Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [C] : \[{[x - 5]^2} + {[y - 3]^2} = 4\] . Và điểm A[1 ; 2], một đường thẳng d đi qua A và cắt đường tròn [C] theo một dây cung MN có độ dài bằng \[2\sqrt 3 \] . Viết phương trình của d.
Lời giải chi tiết
Đường tròn [C] có tâm I[5 ; 3] và có bán kính R = 2.
Gọi H là trung điểm của MN. Ta có
\[IH \bot MN\] và \[MH = \frac{{MN}}{2} = \sqrt 3 \]
\[IH = \sqrt {I{M^2} - M{H^2}} = \sqrt {4 - 3} = 1.\]
Phương trình đường thẳng d có dạng :
\[y - 2 = k[x - 1] \] \[\Leftrightarrow kx - y + 2 - k = 0.\]
Ta có IH = 1
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {5k - 3 + 2 - k} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1\]
\[ \Leftrightarrow \left| {4k - 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \] \[\Leftrightarrow {\left[ {4k - 1} \right]^2} = {k^2} + 1\]
\[ \Leftrightarrow 15{k^2} - 8k = 0 \] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\k = \frac{8}{{15}}\end{array} \right.\]
Vậy có hai điểm d thỏa mãn đề bài.
Đó là \[{d_1}:y - 2 = 0\]
\[{d_2}:y - 2 = \frac{8}{{15}}\left[ {x - 1} \right]\] \[ \Leftrightarrow 8x - 15y + 22 = 0.\]