dài của dây cung AB, - góc giữa trục OX và bán kính được vẽ thành phần tử có giá trị tương ứng với hai đầu của dây cung AB. Chúng ta có:
Sau đó, lấy B làm biến tích phân và tích phân dọc theo cung AB, ta được:
Do đó, trọng tâm của một cung tròn nằm trên bán kính vẽ qua giữa cung, tại một điểm mà khoảng cách từ tâm của cung tròn là bậc 4 tỉ lệ thuận với độ dài của cung, bán kính và hợp âm.
222. Khu vực hình tròn.
Cung nằm giữa cung tròn và hai bán kính OA và OB có thể được chia theo bán kính trung gian thành các cung nhỏ vô hạn bằng nhau. Các cung cơ bản này có thể được coi là các tam giác hẹp vô hạn; trọng tâm của mỗi người trong số họ, theo phần trước, nằm trên bán kính được vẽ qua giữa cung sơ cấp của cung này, cách tâm của vòng tròn bằng hai phần ba chiều dài bán kính. Khối lượng bằng nhau của tất cả các tam giác cơ bản, tập trung tại trọng tâm của chúng, tạo thành một cung tròn đồng chất, bán kính của chúng bằng hai phần ba bán kính của cung tròn. Do đó, trường hợp đang được xem xét được rút gọn trong việc tìm kiếm trọng tâm của cung đồng nhất này, tức là, đối với vấn đề đã giải quyết ở đoạn trước.
223. Khối tứ diện.
Hãy xác định trọng tâm của thể tích khối tứ diện. Mặt phẳng đi qua một trong các cạnh và qua giữa cạnh đối diện là mặt phẳng đường kính chia đôi các hợp âm song song với cạnh cuối cùng này: do đó nó chứa tâm của thể tích khối tứ diện. Do đó, sáu mặt phẳng của tứ diện, mỗi mặt đi qua một trong các cạnh và qua trung điểm của cạnh đối diện, cắt nhau tại một điểm là trọng tâm của thể tích khối tứ diện.
Xét tứ diện ABCD [Hình 37]; nối đỉnh A với trọng tâm I của mặt đáy BCD; đường thẳng AI là giao của các mặt phẳng đường kính đi qua
qua các cạnh AB và do đó nó chứa trọng tâm mong muốn. Điểm cách đỉnh B. Bằng 2/3 đường trung trực BH theo phương pháp tương tự, lấy điểm K trên đường trung trực AN cách đỉnh bằng 2/3 độ dài. Đường thẳng B K cắt đường thẳng A tại trọng tâm của tứ diện. Ta rút ra từ sự đồng dạng của tam giác ABN và YUN rõ ràng IK là phần thứ ba của AB] xa hơn nữa, từ sự đồng dạng của tam giác và VGA ta kết luận rằng có phần thứ ba.
Do đó, trọng tâm của thể tích khối tứ diện nằm trên đoạn nối đỉnh bất kỳ của tứ diện với trọng tâm của mặt đối diện, cách đỉnh một đoạn bằng 3/4 độ dài đoạn này.
Ta cũng lưu ý rằng đường thẳng nối trung điểm R và L của hai cạnh đối diện [Hình 38] là giao tuyến của các mặt phẳng đi qua các cạnh này, nó cũng đi qua trọng tâm của tứ diện. Như vậy, ba đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối diện của tứ diện cắt nhau tại trọng tâm của nó.
Gọi H và là trung điểm của một cặp sườn đối diện [Hình 38] và M, N là trung điểm của hai sườn đối diện khác. Hình HNLM là hình bình hành có các cạnh tương ứng song song với các phần còn lại
hai xương sườn. Các đoạn thẳng HL và MN nối trung điểm của hai cạnh đối diện là hai đường chéo của hình bình hành, tức là chúng được chia đôi tại giao điểm. Như vậy, trọng tâm của tứ diện nằm chính giữa đoạn nối trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện.
224. Kim tự tháp có đáy là đa giác.
Trọng tâm của hình chóp nằm trên đoạn nối đỉnh của hình chóp với trọng tâm của đáy cách đỉnh một đoạn bằng 3/4 độ dài đoạn này.
Để chứng minh định lý này, chúng ta phân tích hình chóp thành tứ diện bởi các mặt phẳng vẽ qua đỉnh của hình chóp và qua các đường chéo của đáy ABCD [ví dụ, BD trong hình 39].
Vẽ một mặt phẳng cắt các cạnh ở khoảng cách bằng 3/4 chiều dài của chúng tính từ đỉnh. Mặt phẳng này chứa các trọng tâm của tứ diện, và do đó là các kim tự tháp. Các khối lượng của tứ diện, mà chúng ta giả định là tập trung trong trọng tâm của chúng, tỷ lệ với thể tích của chúng, và do đó với diện tích của các đáy [Hình 39] hoặc cũng có thể là các diện tích của các tam giác xấu, giường,. .., tương tự như các hình trước và nằm trong mặt phẳng cắt abcd ... Như vậy, trọng tâm mong muốn trùng với trọng tâm của đa giác abcd. Hình chóp sau nằm trên đường thẳng nối đỉnh S của hình chóp với trọng tâm [có vị trí tương tự] của đa giác đáy.
225. Lăng kính. Hình trụ. Hình nón.
Trên cơ sở đối xứng, các trọng tâm của lăng trụ và hình trụ nằm ở giữa đoạn nối các trọng tâm của các đáy.
Coi hình nón là giới hạn của hình chóp nội tiếp cùng đỉnh thì ta chắc chắn rằng trọng tâm của hình nón nằm trên đoạn nối đỉnh của hình nón với trọng tâm của đáy, cách trọng tâm của hình nón một khoảng của ba phần tư chiều dài của đoạn này tính từ đỉnh. Ta cũng có thể nói rằng trọng tâm của hình nón trùng với trọng tâm của tiết diện hình nón bởi một mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng bằng 1/4 chiều cao của hình nón.