Đề bài
Giải các phương trình sau:
a] \[[{x^2} - 2x][x - 1][x - 2] = - 2\]
b] \[[x - 1][x - 2][x - 3][x - 4] = 24\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Rút gọn vế trái sau đó quy được phương trình về dạng phương trình bậc 4 ta đặt \[{x^2} = t\left[ {t \ge 0} \right]\] để giải phương trình bậc 2.
Lời giải chi tiết
a]
\[\begin{array}{l}\left[ {{x^2} - 2x} \right]\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right] = - 2\\ \Leftrightarrow \left[ {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right]\left[ {x - 2} \right] = - 2\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} - 3{x^3} + 6{x^2} + 2{x^2} - 4x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 5{x^3} + 8{x^2} - 4x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 8 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}} = 0\end{array}\]
b]
\[\begin{array}{l}[x - 1][x - 2][x - 3][x - 4] = 24\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 4} \right]\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 3} \right] = 24\\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} - 5x + 4} \right]\left[ {{x^2} - 5x + 6} \right] = 24\end{array}\]
Đặt \[{x^2} - 5x + 4 = t\] khi đó ta có:
\[t.\left[ {t + 2} \right] = 24\]
\[\Leftrightarrow {t^2} + 2t - 24 = 0\,\,\left[ 2 \right];\]
\[a = 1;b' = 1;c = - 24;\]
\[\Delta ' = 1 + 24 = 25 > 0;\sqrt {\Delta '} = 5\]
Khi đó phương trình [2] có 2 nghiệm phân biệt là: \[{t_1} = - 1 + 5 = 4;{t_2} = - 1 - 5 = - 6\]
+] TH1: t1 = 4 ta có: \[{x^2} - 5x + 4 = 4 \]
\[\Leftrightarrow x\left[ {x - 5} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\]
+] TH2: t2 = - 6 ta có: \[{x^2} - 5x + 4 = - 6\]
\[\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 10 = 0;\]
\[\,\,\Delta = {\left[ { - 5} \right]^2} - 4.10 = - 15 < 0\] [phương trình vô nghiệm]
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là: x1 = 0; x2 = 5.