Đề bài
Giải phương trình sau
\[{\sin}^2 x-{\cos}^2 x=\cos 4x\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức hạ bậc \[{\cos}^2 x-{\sin}^2 x=\cos 2x\].
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích \[\cos a + \cos b\]
\[= 2\cos \left[ {\dfrac{{a + b}}{2}} \right]\cos \left[ {\dfrac{{a - b}}{2}} \right]\].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[{\sin}^2x-{\cos}^2x=\cos 4x\]
\[\Leftrightarrow -\cos 2x=\cos 4x\]
\[\Leftrightarrow 2\cos 3x\cos x=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 3x = 0\\\cos x= 0\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\\x= \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\\ x= \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\]
Vậy phương trình có nghiệm là \[x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\]